Voir la source de Pavage de la sphère

{{voir homonymes| Pavage (homonymie)}}
{{images
| Comparison of truncated icosahedron and soccer ball.png| légende1=[[Icosaèdre tronqué]] et [[ballon de football]].
| BeachBall.jpg| légende2=[[Ballon de plage]] ({{lien| trad=hosohedron| hosoèdre}} à six faces si l'on réduit à néant les disques blancs).
| File:Geodesie.png| légende3=Découpage de la sphère par des [[méridien]]s et des [[Parallèle (géographie)|parallèles]].}}
Un '''pavage de la sphère''' est un ensemble de portions de la surface d'une [[sphère]] dont l'union est la sphère entière, sans recouvrement. En pratique on s'intéresse surtout aux pavages réalisés avec des [[polygone sphérique|polygones sphériques]] (des portions de surface délimitées par des [[Arc de cercle|arcs]] de [[grand cercle]]), dénommés [[polyèdre sphérique|polyèdres sphériques]].

Les pavages les plus connus sont le [[ballon de football]], que l'on peut assimiler à un [[icosaèdre tronqué]], et le [[ballon de plage]], assimilable à un {{lien| trad=hosohedron| hosoèdre}}. Un autre pavage bien connu est celui délimité par des [[méridien]]s et des [[Parallèle (géographie)|parallèles]], mais il n'utilise pas que des arcs de grand cercle.

== Coloriage ==
Une question apparemment anodine concerne le nombre de couleurs nécessaire au coloriage des différentes portions de surface (ou ''régions''), de telle sorte que deux régions limitrophes (c'est-à-dire, ayant une frontière commune) ne reçoivent pas la même couleur. On sait depuis longtemps qu'en pratique il suffit de quatre couleurs, mais c'est une [[conjecture]] énoncée en 1852 qui n'a été démontrée qu'en 1976 ([[théorème des quatre couleurs]])<ref group=alpha>La question du coloriage est la même pour la sphère que pour le [[pavage du plan|plan]]. On peut s'en rendre compte en retirant de la sphère un point intérieur à l'une des régions, et en effectuant depuis ce point une [[projection stéréographique]].</ref>.

== Pavages générés par des polyèdres réguliers ou semi-réguliers ==
[[fichier:Sphere5tesselation.gif| vignette| Pavage de la sphère par des triangles ([[icosaèdre]] déformé).]]
On peut paver la sphère en projetant depuis son centre n'importe quel [[polyèdre]] [[polyèdre régulier|régulier]] ou [[polyèdre semi-régulier|semi-régulier]] (ou son [[polygone dual|dual]]) de même centre. Chacun de ces [[polyèdre sphérique|polyèdres sphériques]] peut être caractérisé par son [[symbole de Schläfli]] <math>\{p,q\}</math> ou par sa [[figure de sommet]] <math>a.b.c\dots</math>.

{| class="wikitable"
![[Symbole de Schläfli]]
!{p,q}
!t{p,q}
!r{p,q}
!t{q,p}
!{q,p}
!rr{p,q}
!tr{p,q}
!sr{p,q}
|-
![[Figure de sommet]]
!p<sup>q</sup>
!q.2p.2p
!p.q.p.q
!p.&nbsp;2q.2q
!q<sup>p</sup>
!q.4.p.&nbsp;4
!4.2q.2p
!3.3.q.3.p
|-align=center
|rowspan=2|Tétraédrique<br />(3 3 2)
|rowspan=2|[[Image:Uniform tiling 332-t0-1-.svg|64px]]<br />[[Tétraèdre|3{{3}}]]
|[[File:Uniform tiling 332-t01-1-.png|64px]]<br />[[Tétraèdre tronqué|3.6.6]]
|[[Image:Uniform tiling 332-t1-1-.png|64px]]<br />[[Octaèdre|3.3.3.3]]
|[[Image:Uniform tiling 332-t12.png|64px]]<br />[[Tétraèdre tronqué|3.6.6]]
|rowspan=2|[[Image:Uniform tiling 332-t2.svg|64px]]<br />[[Tétraèdre|3{{3}}]]
| [[Image:Uniform tiling 332-t02.png|64px]]<br />[[Cuboctaèdre|3.4.3.4]]
|[[Image:Uniform tiling 332-t012.png|64px]]<br />[[Octaèdre tronqué|4.6.6]]
|[[Image:Spherical snub tetrahedron.svg|64px]]<br />[[Icosaèdre|3.3.3.3.3]]
|-align=center
|[[Image:Spherical_triakis_tetrahedron.png|64px]]<br />[[Triakitétraèdre|V3.6.6]]
|[[File:spherical_dual_octahedron.png|64px]]<br />[[cube|V3.3.3.3]]
|[[Image:Spherical_triakis_tetrahedron.png|64px]]<br />[[Triakitétraèdre|V3.6.6]]
|[[File:Spherical rhombic dodecahedron.png|64px]]<br />[[Dodécaèdre rhombique|V3.4.3.4]]
|[[Image:Spherical_tetrakis_hexahedron.png|64px]]<br />[[Tétrakihexaèdre|V4.6.6]]
|[[File:Uniform tiling 532-t0.png|64px]]<br />[[Dodécaèdre|V3.3.3.3.3]]
|-align=center
|rowspan=2|Octaédrique<br />(4 3 2)
|rowspan=2|[[Image:Uniform tiling 432-t0.png|64px]]<br />[[Cube|4{{3}}]]
|[[Image:Uniform tiling 432-t01.png|64px]]<br />[[Cube tronqué|3.8.8]]
|[[Image:Uniform tiling 432-t1.png|64px]]<br />[[Cuboctaèdre|3.4.3.4]]
|[[Image:Uniform tiling 432-t12.png|64px]]<br />[[Octaèdre tronqué|4.6.6]]
|rowspan=2|[[Image:Uniform tiling 432-t2.png|64px]]<br />[[Octaèdre|3{{4}}]]
|[[Image:Uniform tiling 432-t02.png|64px]]<br />[[Petit rhombicuboctaèdre|3.4.4.4]]
|[[Image:Uniform tiling 432-t012.png|64px]]<br />[[Cuboctaèdre tronqué|4.6.8]]
|[[Image:Spherical snub cube.png|64px]]<br />[[Cube adouci|3.3.3.3.4]]
|-align=center
|[[Image:Spherical_triakis_octahedron.png|64px]]<br />[[Triakioctaèdre|V3.8.8]]
|[[File:spherical_rhombic_dodecahedron.png|64px]]<br />[[Dodécaèdre rhombique|V3.4.3.4]]
|[[Image:Spherical_tetrakis_hexahedron.png|64px]]<br />[[Tétrakihexaèdre|V4.6.6]]
|[[File:Spherical_deltoidal icositetrahedron.png|64px]]<br />[[Icositétraèdre trapézoïdal|V3.4.4.4]]
|[[File:Spherical_disdyakis_dodecahedron.png|64px]]<br />[[Hexakioctaèdre|V4.6.8]]
|[[File:Spherical_pentagonal_icositetrahedron.png|64px]]<br />[[Icositétraèdre pentagonal|V3.3.3.3.4]]
|-align=center
|rowspan=2|Icosaédrique<br />(5 3 2)
|rowspan=2|[[Image:Uniform tiling 532-t0.png|64px]]<br />[[Dodécaèdre|5{{3}}]]
|[[Image:Uniform tiling 532-t01.png|64px]]<br />[[Dodécaèdre tronqué|3.10.10]]
|[[Image:Uniform tiling 532-t1.png|64px]]<br />[[Icosidodécaèdre|3.5.3.5]]
|[[Image:Uniform tiling 532-t12.png|64px]]<br />[[Icosaèdre tronqué|5.6.6]]
|rowspan=2|[[Image:Uniform tiling 532-t2.png|64px]]<br />[[Icosaèdre|3{{5}}]]
|[[Image:Uniform tiling 532-t02.png|64px]]<br />[[Petit rhombicosidodécaèdre|3.4.5.4]]
|[[Image:Uniform tiling 532-t012.png|64px]]<br />[[Icosidodécaèdre tronqué|4.6.10]]
|[[File:Spherical snub dodecahedron.png|64px]]<br />[[Dodécaèdre adouci|3.3.3.3.5]]
|-align=center
|[[Image:Spherical_triakis_icosahedron.png|64px]]<br />[[Triaki-icosaèdre|V3.10.10]]
|[[File:spherical_rhombic_triacontahedron.png|64px]]<br />[[Triacontaèdre rhombique|V3.5.3.5]]
|[[Image:Spherical_pentakis_dodecahedron.png|64px]]<br />[[Pentakidodécaèdre|V5.6.6]]
|[[File:Spherical_deltoidal hexecontahedron.png|64px]]<br />[[Hexacontaèdre trapézoïdal|V3.4.5.4]]
|[[File:Spherical_disdyakis_triacontahedron.png|64px]]<br />[[Hexaki-icosaèdre|V4.6.10]]
|[[File:Spherical_pentagonal_hexecontahedron.png|64px]]<br />[[Hexacontaèdre pentagonal|V3.3.3.3.5]]
|- align=center
|Diédrique<br />Exemple {{nobr| 1=''p'' =}} 6<br />(2 2 6)
| [[Image:hexagonal dihedron.png|64px]]<br />{{lien| trad=Dihedron| fr=Dièdre sphérique| texte=6{{2}}}}
| [[Image:dodecagonal dihedron.png|64px]]<br />{{lien| trad=Dihedron| fr=Dièdre sphérique| texte=2.12.12}}
| [[Image:hexagonal dihedron.png|64px]]<br />{{lien| trad=Dihedron| fr=Dièdre sphérique| texte=2.6.2.6}}
| [[File:Spherical hexagonal prism.svg|64px]]<br />[[Prisme hexagonal|6.4.4]]
| [[File:Hexagonal Hosohedron.svg|64px]]<br />{{lien| trad=Hosohedron| fr=hosoèdre| texte=2{{6}}}}
| [[File:Spherical truncated trigonal prism.png|64px]]<br />[[Prisme hexagonal|4.6.4]]
| [[File:Spherical truncated hexagonal prism.png|64px]]<br />[[Prisme dodécagonal|4.4.12]]
| [[File:Spherical hexagonal antiprism.svg|64px]]<br />[[Antiprisme hexagonal|3.3.3.6]]
|}

{| class=wikitable
!Classe
!2
!3
!4
!5
!6
!7
!8
!10
|-
![[Prisme (solide)|Prisme]]<br />(2 2 p)
|[[Image:Digonal dihedron.png|50px]]
|[[Image:Spherical triangular prism.svg|50px]]
|[[Image:Spherical square prism2.png|50px]]
|[[Image:Spherical pentagonal prism.svg|50px]]
|[[Image:Spherical hexagonal prism2.png|50px]]
|[[Image:Spherical heptagonal prism.svg|50px]]
|[[Image:Spherical octagonal prism2.png|50px]]
|[[Image:Spherical decagonal prism2.png|50px]]
|-
![[Bipyramide]]<br />(2 2 p)
|[[Image:Spherical digonal bipyramid2.svg|50px]]
|[[File:Spherical_trigonal_bipyramid.svg|50px]]
|[[Image:Spherical square bipyramid2.svg|50px]]
|[[File:Spherical pentagonal bipyramid.svg|50px]]
|[[Image:Spherical hexagonal bipyramid2.png|50px]]
|[[File:Spherical_heptagonal_bipyramid.svg|50px]]
|[[Image:Spherical octagonal bipyramid2.png|50px]]
|[[Image:Spherical decagonal bipyramid2.png|50px]]
|-
![[Antiprisme]]
|[[Image:Spherical digonal antiprism.svg|50px]]
|[[Image:Spherical trigonal antiprism.svg|50px]]
|[[Image:Spherical square antiprism.svg|50px]]
|[[Image:Spherical pentagonal antiprism.svg|50px]]
|[[Image:Spherical hexagonal antiprism.svg|50px]]
|[[Image:Spherical heptagonal antiprism.svg|50px]]
|[[Image:Spherical octagonal antiprism.svg|50px]]
|
|-
![[Trapézoèdre]]
|[[File:Spherical digonal antiprism.svg|50px]]
|[[File:Spherical trigonal trapezohedron.svg|50px]]
|[[File:Spherical tetragonal trapezohedron.svg|50px]]
|[[File:Spherical pentagonal trapezohedron.svg|50px]]
|[[File:Spherical hexagonal trapezohedron.svg|50px]]
|[[File:Spherical heptagonal trapezohedron.svg|50px]]
|[[File:Spherical octagonal trapezohedron.svg|50px]]
|[[File:Spherical decagonal trapezohedron.svg|50px]]
|}

=== Cas dégénérés ===
On peut aussi paver la sphère par des polyèdres sphériques dégénérés, tels que les {{lien| trad=hosohedron| fr=hosoèdre| texte=hosoèdres}} ([[symbole de Schläfli]] :  <math>\{2,n\}</math>) et les {{lien| trad=dihedron| fr=dièdre sphérique| texte=dièdres sphériques}} réguliers (<math>\{n,2\}</math>).

{|class="wikitable"
|+ Hosoèdres réguliers
|-
!
|[[File:Spherical henagonal hosohedron.svg|80px]]
|[[File:Spherical digonal hosohedron.svg|80px]]
|[[Image:Spherical trigonal hosohedron.svg|80px]]
|[[Image:Spherical square hosohedron.svg|80px]]
|[[Image:Spherical pentagonal hosohedron.svg|80px]]
|[[Image:Spherical hexagonal hosohedron.svg|80px]]
|[[Image:Spherical heptagonal hosohedron.svg|80px]]
|[[Image:Spherical octagonal hosohedron.svg|80px]]
|- align=center
![[Symbole de Schläfli|Schläfli]]
|{2,1}
|{2,2}
|{2,3}
|{2,4}
|{2,5}
|{2,6}
|{2,7}
|{2,8}...
|- align=center
![[Diagramme de Coxeter-Dynkin|Coxeter]]
!{{DCD|node_1|2x|node}}
!{{DCD|node_1|2x|node|2x|node}}
!{{DCD|node_1|2x|node|3|node}}
!{{DCD|node_1|2x|node|4|node}}
!{{DCD|node_1|2x|node|5|node}}
!{{DCD|node_1|2x|node|6|node}}
!{{DCD|node_1|2x|node|7|node}}
!{{DCD|node_1|2x|node|8|node}}
|-align=center
!Faces et<br />arêtes
|1||2||3||4||5||6||7||8
|-align=center
!Sommets
|colspan=8|2
|}

{| class=wikitable
|+ Dièdres sphériques réguliers
|- align=center
|
|[[File:Hengonal dihedron.png|100px]]
|[[Image:Digonal dihedron.png|100px]]
|[[Image:Trigonal dihedron.png|100px]]
|[[Image:Tetragonal dihedron.png|100px]]
|[[Image:Pentagonal dihedron.png|100px]]
|[[Image:Hexagonal dihedron.png|100px]]
|- align=center
![[symbole de Schläfli|Schläfli]]
|h{2,2}={1,2}
|{2,2}
|{3,2}
|{4,2}
|{5,2}
|{6,2}...
|- align=center
![[Diagramme de Coxeter-Dynkin|Coxeter]]
|{{DCD|node_h|2x|node|2x|node}}
|{{DCD|node_1|2x|node|2x|node}}
|{{DCD|node_1|3|node|2x|node}}
|{{DCD|node_1|4|node|2x|node}}
|{{DCD|node_1|5|node|2x|node}}
|{{DCD|node_1|6|node|2x|node}}
|- align=center
!Faces
|2 {1}||2 {2}||2 {3}||2 {4}||2 {5}||2 {6}
|- align=center
!Arêtes et<br />sommets
|1||2||3||4||5||6
|}

=== Correspondance avec le pavage du plan projectif ===
Les polyèdres sphériques ayant au moins une symétrie d'[[inversion (géométrie)|inversion]] sont liés aux {{lien| trad=Projective polyhedron| fr=Polyèdre projectif| texte=polyèdres projectifs}}<ref>{{chapitre| auteur1={{lien|Peter McMullen}}| auteur2=Egon Schulte| titre chapitre=6C. Projective Regular Polytopes| titre ouvrage=Abstract Regular Polytopes| numéro édition=1| éditeur=[[Cambridge University Press]]| isbn=0-521-81496-0| date=décembre 2002 | pages=162-165| lire en ligne=https://books.google.com/books?id=JfmlMYe6MJgC&pg=PA162| consulté le=8 février 2020}}.</ref>, qui permettent le [[pavage d'un espace non euclidien|pavage]] du [[plan projectif réel|plan projectif]].

Les polyèdres projectifs les mieux connus sont les polyèdres projectifs réguliers (quotients des [[solide de Platon|solides de Platon]] à [[symétrie centrale]]), ainsi que deux classes infinies de {{lien| trad=dihedron| fr=Dièdre sphérique| texte=dièdres sphériques}} pairs et d'{{lien| trad=hosohedron| fr=Hosohèdre| texte=hosohèdres}}<ref>{{chapitre| auteur=[[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter]]| titre ouvrage=Introduction to geometry| année=1969| numéro édition=2| titre chapitre=21.3 Regular maps| pages=386-388}}.</ref> :
* l'{{lien| trad=Hemicube (geometry)| hémicube}}, {4,3}/2 ;
* l'{{lien| trad=Hemi-octahedron| hémioctaèdre}}, {3,4}/2 ;
* {{lien| trad=Hemi-dodecahedron| hémidodécaèdre}}, {5,3}/2 ;
* l'{{lien| trad=Hemi-icosahedron| hémi-icosaèdre}}, {3,5}/2 ;
* l'hémidièdre, {2p,2}/2, {{nobr|''p'' ≥ 1}} ;
* l'hémihosoèdre, {2,2p}/2, {{nobr|''p'' ≥ 1}}.

== Pavage par des quadrilatères curvilignes ==
On peut paver la sphère par des quadrilatères curvilignes découpés par deux familles de courbes, notamment deux familles [[Trajectoire orthogonale|orthogonales]] (chaque courbe de la première famille coupe celles de la seconde à [[angle droit]]) ou plus généralement [[Trajectoire orthogonale#Trajectoires isogonales|isogonales]] (l'angle d'intersection des courbes des deux familles est constant).

Le plus utilisé de ces pavages est celui formé par des [[méridien]]s et des [[parallèle (géographie)|parallèles]], qu'on peut d'ailleurs appliquer à n'importe quelle [[surface de révolution]] ([[ellipsoïde de révolution|ellipsoïde]], [[tore]]{{etc.}}). En [[planétologie]] les quadrilatères du pavage sont dénommés ''[[quadrangle (cartographie)|quadrangles]]''.

Quand un [[Potentiel d'un champ vectoriel|potentiel]] <math>V(\theta,\varphi)</math> (où {{mvar|θ}} et {{mvar|φ}} sont la [[colatitude]] et la [[longitude]]) a été défini sur la sphère, les [[équipotentielle]]s et les [[ligne de champ|lignes de champ]] constituent deux familles orthogonales qui peuvent servir à paver la sphère<ref group=alpha>Le pavage de la Terre par des méridiens et des parallèles en est un cas particulier, en prenant comme potentiel <math>V=\theta</math> (les lignes de champ sont les méridiens, orientés du [[pôle Nord]] vers le [[pôle Sud]]). Si l'on prend comme potentiel le [[potentiel scalaire du champ magnétique|potentiel scalaire]] du [[champ magnétique terrestre]], les lignes de champ sont partout parallèles à la composante horizontale du [[champ magnétique]]. Le champ terrestre n'étant que très approximativement [[dipôle magnétique|dipolaire]], les courbes des deux familles ne sont pas circulaires.</ref>.

== Notes et références ==
{{traduction/référence| en| Spherical polyhedron| 919671835}}

=== Notes ===
{{références| groupe=alpha}}

=== Références ===
{{références}}

== Voir aussi ==
{{autres projets| commons=Category:Spherical tilings}}

=== Articles connexes ===
* [[Géométrie sphérique]]
* [[Pavage d'une surface]]

{{portail|géométrie}}

[[Catégorie:Pavage|sphère]]
[[Catégorie:Sphère]]