Voir la source de Polygone régulier

{{homonyme|régulier}}

[[File:Regular polygon 5.svg|thumb|Le [[pentagone régulier convexe]].]]
[[File:Regular star polygon 9-2.svg|thumb|Un [[Ennéagramme_(géométrie)|ennéagone régulier étoilé]].]]

En [[géométrie euclidienne]], un '''polygone régulier''' est un [[polygone]] à la fois [[Polygone équilatéral|équilatéral]] (tous ses côtés ont la même longueur) et [[Polygone équiangle|équiangle]] (tous ses [[angle]]s ont la même mesure). Un polygone régulier est soit [[Ensemble convexe|convexe]]<ref>Il est commode de considérer le [[digone]] comme un [[polygone convexe]], bien qu’il ne soit même pas [[Polygone simple|simple]].</ref>, soit [[Polygone régulier étoilé|étoilé]].

Tous les polygones réguliers convexes d'un même nombre de côtés sont [[Similitude (géométrie)|semblables]]. Tout polygone régulier étoilé de ''n'' côtés a une [[enveloppe convexe]] de ''n'' côtés, qui est un polygone régulier. Un [[Entier naturel|entier]] ''n'' supérieur ou égal à 3 étant donné, il existe un polygone régulier convexe de ''n'' côtés.

Dans certains contextes, tous les polygones considérés seront convexes et réguliers. Il est alors d'usage de sous-entendre les deux épithètes « convexe régulier ». Par exemple, toutes les faces des [[polyèdre uniforme|polyèdres uniformes]] doivent être convexes et régulières et les faces seront décrites simplement en tant que [[Triangle équilatéral|triangle]], [[carré]], [[Pentagone régulier convexe|pentagone]]…

Les multiples propriétés des polygones réguliers ont conduit à leur étude mathématique depuis l'[[Antiquité]] et à diverses interprétations [[symbole|symboliques]], [[religion|religieuses]] ou [[magie (surnaturel)|magiques]].

== Propriétés générales==
[[Fichier:Правильный многоугольник и 2 окружности.png|vignette|Hexagone régulier de côté a, inscrit dans un cercle. Le rayon du polygone est R, égal à celui de son cercle circonscrit.]]

===Caractérisations===
Un polygone est régulier si et seulement s'il est à la fois équilatéral et [[Cercle circonscrit|inscriptible]] (dans un [[cercle]]).{{Retrait|Le centre et le rayon de ce cercle sont alors appelés le ''centre'' et le ''rayon'' du polygone.}}

Un polygone est régulier si, et seulement s'il existe une [[Rotation plane|rotation]] qui envoie chaque sommet sur le suivant<ref>[http://mathenjeans.free.fr/amej/glossair/glossere.html#polygone Glossaire de Math en Jeans].</ref>.{{Retrait|Cette rotation (unique) envoie alors aussi chaque côté sur le suivant.}}

Tout polygone régulier est donc non seulement à la fois équilatéral et équiangle (par définition) mais même à la fois [[Figure isotoxale|isotoxal]] et [[Figure isogonale|isogonal]].

Un polygone à ''n'' côtés est régulier si et seulement si son [[groupe de symétrie]] est « le plus gros possible » : d'[[Ordre d'un groupe|ordre]] 2''n''.{{Retrait|Ce [[Groupe (mathématiques)|groupe]] est alors le [[groupe diédral]] D{{ind|''n''}}, constitué des [[Rotation plane|rotations]] de C{{ind|''n''}} (le groupe de [[symétrie de rotation]] d'ordre ''n'' — si ''n'' est pair, le polygone a donc un centre de symétrie) et de ''n'' [[Symétrie axiale|symétries axiales]] dont les axes passent par le centre. Si ''n'' est pair, alors la moitié de ces axes passent par deux sommets opposés, et l'autre moitié par les milieux de deux côtés opposés. Si ''n'' est impair, alors chaque axe passe par un sommet et le milieu du côté opposé.}}

===Propriétés supplémentaires===
Tout polygone régulier est [[Polygone dual|autodual]].{{Retrait|En effet, la rotation mentionnée ci-dessus caractérise complètement le polygone (à [[Similitude (géométrie)|similitude directe]] près).}} 

Les polygones réguliers à ''n'' sommets (considérés à similitude près) sont en [[bijection]] avec les [[Nombres premiers entre eux|entiers premiers avec ''n'']] et compris entre 1 et ''n''/2<br />(donc pour ''n'' > 2, il y en a φ(''n'')/2, où φ désigne l'[[indicatrice d'Euler]]).{{Retrait|En effet, la rotation est d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] ''n'' donc son [[angle]] mesure {{math|2''k''π/''n''}} [[Radian|rad]] pour un certain entier ''k'' [[premier avec]] ''n''. De plus, deux angles donnent le « même » polygone si et seulement s'ils sont égaux ou opposés.}}

===Construction à la règle et au compas===
{{article détaillé|Construction à la règle et au compas}}
Un polygone régulier (convexe ou étoilé) à ''n'' arêtes peut être [[construction à la règle et au compas|construit avec la règle et le compas]] si et seulement si ''n'' est le produit d'une [[puissance de 2]] par des [[nombre premier de Fermat|nombres premiers de Fermat]] distincts ({{cf.}} l'article « [[Théorème de Gauss-Wantzel]] »). Les seuls nombres premiers de Fermat connus sont 3, 5, 17, 257 et [[65 537]].

==Polygones réguliers convexes==
Le polygone régulier convexe à ''n'' côtés [[#Propriétés supplémentaires|correspond à l'angle de rotation]] {{math|2π/''n''}}.

=== Angles ===
{{Voir|Polygone#Somme des angles{{!}}Sommes des angles d'un polygone simple}}
Pour un polygone convexe régulier à ''n'' côtés.

*'''Angle au centre :'''<br />Les {{mvar|n}} angles au centre sont égaux et leur somme vaut 360°. Un angle au centre a donc pour valeur :{{Retrait|{{math|{{sfrac|2π|''n''}}}} [[radian]]s, soit {{math|{{sfrac|360|''n''}}}} [[Degré (angle)|degrés]].}}
* '''[[Angle externe]] :'''<br />Par le même raisonnement, un angle externe vaut également 360°/''n''.
* '''[[Angle interne]] :'''<br />Il est [[Angles supplémentaires|supplémentaire]] de l'angle externe (ou de l'angle au centre) et a donc pour valeur :{{Retrait|<math>180-\frac{360}n=\frac{(n-2)\times180}n</math> degrés '''ou''' {{math|{{sfrac|(''n'' – 2)π|''n''}}}} radians '''ou encore''' {{math|{{sfrac|(''n'' – 2)|2''n''}}}} [[tour (géométrie)|tours]].}}

=== Apothème et rayon ===
[[Image:Apothem_of_hexagon.svg|thumb|right|Un apothème de l'[[hexagone]] régulier convexe.]]
[[Image:Problème isopérimétrique général 7.jpg|thumb|L'apothème {{mvar|h}} (en rouge) et le demi-côté {{mvar|c}} (en vert) sont les produits du rayon {{mvar|ρ}} (en noir) par le [[cosinus]] et le [[Sinus (mathématiques)|sinus]] du demi-angle au centre {{math|π/''n''}}.]]

La distance entre le centre du polygone et chacun des côtés est appelée l'[[apothème]] (c'est le rayon du [[cercle inscrit]]).

La donnée d'une des trois longueurs (côté {{mvar|a}}, rayon {{mvar|ρ}} ou apothème {{mvar|h}}) permet de connaître les deux autres et donc de caractériser le polygone.

Si l'on note {{math|''c {{=}} a''/2}} la moitié du côté {{mvar|a}} d'un polygone régulier à {{mvar|n}} côtés, ces longueurs sont liées par le [[théorème de Pythagore]] :
:<math>h^2+c^2=\rho^2</math>
et par les formules de [[trigonométrie]] suivantes (les angles étant exprimés en radians) :
:<math>h=\rho\cos\left(\frac{\pi}n\right)\quad{\rm et}\quad c=\rho\sin\left(\frac{\pi}n\right)\quad{\rm donc}\quad c=h\tan\left(\frac{\pi}n\right),</math>

dont on déduit respectivement :

:<math>\rho=\frac h{\cos(\pi/n)},\quad\rho=\frac a{2\sin(\pi/n)}\quad{\rm et}\quad h=\frac a{2\tan(\pi/n)}.</math>

=== Périmètre et aire ===

Le [[Polygone#Périmètre d'un polygone|périmètre ''P'']] d'un polygone régulier convexe à {{mvar|n}} côtés (''n'' ≥ 3) de longueur {{mvar|a}} est bien sûr égal à ''na''. Quant à son [[Polygone#Aire d'un polygone|aire ''S'']] , c'est la somme des [[Aire d'un triangle|aires de ''n'' triangles]] ([[Triangle isocèle|isocèles]]) de hauteur {{mvar|h}} (l'apothème) et de base {{mvar|a}}, donc :
<center><math>P=na\quad\text{et}\quad S=n\frac{ah}2=\frac{Ph}2</math>.</center>

Des relations précédentes entre {{mvar|a}}, {{mvar|h}} et le rayon {{mvar|ρ}} du polygone, on déduit alors :
<center><math>P = 2n \sin \left(\frac{\pi}n\right)\rho\quad\text{et}\quad S=\frac{na^2}{4\tan\left(\tfrac{\pi}n\right)}=\frac n2 \sin \left(\frac {2\pi}n\right)\rho^2</math> ;</center>
la dernière égalité utilise en outre une [[Identité trigonométrique#Formules de l'angle double|identité trigonométrique]] : <math>\sin x\times\cos x = {1\over2}\sin{2x}</math>.

Puisque {{math|sin ''x''}} est [[équivalent]] à {{mvar|x}} quand {{mvar|x}} tend vers 0, le périmètre [[Limite d'une suite|tend vers]] {{math|2π''ρ''}} quand {{mvar|n}} tend vers l'infini, et l'aire vers {{math|π''ρ''{{2}}}}. On retrouve bien la [[Périmètre#Circonférence d'un cercle|circonférence du cercle]] et l'[[Aire (géométrie)#Disque|aire du disque]].

Les polygones convexes réguliers ont une propriété remarquable, connue depuis [[Mathématiques de la Grèce antique|les Grecs]]. Parmi tous les polygones de même nombre de côtés et de même périmètre, celui qui est convexe régulier possède la plus grande aire. Cette aire, toujours plus petite que celle du cercle de même rayon, s'en rapproche au fur et à mesure que {{mvar|n}} devient plus grand. Ces propriétés sont traitées dans l'article « [[Isopérimétrie]] ».

{{Démonstration/début|titre=Valeurs numériques}}
<center>
{| class=wikitable
|-
!Côtés!!Nom!!Aire exacte si {{mvar|a}} = 1 !! Demi périmètre si {{math|''ρ''{{=}}1}}
|- align="center"
|3
|align="center"|[[Triangle|Triangle équilatéral]]||align="left"|<math>\frac {3} {4 \tan\left(\tfrac{\pi}3\right)} = \frac{\sqrt{3}}{4}</math>||2,5980762
|- align="center"
|4
|align="center"|[[Carré]]||align="left"|<math>\frac {4} {4 \tan\left(\tfrac{\pi}4\right)} = 1\;</math>||2.8284271
|- align="center"
|5
|align="center"|[[Pentagone (figure)|Pentagone]] régulier||align="left"|<math>\frac {5} {4 \tan \left(\tfrac{\pi}5\right)} = \frac {1}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}}</math>||2,9389263
|- align="center"
|6
|align="center"|[[Hexagone]] régulier||align="left"|<math>\frac {6} {4 \tan \left(\tfrac{\pi}6\right)} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}</math>||3,000000
|- align="center"
|7
|align="center"|[[Heptagone]] régulier||align="left"|<math>\frac {7} {4 \tan \left(\tfrac{\pi}7\right)}</math>||3,0371862
|- align="center"
|8
|align="center"|[[Octogone]] régulier||align="left"|<math>\frac {8} {4 \tan \left(\tfrac{\pi}8\right)} = 2 + 2 \sqrt{2}</math>||3,0614675
|- align="center"
|9
|align="center"|[[Ennéagone]] régulier||align="left"|<math>\frac {9} {4 \tan \left(\tfrac{\pi}9\right)}</math>||3,0781813
|- align="center"
|10
|align="center"|[[Décagone]] régulier||align="left"|<math>\frac {10} {4 \tan \left(\tfrac{\pi}{10}\right)} = \frac{5}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}}</math>||3,0901699
|- align="center"
|11
|align="center"|[[Hendécagone]] régulier||align="left"|<math>\frac {11} {4 \tan \left(\tfrac{\pi}{11}\right)}</math>||3,0990581
|- align="center"
|12
|align="center"|[[Dodécagone]] régulier||align="left"|<math>\frac {12} {4 \tan \left(\tfrac{\pi}{12}\right)} = 6+3\sqrt{3}</math>||3,1058285
|- align="center"
|13
|align="center"|[[Tridécagone]] régulier||align="left"|<math>\frac {13} {4 \tan \left(\tfrac{\pi}{13}\right)}</math>||3,1111036
|- align="center"
|14
|align="center"|[[Tétradécagone]] régulier||align="left"|<math>\frac {14} {4 \tan \left(\tfrac{\pi}{14}\right)}</math>||3,1152931
|- align="center"
|15
|align="center"|[[Pentadécagone]] régulier||align="left"|<math>\frac {15} {4 \tan \left(\tfrac{\pi}{15}\right)}</math>||3,1186754
|- align="center"
|16
|align="center"|[[Hexadécagone]] régulier||align="left"|<math>\frac {16} {4 \tan \left(\tfrac{\pi}{16}\right)}</math>||3,1214452
|- align="center"
|17
|align="center"|[[Heptadécagone]] régulier||align="left"|<math>\frac {17} {4 \tan \left(\tfrac{\pi}{17}\right)}</math>||3,1237418
|- align="center"
|18
|align="center"|[[Octadécagone]] régulier||align="left"|<math>\frac {18} {4 \tan \left(\tfrac{\pi}{18}\right)}</math>||3,1256672
|- align="center"
|19
|align="center"|[[Ennéadécagone]] régulier||align="left"|<math>\frac {19} {4 \tan \left(\tfrac{\pi}{19}\right)}</math>||3,1272972
|- align="center"
|20
|align="center"|[[Icosagone]] régulier||align="left"|<math>\frac {20} {4 \tan \left(\tfrac{\pi}{20}\right)} = 5 \times \frac {1 + \sqrt{5} + \sqrt{10 - \sqrt{20}}} {1 + \sqrt{5} - \sqrt{10 - \sqrt{20}}}</math>||3,1286893
|- align="center"
|30
|align="center"|[[Triacontagone]] régulier||align="left"|<math>\frac {30} {4 \tan \left(\tfrac{\pi}{30}\right)} = \frac {15} {2} \times \frac {\sqrt{15} + \sqrt{3} + \sqrt{10 - \sqrt{20}}} {\sqrt{30 - \sqrt{180}} - \sqrt{5} - 1}</math>||3,1358539
|- align="center"
|100
|align="center"|[[Hectogone]] régulier||align="left"|<math>\frac {100} {4 \tan \left(\tfrac{\pi}{100}\right)}</math>||3,1410759
|- align="center"
|1 000
|align="center"|[[Chiliagone]] régulier||align="left"|<math>\frac {1000} {4 \tan \left(\tfrac{\pi}{1000}\right)}</math>||3,1415875
|- align="center"
|10 000
|align="center"|[[Myriagone]] régulier||align="left"|<math>\frac {10000} {4 \tan \left(\tfrac{\pi}{10000}\right)}</math>||3,1415926
|}
</center>

On remarque que si le rayon est égal à 1, le demi-périmètre s'approche de plus en plus de {{math|π}}.
{{Démonstration/fin}}

== Polygones réguliers non convexes ==
[[File:Regular star polygon 5-2.svg|thumb|right|Le pentagramme.]]
{{Voir|Polygone régulier étoilé}}
Un exemple de polygone régulier étoilé (ce qui équivaut à « régulier [[Polygone croisé|croisé]] », ou à « régulier non convexe ») est le [[pentagramme]], qui a les mêmes sommets que le [[pentagone régulier convexe]], mais qui est connecté par des sommets alternés.

Les premiers polygones étoilés sont :
* [[Pentagramme]] - {5/2}
* [[Heptagramme]]s - {7/2}, {7/3}
* [[Octagramme]] - {8/3}
* [[Ennéagramme (géométrie)|Ennéagramme]]s - {9/2}, {9/4}
* Décagramme - {10/3}

== Polyèdres ==
Un [[polyèdre uniforme]] est un [[polyèdre]] avec des polygones réguliers pour faces tels que pour chaque paire de sommets, il existe une [[isométrie]] appliquant l'un sur l'autre. Le mot polygone vient du mot poly (plusieurs) et gone (angles).

==Notes et références==
{{Traduction/Référence|en|Regular polygon|109315638|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{autres projets|commons=Category:Regular polygons|commons titre=Polygones réguliers|commons2=Category:Star polygons|commons titre2=Polygones étoilés}}
===Articles connexes===
*[[Nombre polygonal]]
*[[Pavage par des polygones réguliers]]
*[[Théorème de Viviani]]

===Liens externes===
*{{en}} [http://www.mathopenref.com/polygonregular.html Description de polygone régulier] avec une animation interactive
*{{en}} [http://www.mathopenref.com/polygonincircle.html Cercle inscrit d'un polygone régulier] avec une animation interactive
*{{en}} [http://www.mathopenref.com/polygonregulararea.html Aire d'un polygone régulier] Trois formules différentes, avec une animation interactive
*[http://www.espacegraphique.com/geometrie/polygones.php Géométrie de fleurs avec un polygone régulier] Correspondances entre les figures et le tracé des fleurs

{{Palette|Polygones}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Polygone]]