Voir la source de Oscillation (mathématiques)

{{autre4|l'oscillation en [[mathématiques]]|l'oscillation en [[physique]]|Oscillation}}

L''''oscillation''' quantifie la tendance d'une [[Fonction (mathématiques)|fonction]] ou d'une [[suite (mathématiques)|suite]] à varier entre des valeurs [[Extremum|extrémales]]. Il existe plusieurs notions d'oscillation : oscillation d'une suite de [[Nombre réel|réels]], oscillation d'une fonction [[Ensemble d'arrivée|à valeurs dans]] un [[espace métrique]] (comme [[Nombre réel|ℝ]]), en un point ou sur une [[Sous-ensemble|partie]] de son [[domaine de définition]].
 
[[Fichier:LimSup.svg|right|thumb|L'oscillation d'une suite (représentée en bleu) est la différence entre ses limites supérieure et inférieure.]]
== Définitions ==
=== Oscillation d'une suite réelle ===
L'oscillation {{math|''ω''(''a'')}} d'une suite réelle {{math|1=''a ''= (''a{{ind|n}}''){{ind|''n''}}}} est la différence entre ses [[limites supérieure et inférieure]] :
<center><math>\omega(a)=\limsup(a)-\liminf(a)\in[0,+\infty].</math></center>
Elle est définie sauf si cette différence est de la [[Indétermination de la forme ∞ - ∞|forme {{math|(+∞) – (+∞)}} ou {{math|(–∞) – (–∞)}}]], c'est-à-dire si la suite [[Limite d'une suite#Limite infinie|tend vers {{math|+∞}} ou vers {{math|–∞}}]]. Elle vaut {{math|+∞}} lorsque la suite n'est pas [[Suite bornée|bornée]]. Elle est nulle lorsque la suite [[Limite d'une suite#Suite convergente|converge]].

=== Oscillation d'une fonction sur une partie ===
Si {{math|''f''}} est une fonction à valeurs réelles définie sur un [[ensemble]] ''X'', l'oscillation {{math|''ω''{{ind|''f''}}(''U'')}} de ''{{math|f}} '' sur une partie non vide ''{{math|U}} ''de ''X ''est la différence entre les [[Borne supérieure et borne inférieure|bornes supérieure et inférieure]] de ''{{math|f}} ''sur ''{{math|U}} '':
<center><math>\omega_f(U)=\sup_{x\in U} f(x)-\inf_{x\in U}f(x).</math></center>

Plus généralement, si ''{{math|f}} ''est à valeurs dans un ensemble ''E ''muni d'une [[Distance (mathématiques)|distance]] {{math|''d''}}, {{math|''ω''{{ind|''f''}}(''U'')}} est le [[diamètre]] de l'[[Image directe|image]] de ''{{math|U}} ''par ''{{math|f}} '':
<center><math>\omega_f(U)={\rm diam}\Big(f(U)\Big)=\sup_{x,y\in U}d\Big(f(x),f(y)\Big)\in[0,+\infty].</math></center>

Elle est toujours définie, et vaut {{math|+∞}} lorsque la fonction n'est pas [[Fonction bornée|bornée]] sur {{math|''U''}}.

=== Oscillation d'une fonction en un point ===
Lorsque le domaine ''{{math|X}}'' de ''{{math|f}} ''est [[Espace topologique|muni d'une topologie]], on définit l'oscillation {{math|''ω''{{ind|''f''}}(''a'')}} de ''{{math|f}} ''en un point quelconque ''{{math|a}} ''de ''{{math|X}}'' comme la borne inférieure de ses oscillations {{math|''ω''{{ind|''f''}}(''U'')}} quand ''{{math|U}} ''parcourt le [[Filtre (mathématiques)|filtre]] {{math|''V''(''a'')}} des [[Glossaire de topologie#V|voisinages]] de {{math|''a''}}, ou même seulement une [[Base de filtre|base {{math|''W''(''a'')}} de {{math|''V''(''a'')}}]] :
<center><math>\omega_f(a)=\inf_{U\in V(a)}\omega_f(U)=\inf_{U\in W(a)}\omega_f(U).</math></center>

Si de plus ''{{math|f}} ''est à valeurs réelles, cette oscillation est la différence entre [[Limites inférieure et supérieure#Suites généralisées|limites supérieure et inférieure de ''{{math|f}} ''en ''{{math|a}}'']] :
<center><math>\omega_f(a)=\limsup_{V(a)}f-\liminf_{V(a)}f=\limsup_{W(a)}f-\liminf_{W(a)}f.</math></center>

On peut toujours choisir pour {{math|''W''(''a'')}} l'ensemble des [[Ouvert (topologie)|ouverts]] qui contiennent {{math|''a''}}. Si l'espace topologique ''{{math|X}}'' est [[Espace métrisable|métrisable]], on peut aussi choisir comme base la [[Famille (mathématiques)|famille]] des [[Boule (topologie)|boules (ouvertes par exemple)]] {{math|''B''(''a'', ε)}} de centre {{math|''a''}} et de rayon {{math|ε > 0}} et vérifier que
<center><math>\omega_f(a)=\lim_{\varepsilon\to0^+}\omega_f\Big(B(a,\varepsilon)\Big),</math></center>
ce qui, si l'espace métrisable ''{{math|X}}'' est un ensemble de réels (muni de la [[Nombre réel#Topologie|distance usuelle]]), se réécrit :
<center><math>\omega_f(a)=\lim_{\varepsilon\to0^+}\omega_f\left(]a-\varepsilon,a+\varepsilon[\cap X\right).</math></center>

L'oscillation de ''{{math|f}}'' en un point ''{{math|a}}'' de son domaine est nulle si et seulement si ''{{math|f}}'' est [[continue]] en {{math|''a''}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=William F.|nom1=Trench|titre=Introduction to Real Analysis|éditeur=|année=2010|mois=4|année première édition=2003, Prentice Hall/Pearson Education|pages totales=574|passage=172|isbn=978-0-13-045786-8|lire en ligne=http://ramanujan.math.trinity.edu/wtrench/texts/TRENCH_REAL_ANALYSIS.PDF}}, Theorem 3.5.2.</ref>.

De plus, toutes les égalités ci-dessus s'étendent au cas où ''{{math|f}} ''n'est définie que sur une partie ''{{math|Y}}'' de ''{{math|X}}'' à laquelle ''{{math|a}}'' est seulement [[Point adhérent|adhérent]], en remplaçant le filtre {{math|''V''(''a'')}} des voisinages de ''{{math|a}}'' par celui, {{math|''V{{ind|Y}}''(''a'')}}, de leurs intersections avec ''{{math|Y}}''. L'oscillation de ''{{math|f}}'' en ''{{math|a}}'' est nulle si et seulement si le [[Filtre (mathématiques)#Filtre image, limite d'une fonction|filtre image]], {{math|''f''(''V{{ind|Y}}''(''a''))}}, est [[Espace uniforme|de Cauchy]]. Lorsque l'espace métrique d'arrivée ''{{math|E}}'' est [[Espace complet|complet]], cela équivaut, à nouveau, à l'existence d'une [[Limite (mathématiques)|limite]] en ''{{math|a}} ''pour ''{{math|f}}''.

Lorsque ''{{math|X}}'' est métrisable et ''{{math|E}}'' complet, si ''{{math|f}}'' est continue sur le sous-espace ''{{math|Y}}'', elle s'étend continûment au [[Hiérarchie de Borel|G{{ind|δ}}]] des points adhérents à ''{{math|Y}}'' en lesquels l'oscillation de ''{{math|f}}'' est nulle<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Stephen Willard|titre=General Topology|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=2012|année première édition=1970|passage=177|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|UrsHbOjiR8QC|page=177}}}}.</ref>.

La notion d'oscillation en un point adhérent généralise aussi celle d'[[#Oscillation d'une suite réelle|oscillation d'une suite dans ℝ]] à toute suite dans ''E'', vue comme fonction sur l'[[espace discret]] {{nobr|1=''{{math|Y}} ''= [[entiers naturels|ℕ]]}}, en considérant {{math|1=''a ''= +∞}}, adhérent à ℕ dans son [[compactifié d'Alexandrov]] {{nobr|1=''X ''= ℕ∪{{math|{+∞}<nowiki/>}}.}}

== Exemples ==
* Les seules suites [[Fonction périodique|périodiques]] d'oscillation nulle sont les suites constantes.
* L'oscillation de la suite ''a{{ind|n}} ''= (–1){{exp|''n''}} vaut 2.
* L'oscillation de la fonction ''x ''↦ 1/''x ''est infinie en 0 et nulle en tout autre élément de [[Droite réelle achevée|{{surligner|ℝ}}]].
* Celle de la [[fonction sinus]] vaut 2 en {{math|±∞}}, et 0 ailleurs.
* Celle de [[Courbe sinus du topologue|''x ''↦ sin(1/''x'')]] vaut 2 en 0, et 0 ailleurs.

== Discontinuités ==
L'application ''a ''↦ [[#Oscillation d'une fonction en un point|{{math|''ω''{{ind|''f''}}(''a'')}}]] permet de quantifier les discontinuités de ''{{math|f}} ''et de [[Classification des discontinuités|les classer]].

Elle est en outre [[Semi-continuité|semi-continue supérieurement]], donc l'ensemble {{math|Δ(''f'')}} des points de discontinuité de ''{{math|f}} ''est un [[Ensemble Fσ|F{{ind|σ}}]], comme réunion des [[Fermé (topologie)|fermés]] {{math|Δ{{ind|''n''}}(''f'')}} = {''a ''∈ ''X ''| {{math|''ω''{{ind|''f''}}(''a'')}} ≥ 1/''n''}. Par passage au complémentaire, l'ensemble des points de continuité de ''{{math|f}}'' est un [[Ensemble Gδ|G<sub>δ</sub>]], intersection dénombrable des ouverts {''a ''∈ ''X ''| {{math|''ω''{{ind|''f''}}(''a'')}} , 1/''n''}. 

Cela fournit aussi une preuve très rapide de l'une des deux directions du [[Intégrale de Riemann#Propriétés|critère de Lebesgue pour l'intégrabilité de Riemann]]<ref>{{Harvsp|Trench|2010|p=171-177}}, § 3.5 : « {{Lang|en|A More Advanced Look at the Existence of the Proper Riemann Integral}} ».</ref>, à savoir : si {{math|Δ(''f'')}} n'est pas [[Ensemble négligeable#Mesure de Lebesgue|Lebesgue-négligeable]], alors ''{{math|f}} ''n'est pas Riemann-intégrable, puisque {{math|''I''{{ind|+}}(''f'') – ''I''{{ind|–}}(''f'') ≥ λ(Δ{{ind|''n''}}(''f''))/''n''}}.

== Notes et références ==
{{Références}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Edwin Hewitt]]|auteur2=Karl Stromberg|titre=Real and Abstract Analysis|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=1965|passage=78}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=John C.|nom1=Oxtoby|titre=Measure and Category|éditeur=Springer|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=2|année=1996|numéro d'édition=4|pages totales=124|passage=31–35|isbn=978-0-387-90508-2}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Charles Chapman Pugh|C. C. Pugh]]|titre=Real Mathematical Analysis|éditeur=Springer|année=2002|pages totales=440|passage=164-165|isbn=978-0-387-95297-0|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=R_ZetzxFHVwC&printsec=frontcover}}
{{Traduction/Référence|en|Oscillation (mathematics)|535167718}}

== Articles connexes ==
* [[Continuité de Cauchy]]
* [[Fonction à variation bornée]]
* [[Module de continuité]]
*[[Fonction à oscillation moyenne bornée]]
* [[Série de Grandi]]
* [[Théorème de Froda]]

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse réelle]]