Voir la source de Numération d'Ostrowski

En [[mathématiques]], la '''numération d{{'}}Ostrowski''', qui porte le nom d'[[Alexander Ostrowski]], est un [[système de numération]] basé sur le développement en [[fraction continue]] ; c'est un système de numération positionnel non standard pour les entiers et pour les [[nombre réel|nombres réels]].

== Notations ==

Soit <math>\alpha</math> un [[nombre irrationnel]] positif avec développement en fraction continue 
:<math>\alpha = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3+\cdots}}}</math> 
Soit <math>(q_n)</math> la suite des dénominateurs des convergents <math>p_n/q_n</math> vers <math>\alpha</math>, donnée par
:<math>q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}</math>.
On pose <math>\alpha_n=T^n(\alpha)</math>, où <math>T</math> est l'[[opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing]] donné par <math>T(x)=\{1/x\}</math>, et <math>\beta_n=(-1)^{n+1}\alpha_0\alpha_1\cdots \alpha_n</math> ; on a alors
:<math>\beta_n=a_n\beta_{n-1}+\beta_{n-2}</math>.

== Représentation des nombres réels ==
Tout nombre réel positif <math>x</math> peut être écrit sous la forme 

:<math> x = \sum_{n=1}^\infty b_n \beta_n \ </math>

où les coefficients <math>b_n</math> vérifient l'inégalité <math>b_n\le a_n</math> et, s'il y a égalité <math>b_n=a_n</math>, alors <math>b_{n-1}=0</math>.

== Représentation des entiers naturels ==
Tout entier positif <math>N</math> peut être écrit de façon unique sous la forme

:<math> N = \sum_{n=1}^k b_n q_n \ </math>

où les coefficients vérifient l'inégalité <math>0\le b_n\le a_n</math> et si <math>b_n = a_n</math> alors <math>b_{n-1}=0</math>.

Si <math>\alpha=\varphi</math> est le [[nombre d'or]], alors les quotients partiels <math>a_n</math> sont tous égaux à 1, les dénominateurs <math>q_n</math> denominators ''q''<sub>''n''</sub> sont les  [[Nombre de Fibonacci|nombres de Fibonacci]] et on retrouve le [[théorème de Zeckendorf]] sur le [[codage de Fibonacci]] des [[Entier naturel|entiers positifs]] comme somme de nombre de Fibonacci distincts non consécutifs.

== Article lié ==
* {{Lien|trad=Complete sequence|fr=Suite complète}}

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Ostrowski numeration|869037449}}
{{Références}}
* {{Ouvrage
 | auteur1=[[Jean-Paul Allouche]]
 | auteur2=[[Jeffrey Shallit]]
 | titre=Automatic Sequences
 | sous-titre=Theory, Applications, Generalizations
 | éditeur=[[Cambridge University Press]]
 | année=2003
 | pages totales=571
 | isbn=978-0-521-82332-6
 | zbl=1086.11015
 | lire en ligne=https://books.google.com/books?id=2ZsSUStt96sC&printsec=frontcover
}}.
* {{Article | zbl=1237.68134 
 | auteur1=Chiara Epifanio 
 | auteur2= Christiane Frougny 
 | auteur3= Alessandra Gabriele 
 | auteur4= Filippo Mignosi 
 | auteur5= [[Jeffrey Shallit]]
 | titre=Sturmian graphs and integer representations over numeration systems 
 | journal=Discrete Applied Mathematics
 | volume=160 | numéro=4-5 | pages=536–547 | année=2012 
 | doi=10.1016/j.dam.2011.10.029}}
* {{Article | auteur1 = [[Alexander Ostrowski]] | jfm=48.0197.04 
| titre=Bemerkungen zur Theorie der diophantischen Approximationen 
| journal=Hamb. Abh. | volume=1 | année=1921 | pages=77–98 }}
* {{Ouvrage
| langue=en
| auteur1=N. Pytheas Fogg
| responsabilité1=nom de plume
| auteur2=[[Valérie Berthé]]
| auteur3=Sébastien Ferenczi
| auteur4=[[Christian Mauduit (mathématicien)|Christian Mauduit]]
| auteur5=Anne Siegel
| responsabilité5=éditeurs
| titre=Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics
| lieu=Berlin/Heidelberg/New York
| éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
| numéro dans collection=1794
| année=2002
| pages totales=402
| isbn=3-540-44141-7
| zbl=1014.11015
| collection=Lecture Notes in Mathematics
}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Théorie des nombres]]
[[Catégorie:Système de numération]]