Voir la source de Plongement

{{Autre4|le plongement en mathématiques||Plongement (homonymie)}}
{{ébauche|mathématiques}}
{{sources|date=août 2013}}
Dans de nombreuses branches des [[mathématiques]], on peut être amené à comparer deux « objets » entre eux en montrant que l'un des « objets » est un « sous-objet » de l'autre (parfois via une [[Injection (mathématiques)|injection]], remplaçant l'[[Inclusion (mathématiques)|inclusion]] [[théorie des ensembles|ensembliste]]). Dans certaines théories, comme en [[géométrie différentielle]] ou en [[Corps commutatif|théorie des corps]], le terme '''plongement''' est complètement défini, alors que dans d'autres il est seulement mentionné dans des contextes intuitifs et n'est donc pas pourvu d'un sens précis. De manière générale, il faut penser à un plongement comme à un [[morphisme]] [[Injection (mathématiques)|injectif]] (le sens du mot « morphisme» dépendant du contexte).

== Espaces topologiques ==
[[Fichier:Logarithmic spiral.svg|vignette|[[Spirale logarithmique|Cette spirale]] représente un plongement de la [[droite réelle]] dans le [[Plan euclidien|plan]].]]
Une application {{math|''f'' : ''X'' → ''Y''}} entre deux [[Espace topologique|espaces topologiques]] est un plongement de {{math|''X''}} dans {{math|''Y''}} si elle induit (par [[Application (mathématiques)#Opérations sur les applications|corestriction]]) un [[homéomorphisme]] de {{math|''X''}} dans [[Image d'une application|{{math|''f''(''X'')}}]] (muni de la [[topologie induite]])<ref>{{Ouvrage|auteur1=Léonard Todjihounde|titre=Calcul différentiel|éditeur=[[Éditions Cépaduès]]|année=2009|numéro d'édition=2|passage=276|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|E-P9kDL0XQoC|page=276}}}}.</ref>.

Cette corestriction est [[surjective]] par définition. Elle est [[Continuité (mathématiques)|continue]] et [[Injection (mathématiques)|injective]] si et seulement si {{math|''f''}} l'est. 

Toute injection continue [[Applications ouvertes et fermées|ouverte ou fermée]] est un plongement.

== Variétés différentielles ==
En [[topologie différentielle]], soient {{Formule|§=''V''}} et {{Formule|§=''W''}} deux [[variété différentielle|variétés]] de [[Classe de régularité|classe {{Formule|§=C<sup>''k''</sup>}}]] (éventuellement {{Formule|§=''k''}} infini), et {{Formule|§=''f'' : ''V'' → ''W''}} une fonction.

On dit que {{Formule|§=''f''}} est un '''plongement {{Formule|§=C<sup>''k''</sup>}}''' si c'est un plongement au sens topologique et si, de plus, {{Formule|§=''f''}} est {{Formule|§=C<sup>''k''</sup>}} et pour tout {{Formule|§=''x''∈''V''}}, l'application linéaire tangente {{Formule|§=T''f''(''x'')}} est injective.

Un plongement est alors un [[difféomorphisme]] {{Formule|§=C<sup>''k''</sup>}} sur son [[Image d'une application|image]], laquelle image est une [[Variété différentielle#Sous-variétés, plongements|sous-variété différentielle]] de ''W'' (ce dernier résultat nécessite le [[théorème des fonctions implicites]]){{Efn|C'est la définition d'un plongement dans {{Lafontaine1}}, 2010, {{p.|72}}.}}.

[[Fichier:Immersedsubmanifold nonselfintersection.jpg|vignette|Une immersion injective d'une variété non compacte n'est pas toujours un plongement.]]

On le différencie de :
* l'[[immersion (mathématiques)|immersion]] ({{Formule|§=T''f''(''x'')}} est injective) ;
* la [[submersion (mathématiques)|submersion]] ({{Formule|§=T''f''(''x'')}} est surjective).

''Si V est [[Compacité (mathématiques)|compacte]]'' et si ''f'' : ''V'' → ''W'' est une immersion injective, alors ''f'' est un plongement de ''V'' dans ''W''<ref>{{Harvsp|Lafontaine}}, 2010, {{p.|73}}.</ref>.

;[[Contre-exemple]]s quand ''V'' n'est pas compacte
:* Une [[feuilletage|feuille]] du [[feuilletage de Kronecker]] de pente [[Nombre irrationnel|irrationnelle]] n'est pas une sous-variété du [[tore]], puisqu'elle n'est pas [[Fermé (topologie)#Partie localement ferm.C3.A9e|localement fermée]].
:* Même lorsque l'image d'une immersion injective est fermée, elle peut ne pas être [[Variété (géométrie)|localement euclidienne]] (cf. figure).

'''[[Théorème de plongement de Whitney]]''' — ''Toute variété de classe'' {{Formule|§=C<sup>''k''</sup>}} ({{math|''k'' ≥ 1}}) ''et de dimension {{math|n}} admet un plongement dans'' {{math|'''R'''{{exp|2''n''}}}}.

== Espaces métriques ==
Dans le contexte des espaces métriques on parle de plongement pour un espace plongé dans un autre. Un paramètre important est alors la distorsion ({{lien|stretch factor}}), c'est-à-dire une mesure de la transformation des distances pendant l'opération. Un exemple de résultat est le [[lemme de Johnson-Lindenstrauss]].

== Algèbre ==
En [[algèbre]], un plongement est un [[homomorphisme]]{{Efn|On parle d'« homomorphisme de [[monoïde]]s » mais, selon la nature du monoïde considéré, on parle aussi d'homomorphisme de [[Groupe (mathématiques)|groupes]], d'[[anneau (mathématiques)|anneaux]], de [[corps (mathématiques)|corps]], etc.}} [[injection (mathématiques)|injectif]]{{Efn|Dans son traité d'algèbre, [[Serge Lang]] écrit qu'un homomorphisme <math>f:G\rightarrow G'</math> est un plongement lorsque <math>G\rightarrow \text{Im}_f(G) : x\rightarrow f(x)</math> est un [[isomorphisme]].  Il a été jugé ici qu'il est équivalent et plus simple de dire que <math>f</math> est injectif.}}.

== [[Relation d'ordre|Théorie des ensembles ordonnés]] ==
Soient {{math|(''P'', ≤)}} et {{math|(''Q'', ≼)}} deux [[Relation d'ordre|ordres]]. Alors {{Formule|''f'' : ''P'' → ''Q''}} est un {{Lien|trad=Order embedding|plongement d'ordres}} si pour tous {{math|''p''{{ind|1}}}} et {{math|''p''{{ind|2}}}} de {{math|''P''}} :
: {{math|''p''{{ind|1}}  ≤ ''p''{{ind|2}} ⇔ ''f''(''p''{{ind|1}}) ≼ ''f''(''p''{{ind|2}})}}.
Une telle application est nécessairement injective.

== [[Théorie des modèles]] ==
En théorie des modèles, une application <math>f : \mathcal{M} \to \mathcal{N}</math> entre deux <math>\mathcal L</math>-[[Structure (logique mathématique)|structures]] est un plongement si elle est injective et que pour tout <math>n \in \mathbb{N}</math>, pour tout <math>a_1,...,a_n \in \mathcal{M}^n</math>, on a :
* pour tout symbole de fonction <math>F</math> d'arité <math>n</math>, <math>f(F^{\mathcal{M}}(a_1,...,a_n)) = F^{\mathcal{N}}(f(a_1),...,f(a_n))</math> ;
* pour tout symbole de relation <math>R</math> d'arité <math>n</math>, <math>(a_1,...,a_n) \in R^{\mathcal{M}}</math> si et seulement si <math> (f(a_1), ...,f(a_n)) \in R^{\mathcal{N}}</math>.

== [[Théorie des catégories]] ==
{{Refsou|date=avril 2016|On appelle parfois « plongements » les [[Égaliseur (mathématiques)|égaliseurs]].}}

Dans une catégorie admettant des images et coimages, {{Pas clair|date=avril 2016|un plongement pourrait s'apparenter à un [[monomorphisme]] qui serait un isomorphisme sur l'image (ou la coimage est isomorphe à l'image).}}

== Plongement de graphes ==
Un [[plongement de graphe]], est l'opération qui consiste à plonger un [[graphe non orienté|graphe]] dans un espace, selon certaines conditions. Un exemple classique est le cas de [[graphe planaire|graphes planaires]] : les graphes que l'on peut dessiner dans le plan, sans croisement des arêtes.

== Notes ==
{{Notes}}

== Références ==
{{Références}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Application entre variétés différentielles]]
[[Catégorie:Vocabulaire des mathématiques]]