Voir la source de Plus grand nombre premier connu

[[Image:Digits in largest prime by year 2014.png|vignette|droite|upright=1.8|Graphique du nombre de chiffres du plus grand nombre premier connu par année, depuis l’avènement de l'ordinateur électronique. L'échelle verticale est [[Échelle logarithmique|logarithmique]] ; la ligne rouge est la courbe exponentielle avec le [[Ajustement de courbe|meilleur ajustement]] : y = exp(0,187394 t – 360,527), où t est en années.]]

Depuis {{date-|octobre 2024}}, le '''plus grand nombre premier connu''' est :
<!-- autre code: <center>2<sup>{{formatnum:77232917}}</sup> − 1</center> --><!--autre code: <center><math>2^{\scriptstyle74\,207\,281} - 1</math></center>-->

<center><math>2^{136\,279\,841} - 1</math></center>

C'est un nombre comportant {{unité|41024320|chiffres}} lorsqu'il est écrit en [[Système décimal|base dix]]. Il a été découvert le {{date-|11 octobre 2024||}} par le [[Great Internet Mersenne Prime Search]] (GIMPS) et confirmé le {{date-|12 octobre 2024}}.

[[Euclide]] a [[Théorème d'Euclide sur les nombres premiers|démontré]] qu'il n'existe aucun [[nombre premier]] qui est plus grand que tous les autres ; ce qui signifie qu'il existe une [[infinité]] de nombres premiers. Malgré, ou du fait de, cette absence de limite, beaucoup de mathématiciens, même amateurs, continuent à chercher de grands nombres premiers.

Depuis 1992, tous les plus grands nombres premiers connus à une date donnée sont des [[Nombre de Mersenne premier|nombres premiers de Mersenne]]<ref name="autre">En décembre 2018, cependant, le {{9e}} plus grand nombre premier connu était <math>10223.2^{31172165}+1</math>, découvert en 2016, et qui n'est pas de cette forme (voir sur le site de Chris Caldwell [http://primes.utm.edu/largest.html la liste des plus grands nombres premiers connus]).</ref>. En {{date-|octobre 2024}}, les dix-neuf plus grands nombres premiers connus (à ce sens) sont de Mersenne, tandis que le vingtième est un polynôme de nombres de Mersenne<ref name="computerhistory">{{Lien web|url=http://primes.utm.edu/notes/by_year.html|titre=The Largest Known Prime by Year: A Brief History|prénom1=Chris|nom1=Caldwell|éditeur=Prime Pages|consulté le=January 20, 2016}}</ref>.

La [[transformation de Fourier rapide]] mise en œuvre avec le [[Test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne|test de primalité de Lucas-Lehmer]] pour les [[Nombre de Mersenne premier|nombres de Mersenne]] est rapide par rapport à d'autres [[Test de primalité|tests de primalité]] connus pour d'autres types de nombres. Cette rapidité relative explique la quantité importante de nombres de Mersenne parmi les plus grands nombres premiers connus.

== Le record ==

Le record est détenu par 2<sup>{{formatnum:136279841}}</sup>&nbsp;−&nbsp;1, [[nombre de Mersenne]] testé premier par Luke Durant dans le cadre du programme [[GIMPS]], le {{date|11|octobre|2024}}<ref>{{Lien web |titre=Mersenne Prime Discovery - 2^136279841-1 is Prime! |url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M136279841 |site=www.mersenne.org |consulté le=2024-10-21}}</ref>.

Écrit en base dix, ce nombre comporte {{unité|41 024 320|chiffres}}, soit plus de seize millions de chiffres supplémentaires par rapport à l'ancien record qui datait de {{date-|janvier 2018}} (cf. ''infra'').

Ses dix premiers chiffres sont 3886924435..., et les 10 derniers sont ...9486871551.

== Prix ==

Il a existé plusieurs prix offerts par l{{'}}''[[Electronic Frontier Foundation]]'' pour la découverte de nombres premiers de grande taille<ref name="prizes">{{lien web|langue=en|url=https://www.eff.org/press/archives/2009/10/14-0 |titre=Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize |date=14 octobre 2009|série=Electronic Frontier Foundation |éditeur=[[Electronic Frontier Foundation]] |consulté le=26 novembre 2011}}</ref>. Le programme ''[[Great Internet Mersenne Prime Search]]'' (GIMPS) a gagné les deux derniers en dépassant successivement un million puis 10 millions de chiffres<ref name="prizes"/>. 

GIMPS coordonne aussi ses efforts à long terme pour les nombres premiers possédant plus de 100 millions de chiffres avec l{{'}}''Electronic Frontier Foundation'' pour une récompense de {{Unité|150000|dollars}} pour le participant gagnant et une récompense de {{Unité|250000|dollars}} pour un nombre premier ayant plus d'un milliard de chiffres<ref name="prizes"/>.

== Histoire ==

[[Image:Chronology of pi and primes.png|vignette|droite|upright=1.8|Chronologie comparée des calculs des décimales de [[Pi|{{math|π}}]] et de nombres premiers.]]

Le record du plus grand nombre premier connu a presque toujours été trouvé parmi les nombres de Mersenne<ref name=briefhistory>{{en}} Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/notes/by_year.html ''The Largest Known Prime by Year: A Brief History''] at The Prime Pages. Part 1 : Before Electronic Computers, Part 2 : The Age of Electronic Computers.</ref>{{,}}<ref name="computerhistory" />.

Dans la littérature et dans le tableau ci-dessous, les nombres premiers de Mersenne sont identifiés par les notations :
* M''n'', où le nombre ''n'' accolé représente le rang dans la [[Suite (mathématiques)#Suites monotones|suite croissante]] des nombres ''premiers'' de Mersenne ;
* M<sub>''p''</sub>, où l'indice ''p'' indique le nombre premier exposant de 2 dans l'expression 2<sup>''p''</sup> – 1 du nombre de Mersenne.

Le nombre qui détint le record le plus longtemps fut M<sub>19</sub> = {{formatnum:524287}}, pendant 144 ans.

Aucun record n'est attesté avant [[1456]].

{| class="wikitable" width="95%"
|+ Tableau des records du monde de taille de nombres premiers connus<ref name=briefhistory/>{{,}}<ref name=history>{{en}} [http://mersenne.org/various/history.php mersenne.org] GIMPS : Finding World Record Primes Since 1996.</ref>
! width="14%" scope="col" | Date
! width="28%" scope="col" | Découvreur
! width="16%" scope="col" | Machine
! width="15%" scope="col" | Type
! width="12%"  scope="col" | Désignation
! width="15%" scope="col" | Valeur ou nombre de chiffres en [[base dix]]
|- align="center"
| colspan="8" | Avant le {{XVIe siècle}}, il n'est pas possible de déterminer de manière précise les records de calcul du plus grand nombre premier.<br />Les documents qui nous sont parvenus permettant de justifier les calculs sont inexistants ou incomplets<ref name="Delahaye166">{{harvsp|Delahaye|2000|p=166-167}}.</ref>.
|- align="center"
| [[1456]]
|anonyme
| -
|rowspan=3|[[Nombre de Mersenne premier|Nombres de Mersenne]]
| M5 = M<sub>13</sub>
| [[8191|8 191]]
|- align="center"
| [[1460]]
|anonyme
| -
| M6 = M<sub>17</sub>
| {{formatnum:131071}}
|- align="center"
|  [[1588]]
|[[Pietro Cataldi]]
| -
| M7 = M<sub>19</sub>
|{{formatnum:524287}}
|- align="center"
| [[1732]]
|[[Leonhard Euler]]
| -
| Facteur premier du [[nombre de Fermat]] F<sub>5</sub>
|<math>\tfrac{2^{32}+1}{641}</math>
|{{formatnum:6700417}}
|- align="center"
| [[1750]]<ref>Le huitième nombre de Mersenne (M8) fut trouvé en 1750 mais publié en [[1772]].</ref> 
|Leonhard Euler
| -
|Nombre de Mersenne
| M8 = M<sub>31</sub>
|[[2 147 483 647]]
<!--
|- align="center"
|[[1851]]
| Included (but question-marked) in a list of primes by Looff. Given his uncertainty, some do not include this as a record.
| -
| -
| <math>\tfrac{10^{18}+1}{1\,000\,001}</math>
|{{formatnum:999999000001}}
-->
|-align="center"
|[[1855]]
|[[Thomas Clausen (astronome)|Thomas Clausen]]
| -
| Facteur premier du nombre de Fermat F<sub>6</sub>
| <math>\tfrac{2^{64}+1}{274177}</math>
| {{formatnum:67280421310721}}
<!--|- align="center"
| [[1867]]
|[[Fortuné Landry]]. A record if the immediately preceding entry is excluded.
| -
|[[Diviseur]] de nombre de Mersenne
| {{sfrac|M<sub>59</sub>|179 951|texhtml=non}}
|{{Formatnum:3203431780337}}
-->
|- align="center"
| [[1876]]
| [[Édouard Lucas]] 
| -
|Nombre de Mersenne
| M12 = M<sub>127</sub>
|<small>{{unité|170141183460469231731687303715884105727}}</small>
|- align="center"
| [[1951]]<ref name=historique>[http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/historiq.htm villemin.gerard.free.fr] Nombres premiers : Historique.</ref>
| [[Aimé Ferrier]] 
| -
| -
|{{sfrac|2<sup>148</sup> + 1|17|texhtml=non}}
| <small>{{unité|20988936657440586486151264256610222593863921}}</small>
|- align="center"
| [[1951]]
| {{Lien|langue=en|fr=J. C. P. Miller|texte=Miller}} et [[David Wheeler (informaticien)|Wheeler]]
| [[Electronic Delay Storage Automatic Calculator|EDSAC1]] de [[Université de Cambridge|Cambridge]]
| [[Polynôme]] de nombre de Mersenne
|180×(M<sub>127</sub>)<sup>2</sup> + 1
|{{unité|79|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|30|janvier|1952}}
|[[Raphael Robinson|Robinson]]
| [[Standards Western Automatic Computer|SWAC]]
|rowspan=17|Nombres de Mersenne
| M13 = M<sub>521</sub>
|{{unité|157|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|30|janvier|1952}}
|[[Raphael Robinson|Robinson]]
| [[Standards Western Automatic Computer|SWAC]]
| M14 = M<sub>607</sub>
|{{unité|183|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|25|juin|1952}}
|[[Raphael Robinson|Robinson]]
| [[Standards Western Automatic Computer|SWAC]]
| M15 = M<sub>1279</sub>
|{{unité|386|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|7|octobre|1952}}
|[[Raphael Robinson|Robinson]]
| [[Standards Western Automatic Computer|SWAC]]
| M16 = M<sub>2203</sub>
|{{unité|664|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|9|octobre|1952}}
|[[Raphael Robinson|Robinson]]
| [[Standards Western Automatic Computer|SWAC]]
| M17 = M<sub>2281</sub>
|{{unité|687|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|8|septembre|1957}}
|[[Hans Riesel|Riesel]]
| {{Lien|langue=en|fr=BESK}}
| M18 = M<sub>3217</sub>
|{{unité|969|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|3|novembre|1961}}
|Hurwitz
|[[IBM 7090]]
| M20 = M<sub>4423</sub>
|{{unité|1332|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|11|mai|1963}}
|{{Lien|langue=en|fr=Donald B. Gillies|texte=Gillies}}
| [[ILLIAC]] 2
| M21 = M<sub>9689</sub>
|{{unité|2917|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|16|mai|1963}}
|Gillies
| ILLIAC 2
| M22 = M<sub>9941</sub>
|{{unité|2993|chiffres}}
|- align="center"
| {{date|2|juin|1963}}
|Gillies
| ILLIAC 2
| M23 = M<sub>11213</sub>
|{{unité|3376|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|4|mars|1971}}
|[[Bryant Tuckerman|Tuckerman]]
| [[IBM 360]]/91
| M24 = M<sub>19937</sub>
|{{unité|6002|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|30|octobre|1978}}
|{{Lien|langue=en|fr=Landon Curt Noll|texte=Noll}} et Nickel
| [[Control Data Corporation#Calculateurs super-scalaires : les gammes STAR et Cyber|CDC Cyber]] 174
| M25 = M<sub>21701</sub>
|{{unité|6533|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|9|février|1979}}
|Noll
| CDC Cyber 174
| M26 = M<sub>23209</sub>
|{{unité|6987|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|8|avril|1979}}
| {{Lien|langue=en|fr=Harry Nelson|texte=Nelson}} et {{Lien|langue=en|fr=David Slowinski|texte=Slowinski}}
| [[Cray (entreprise)|Cray]]-1
| M27 = M<sub>44497</sub>
|{{unité|13395|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|25|septembre|1982}}
|Slowinski
| Cray-1
| M28 = M<sub>86243</sub>
|{{unité|25962|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|19|septembre|1983}}
|Slowinski
| Cray X-MP
| M30 = M<sub>132049</sub>
|{{unité|39751|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|1|septembre|1985}}
|Slowinski
| Cray X-MP/24
| M31 = M<sub>216091</sub>
|{{unité|65050|chiffres}}
|- align="center"
| [[1989]]
|[[Amdahl Corporation|Amdahl]] 6<ref>{{en}} [http://www.isthe.com/chongo/tech/math/prime/amdahl6.html www.isthe.com] Site de Landon Curt Noll : Amdahl 6.</ref>
|Amdahl 1200
|Polynôme de nombres de Mersenne
|<small>391581 × M<sub>756839</sub> + 391580 =<br />{{Nombre|391581}} × 2<sup>{{formatnum:756839}}</sup> – 1</small>
|{{unité|65087|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|19|février|1992}}
|Slowinski, [[Paul Gage|Gage]] {{et al.}}
| Cray-2
| rowspan="19" |Nombres de Mersenne
| M32 = M<sub>756839</sub>
|{{unité|227832|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|10|janvier|1994}}
|Slowinski et Gage
| Cray C90
| M33 = M<sub>859433</sub>
|{{unité|258716|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|3|septembre|1996}}
|Slowinski et Gage
| Cray T94
| M34 = M<sub>1257787</sub>
|{{unité|378632|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|13|novembre|1996}}
|Joël Armengaud, Woltman {{et al.}} (Projet GIMPS)
| [[Pentium (marque)|Pentium]] ({{unité|90|MHz}})
| M35 = M<sub>1398269</sub>
|{{unité|420921|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|24|août|1997}}
|Gordon Spence, Woltman {{et al.}} (Projet GIMPS)
| Pentium ({{unité|100|MHz}})
| M36 = M<sub>2976221</sub>
|{{unité|895932|chiffres}}
|- align="center"
| {{date|27|janvier|1998}}<ref name=alargeprime>{{Lien web|lang=en|url=http://www.cs.arizona.edu/icon/oddsends/bigprime.htm|site=[[Université d'Arizona]]|titre=A Large Prime Number}}.</ref>
|Clarkson, Woltman, Kurowski {{et al.}} (Projet GIMPS)
| Pentium ({{unité|200|MHz}})
| M37 = M<sub>3021377</sub>
|{{unité|909526|chiffres}}<ref name=alargeprime />
|- align="center"
| {{Date|1|juin|1999}}
|Hajratwala, Woltman, Kurowski {{et al.}} (Projet GIMPS)
| Pentium ({{unité|350|MHz}})
| M38 = M<sub>6972593</sub>
|{{unité|2098960|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|14|novembre|2001}}
|Cameron, Woltman, Kurowski {{et al.}} (Projet GIMPS)
| [[Advanced Micro Devices|AMD]] [[Athlon#Athlon Thunderbird (T-Bird)|T-Bird]] ({{unité|800|MHz}})
| M39 = M<sub>13466917</sub>
|{{unité|4053946|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|17|novembre|2003}}
|Shafer, Woltman, Kurowski {{et al.}}, [[Michigan State University|MSU]] (Projet GIMPS)
| Pentium ({{unité|2|GHz}})
| M40 = M<sub>20996011</sub>
|{{unité|6320430|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|15|mai|2004}}
|Findley, Woltman, Kurowski {{et al.}} (Projet GIMPS)
| Pentium 4 ({{unité|2.4|GHz}})
| M41 =<br />M<sub>24036583</sub>
|{{unité|7235733|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|18|février|2005}}
|Nowak, Woltman, Kurowski {{et al.}} (Projet GIMPS)
| Pentium 4 ({{unité|2.4|GHz}})
| M42 =<br />M<sub>25964951</sub>
|{{unité|7816230|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|15|décembre|2005}}
|[[Curtis Cooper|C. Cooper]], S. Boone, G. Woltman, S. Kurowski {{et al.}}, {{Lien|langue=en|trad=University of Central Missouri|fr=université du Missouri central|texte=UCM}} (Projet GIMPS)
| Pentium 4 <br />({{unité|2|GHz}} upgraded to {{unité|3|GHz}})
| M43 =<br />M<sub>30402457</sub>
|{{unité|9152052|chiffres}}
|- align="center"
| {{Date|4|septembre|2006}}<ref name=various>{{en}} [http://www.mersenne.org/various/32582657.htm www.mersenne.org] GIMPS : Project Discovers Largest Known Prime Number, 2<sup>{{formatnum:32582657}}</sup> – 1.</ref> 
|C. Cooper, S. Boone, G. Woltman, S. Kurowski {{et al.}}, UCM (Projet GIMPS)
| Pentium 4 ({{unité|3|GHz}})
| M44 =<br />M<sub>32582657</sub>
|{{unité|9808358|chiffres}}<ref name=various /> 
|- align="center"
| {{Date|23|août|2008}}
|Edson Smith<ref>{{en}} [http://primes.utm.edu/bios/page.php?id=1498 primes.utm.edu] Titan : Edson Smith.</ref>, George Woltman, Scott Kurowski {{et al.}}, [[Université de Californie à Los Angeles|UCLA]] (Projet GIMPS)
| [[Intel]] [[Core 2]] Duo E6600 [[CPU]]<br />({{unité|2.4|GHz}})
| M47 =<br />M<sub>43112609</sub>
|{{unité|12978189|chiffres}}<ref>{{en}} {{lien brisé|consulté le=2017-05-16|url=http://prime.isthe.com/chongo/tech/math/prime/m43112609/prime-c.html|titre=prime.isthe.com}} Site de Landon Curt Noll : 2<sup>{{formatnum:43112609}}</sup> – 1'' is prime.''</ref>
|- align="center"
| {{Date|25|janvier|2013}}
|C. Cooper, G. Woltman, S. Kurowski {{et al.}},<br />UCM (Projet GIMPS)
| 
| M48<ref>M48 prouvé le 6 octobre 2021 comme étant bien le {{48e}}. Voir {{Lien web|lang=en|url=http://mersenne.org/report_milestones/|titre=Older and lower profile GIMPS Milestones}}.</ref> = M<sub>57885161</sub>
|{{unité|17425170|chiffres}}
|- align="center"
|{{Date|7|1|2016}}
|C. Cooper, G. Woltman, S. Kurowski, A. Blosser {{et al.}}, UCM (Projet GIMPS)
| 
| M49<ref name=doute>On ne sait pas s'il existe ou non un ou plusieurs autres nombres premiers de Mersenne entre le {{48e}} (M<sub>{{formatnum:57885161}}</sub>) et le {{52e}} (M<sub>{{formatnum:136279841}}</sub>). Dans cet intervalle, le classement est donc provisoire. Déjà le {{29e|nombre}} premier de Mersenne fut découvert après le {{30e}} et le {{31e}}, de même que M<sub>{{formatnum:43112609}}</sub> fut découvert quinze jours avant M<sub>{{formatnum:37156667}}</sub>, plus petit. De même le {{46e}} (M<sub>{{formatnum:42643801}}</sub>) a été découvert neuf mois après le {{47e}} (M<sub>{{formatnum:43112609}}</sub>).</ref> ?? = M<sub>74207281</sub>
|{{unité|22338618|chiffres}}
|- align="center"
|{{Date|26|décembre|2017}}
|J. Pace, G. Woltman, S. Kurowski, A. Blosser, et al. (Projet GIMPS)
|Intel i5-6600 CPU
| M50<ref name=doute/> ?? = M<sub>77232917</sub>
|{{unité|23249425|chiffres}}
|- align="center"
|{{Date|7|décembre|2018}}
|Patrick Laroche (Projet GIMPS)
|Intel i5-4590T
| M51<ref name=doute/> ?? = M<sub>82589933</sub>
|{{unité|24862048|chiffres}}
|-align="center"
|{{Date|21 octobre 2024}}
|Luke Durant
(Projet GIMPS)
|NVIDIA H100
| M52<ref name=doute/> ?? = M<sub>136279841</sub><ref>{{Lien web |titre=52nd Known Mersenne Prime Discovered |url=https://www.mersenne.org/primes/press/M136279841.html |site=www.mersenne.org |consulté le=2024-10-21}}</ref>
|{{unité|41 024 320|chiffres}}
|}

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Traduction/Référence|en|Largest known prime number|727343408|type=n}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage
| langue=fr
| auteur1=[[Jean-Paul Delahaye]]
| titre=Merveilleux nombres premiers
| sous-titre=voyage au cœur de l'arithmétique
| lieu=Paris
| éditeur=[[Belin éditeur|Belin]]
| collection=Pour la science
| année=2000
| pages totales=336
| isbn=2-84245-017-5
| issn=0224-5159
}}

=== Articles connexes ===
* [[Nombre de Mersenne premier]]
* [[Great Internet Mersenne Prime Search]]

{{Palette|Classes de nombres premiers}}

{{Portail|arithmétique et théorie des nombres}}

[[Catégorie:Nombre premier]]
[[Catégorie:Record du monde]]