Numération d'Ostrowski

En mathématiques, la numération dModèle:'Ostrowski, qui porte le nom d'Alexander Ostrowski, est un système de numération basé sur le développement en fraction continue ; c'est un système de numération positionnel non standard pour les entiers et pour les nombres réels.

Notations

Soit $\alpha$ un nombre irrationnel positif avec développement en fraction continue

$\alpha =a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\cdots }}}$

Soit $(q_n)$ la suite des dénominateurs des convergents $p_n/q_n$ vers $\alpha$, donnée par

$q_n=a_n{q}_{n-1}+q_{n-2}$.

On pose ${\alpha }_n=T^n(\alpha )$, où $T$ est l'opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing donné par $T(x)=\{1/x\}$, et ${\beta }_n=(-1{)}^{n+1}{\alpha }_0{\alpha }_1\cdots {\alpha }_n$ ; on a alors

${\beta }_n=a_n{\beta }_{n-1}+{\beta }_{n-2}$.

Représentation des nombres réels

Tout nombre réel positif $x$ peut être écrit sous la forme

$x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{\beta }_n$

où les coefficients $b_n$ vérifient l'inégalité $b_n\le a_n$ et, s'il y a égalité $b_n=a_n$, alors $b_{n-1}=0$.

Représentation des entiers naturels

Tout entier positif $N$ peut être écrit de façon unique sous la forme

$N=\sum _{n=1}^k{b}_n{q}_n$

où les coefficients vérifient l'inégalité $0\le b_n\le a_n$ et si $b_n=a_n$ alors $b_{n-1}=0$.

Si $\alpha =\phi$ est le nombre d'or, alors les quotients partiels $a_n$ sont tous égaux à 1, les dénominateurs $q_n$ denominators q_n sont les nombres de Fibonacci et on retrouve le théorème de Zeckendorf sur le codage de Fibonacci des entiers positifs comme somme de nombre de Fibonacci distincts non consécutifs.

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Notes et références

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