Voir la source de Portail:Analyse/Glossaire des fonctions

Ce '''glossaire des fonctions''' rassemble les qualificatifs associés au terme « [[fonction (mathématiques)|fonction]] » en [[mathématiques]].
{{Sommaire alphabétique}}
== A ==
* '''[[fonction absolument continue|absolument continue]]''' : pour laquelle la somme des variations dans l'image est contrôlée par la somme des variations à la source
*:<math>\forall \varepsilon, \exists \delta \colon\ \forall (a_n), (b_n),\quad \sum_{n \geq 0}{|b_n-a_n|} < \delta \Rightarrow \sum_{n \geq 0}{|f(a_n)-f(b_n)|}< \varepsilon\ .</math>
* '''[[fonction additive (arithmétique)|additive]]''' : (arithmétique) pour laquelle l'image du produit de termes premiers entre eux est la somme des images :
*:<math>\forall a,b,\quad a \wedge b = 1 \Rightarrow f(ab)=f(a)+f(b).</math>
* '''[[fonction affine|affine]]''' : pour laquelle la différence des images est proportionnelle à la différence à la source :
*:<math>\exists k\colon \forall x,y, \quad f(y)-f(x) = k (y-x).</math>
* '''[[fonction algébrique|algébrique]]''' : qui est solution d'une équation polynomiale à coefficients polynomiaux en la variable.
*:Voir aussi [[#T|''transcendante'']].
* '''[[fonction analytique|analytique]]''' : [[#D|développable en série entière]] au voisinage de chacun des points de son domaine de définition.
* '''[[fonction arithmétique|arithmétique]]''' : dont la variable parcourt les entiers naturels.

== B ==
* '''[[fonction bijective|bijective]]''' : à la fois [[#I|injective]] et [[#S|surjective]].
* '''[[fonction booléenne|booléenne]]''' : dont les valeurs sont des booléens.
* '''[[fonction bornée|bornée]]''' : à la fois [[#M|majorée]] et [[#M|minorée]].

== C ==
* '''[[fonction calculable|calculable]]''' : dont les valeurs sont déterminées par un algorithme exécutable par une même machine de Turing pour toute entrée.
* '''[[fonction caractéristique (théorie des ensembles)|caractéristique d'un ensemble]]''' : qui vaut 1 en tout point de cet ensemble et 0 en dehors.
* '''[[fonction caractéristique d'une variable aléatoire|caractéristique d'une variable aléatoire]]''' : définie comme l'espérance de l'exponentielle complexe de la variable aléatoire :
*:<math>t \mapsto \mathbb E(\exp(itX)\ .</math>
* '''[[fonction causale|causale]]''' : dont le support est minoré dans l'ensemble des réels :
*:<math>\exists a\in \mathbb R\colon\ \forall x<a, \quad f(x) = 0\ .</math>
* '''[[fonction centrale|centrale]]''' : constante sur chaque classe de conjugaison d'un groupe :
*:<math>\forall a,b, \quad f(aba^{-1}) = f(a)\ .</math>
* '''[[fonction circulaire|circulaire]]''' : trigonométrique telle que sinus, cosinus, tangente et leurs inverses.
* '''[[fonction complexe|complexe]]''' : à valeurs dans l'ensemble des [[nombre complexe|nombres complexes]].
* '''[[fonction composée|composée]]''' : obtenue par composition de deux fonctions.
* '''[[fonction concave|concave]]''' : dont l'hypographe est convexe.
* '''[[fonction constante|constante]]''' : admettant une unique valeur sur son domaine de définition.
*:<math>\exists C\colon\ \forall x, \quad f(x) = C\ .</math>
* '''[[fonction continue|continue]]''' : pour laquelle la préimage d'un ouvert est un ouvert.
* '''[[fonction contractante|contractante]]''' : [[#L|lispchitzienne]] de rapport <math>k < 1</math>
* '''[[fonction convergente|convergente]]''' : admettant une [[limite (mathématiques)|limite]] finie.
* '''[[fonction convexe|convexe]]''' : dont l'épigraphe est convexe.
* '''[[fonction courbe|courbe]]''' : [[#B|booléenne]] de non-linéarité maximale.
* '''[[fonction croissante|croissante]]''' : qui préserve l'ordre des éléments :
*:<math>\forall x,y, \quad x \le y \Rightarrow f(x) \le f(y)\ .</math>
* '''[[fonction cubique|cubique]]''' : [[#P|polynomiale]] de degré 3 :
*:<math>x\mapsto ax^3+bx^2+cx+d\ .</math>

== D ==
* '''[[fonction décroissante|décroissante]]''' : qui renverse l'ordre des éléments :
*:<math>\forall x,y, \quad x \le y \Rightarrow f(x) \ge f(y)\ .</math>
* '''[[fonction dérivable|dérivable]]''' : dont la dérivée est bien définie.
* '''[[dérivée]]''' : définie par le nombre dérivé de la fonction d'origine en chaque point.
* '''[[fonction développable en série entière|développable en série entière]]''' : pouvant s'exprimer comme une [[série entière]] convergente au voisinage d'un point :
*: <math>\exists (a_n)\colon \forall x\in D(x_0 ; r), \quad f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n\ .</math>
* '''[[fonction différentiable|différentiable]]''' : admettant une différentielle en chaque point.
* '''[[fonction divergente|divergente]]''' : n'admettant pas de [[limite (mathématiques)|limite]] finie.

== E ==
* '''[[fonction elliptique|elliptique]]''' : [[#M|méromorphe]] doublement périodique sur le plan complexe.
* '''[[fonction entière|entière]]''' : [[#H|holomorphe]] définie sur tout le plan complexe.
* '''[[équivalent]]e''' : de différence [[#N|négligeable]] devant la fonction d'origine.
* '''[[fonction en escalier|en escalier]]''' : constante par morceaux.
* '''[[fonction étagée|étagée]]''' : [[#M|mesurable]] d'image finie.
* '''[[fonction exponentielle|exponentielle]]''' : proportionnelle à sa dérivée :
*:<math>x \mapsto a^x = \exp(x \ln(a))\ .</math>
* '''[[extractrice]]''' : strictement [[#C|croissante]] de l'ensemble des entiers naturels dans lui-même.

== F ==
* '''[[Applications ouvertes et fermées|fermée]]''' : pour laquelle l'image de tout fermé est fermée.

== G ==
* '''[[fonction gaussienne|gaussienne]]''' : composée d'un polynôme du second degré de coefficient dominant négatif avec l'exponentielle :
*:<math>x\mapsto \exp(-\tfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}+c)</math>
* '''[[fonction génératrice|génératrice]]''' : série entière dont les coefficients sont les termes de la suite d'origine.

== H ==
* '''[[fonction harmonique|harmonique]]''' : de laplacien nul :
*:<math>\Delta f = 0\ .</math>
* '''[[fonction hölderienne|hölderienne]]''' : dont les variations sont bornées par une puissance de l'écart sur la variable :
*:<math>\exists C\colon \forall x, y,\quad d( f(x), f(y) ) \leq C \ d( x, y)^a\ .</math>
* '''[[fonction holomorphe|holomorphe]]''' : [[#D|dérivable]] au sens complexe.
* '''[[fonction homogène|homogène]]''' : pour laquelle la multiplication des variables par une même constante induit une multiplication de la valeur par une puissance de cette constante :
*:<math>\exists \alpha \colon\ \forall \lambda, x_1, \dots, x_n, \quad f(\lambda x_1, \dots, \lambda x_n) = \lambda^\alpha f(x_1, \dots, x_n)\ .</math>
* '''[[fonction homographique|homographique]]''' : s'exprimant comme un quotient de fonctions [[#A|affines]] :
*: <math>x \mapsto \frac{ax+b}{cx+d}\ .</math>
* '''[[fonction hyperbolique|hyperbolique]]''' : l'une des fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique, tangente hyperbolique ou leur inverse.
* '''[[fonction hypergéométrique|hypergéométrique]]''' : [[#G|génératrice]] associée à une série hypergéométrique.

== I ==
* '''[[fonction impaire|impaire]]''' : dont le domaine est symétrique par rapport à l'origine et pour laquelle le changement de signe de la variable change aussi le signe de la valeur :
*:<math>\forall x,\quad f(-x) = -f(x)\ .</math>
* '''[[fonction indicatrice|indicatrice]]''' : qui vaut 1 sur un ensemble fixé et 0 ailleurs.
* '''[[fonction injective|injective]]''' : pour laquelle deux éléments distincts ne peuvent avoir la même image :
*:<math>\forall x,y,\quad x\neq y \Rightarrow f(x)\neq f(y)\ .</math>
* '''[[fonction intégrable|intégrable]]''' : dont l'intégrale de la valeur absolue est bien définie et finie :
*:<math>\int |f| < +\infty\ .</math>

== L ==
* '''[[fonction lacunaire|lacunaire]]''' : série entière dont une partie des coefficients sont nuls, entrainant l'absence de prolongement analytique en dehors du disque de convergence.
* '''[[fonction linéaire|linéaire]]''' : dont la valeur est proportionnelle à la variable :
*:<math>x \mapsto ax\ .</math>
* '''[[fonction lipschitzienne|lipschitzienne]]''' : dont les variations sont bornées par l'écart de valeurs de la variable :
*:<math>\exists C\colon \forall x, y,\quad d( f(x), f(y) ) \leq C \ d( x, y)\ .</math>
* '''[[fonction lisse|lisse]]''' : infiniment [[#D|dérivable]] ou [[#D|différentiable]].
* '''[[fonction logique|logique]]''' : [[#|booléenne]] telle les fonctions NON, ET, OU, OUexclusif…
* '''[[fonction logistique|logistique]]''' : [[#C|composée]] d'une fonction [[#E|exponentielle]] avec une fonction [[#H|homograhique]] non [[#A|affine]] dont le point singulier est négatif :
*:<math>x\mapsto \frac{a+b \exp(\lambda x)}{c+\exp(\lambda x)}\ .</math>
* '''[[fonction lorentzienne|lorentzienne]]''' : [[fonction inverse|inverse]] d'une fonction du second degré sans racine réelle :
*:<math>x\mapsto \frac{\Gamma}{2\pi}\frac{1}{\left ( \frac{1}{2}\Gamma\right )^2 + (x-x_0)^2}</math>

== M ==
* '''[[fonction majorée|majorée]]''' : dont toutes les valeurs sont inférieures à un élément fixé :
*:<math>\exists M\colon\ \forall x, \quad f(x) \le M\ .</math>
* '''[[fonction méromorphe|méromorphe]]''' : quotient de fonctions [[#E|entières]].
* '''[[fonction mesurable|mesurable]]''' : pour laquelle la préimage de toute partie mesurable est mesurable.
* '''[[fonction minorée|minorée]]''' : dont toutes les valeurs sont supérieures à un élément fixé :
*:<math>\exists m\colon\ \forall x, \quad f(x) \ge m\ .</math>
<!--
* '''[[fonction modulaire|modulaire]]''' : obtenue par la formule suivante :
*:<math>\lambda \colon s \mapsto \frac{\wp[(1+s)/2]-\wp(1/2)}{\wp(s/2)-\wp(1/2)}\ .</math>
-->
* '''[[fonction monotone|monotone]]''' : [[#C|croissante]] ou [[#D|décroissante]].
* '''[[fonction de Morse|de Morse]]''' : [[#D|différentiable]] de classe C² dont les points critiques sont non dégénérés.
* '''[[fonction multiplicative|multiplicative]]''' : [[#A|arithmétique]] pour laquelle l'image du produit de termes premiers entre eux est le produit des images :
*:<math>\forall a,b, \quad a \wedge b = 1 \Rightarrow f(ab) = f(a)f(b)\ .</math>
* '''[[fonction multivaluée|multivaluée]]''' : [[#H|holomorphe]] définie sur une variété riemannienne se projetant sur le plan complexe.

== N ==
* '''[[fonction négative|négative]]''' : dont toutes les valeurs sont négatives ou nulles :
*:<math>\forall x, \quad f(x) \le 0\ .</math>
* '''[[fonction négligeable|négligeable]]''' : dont le quotient avec la fonction d'origine a une limite nulle :
*:<math>f = \underset{x \to a}{o}(g) \quad \Leftrightarrow \quad  
\forall \varepsilon > 0, \exists U \ni a \colon \forall x\in U, \quad |f(x)| \le \varepsilon |g(x)|\ .</math>
* '''[[fonction nulle|nulle]]''' : [[#C|constante]] de valeur zéro :
*:<math>\forall x, \quad f(x) = 0\ .</math>
* '''[[fonction numérique|numérique]]''' : à valeurs dans un ensemble de nombres.

== O ==
* '''[[Applications ouvertes et fermées|ouverte]]''' : pour laquelle l'image de chaque ouvert est ouverte.

== P ==
* '''[[fonction paire|paire]]''' : dont le domaine est symétrique par rapport à l'origine et pour laquelle le changement de signe de la variable ne change pas la valeur :
*:<math>\forall x,\quad f(-x) = f(x)\ .</math>
* '''[[fonction partielle|partielle]]''' : définie seulement sur une partie de son ensemble source.
* '''[[fonction partielle récursive|partielle récursive]]''' : (partielle) dont les valeurs sont déterminées par un algorithme exécutable par une même machine de Turing.
* '''[[fonction périodique|périodique]]''' : dont le domaine de définition et les valeurs sont invariants par une translation fixée :
*:<math>\exists T\colon\ \forall x,\quad f(x+T) = f(x)\ .</math>
* '''[[fonction polynôme|polynôme]]''' ou '''polynomiale''' : dont l'expression est une combinaison de sommes et de produits de la variable avec elle-même et avec des [[#C|constantes]] :
*:<math>x \mapsto a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0\ .</math>
* '''[[fonction positive|positive]]''' : dont toutes les valeurs sont positives ou nulles :
*:<math>\forall x, \quad f(x) \ge 0\ .</math>
* '''[[fonction presque périodique|presque périodique]]''' : [[#C|continue]] et dont les ensembles de presque-périodes sont tous bien répartis.
* '''[[primitive]]''' : dont la dérivée est la fonction d'origine :
*:<math>F' = f\ .</math>
* '''[[fonction propre|propre]]''' : dont l'image par un opérateur est un multiple d'elle-même :
*:<math>T(f) = \lambda f\ .</math>
* '''[[fonction puissance|puissance]]''' : définie comme le produit itéré de la variable avec elle-même, ou plus généralement comme la [[#C|composée]] du logarithme avec une [[#E|exponentielle]] :
*:<math>x \mapsto x^{\alpha} = \exp(\alpha \ln(x))\ .</math>

== Q ==
* '''[[fonction quadratique|quadratique]]''' : [[#P|polynomiale]] de degré 2 :
*:<math>x\mapsto ax^2+bx+c\ .</math>
* '''[[fonction quartique|quartique]]''' : [[#P|polynomiale]] de degré 4 :
*:<math>x\mapsto ax^4+bx^3 + cx^2+dx+e\ .</math>
* '''[[fonction quintique|quintique]]''' : [[#P|polynomiale]] de degré 5 :
*:<math>x\mapsto ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f\ .</math>

== R ==
* '''[[fonction rationnelle|rationnelle]]''' : quotient de fonctions [[#P|polynômes]] :
*:<math>x \mapsto \frac{P(x)}{Q(x)}\ .</math>
* '''[[fonction réciproque|réciproque]]''' : dont la [[#C|composée]] avec la fonction d'origine redonne la variable :
*:<math>\forall x, \quad g(f(x)) = x, \qquad \forall x,\quad f(g(x)) = x\ .</math>
* '''[[fonction récursive|récursive]]''' : dont les valeurs sont déterminées par un algorithme exécutable par une même machine de Turing pour toute entrée.
* '''[[fonction réelle|réelle]]''' : à valeurs dans l'ensemble des [[nombre réel|nombres réels]].
* '''[[fonction réglée|réglée]]''' : qui est limite uniforme de fonctions [[#E|en escalier]].
* '''[[fonction de répartition|de répartition]]''' : dont la valeur en chaque réel détermine la probabilité pour une variable aléatoire réelle fixée d'avoir une valeur inférieure :
*:<math>x \mapsto \mathbb P(X \le x)\ .</math>

== S ==
* '''[[fonction semi-calculable|semicalculable]]''' : ([[#P|partielle]]) dont les valeurs sont déterminées par un algorithme exécutable par une même machine de Turing.
* '''[[fonction semicontinue|semicontinue]]''' (inférieurement/supérieurement) : pour laquelle la préimage de tout intervalle ouvert non borné (à gauche/à droite) est un ouvert.
* '''[[fonction simple|simple]]''' : dont l'ensemble image est de cardinal fini.
* '''[[fonction sous-additive|sous-additive]]''' : pour laquelle l'image de la somme est toujours inférieure à la somme des images :
*:<math>\forall x,y, \quad f(x+y) \le f(x)+f(y)\ .</math>
* '''[[fonction sous-linéaire|sous-linéaire]]''' : sous-additive et positivement [[#H|homogène]].
* '''[[fonction sous-modulaire|sous-modulaire]]''' : pour laquelle la somme des images sur deux ensembles est supérieure à la somme des images sur leur intersection et leur union :
*:<math>\forall X,Y, \quad f(X \cap Y) + f(X \cup Y) \le f(X)+f(Y)\ .</math>
* '''[[fonction spéciale|spéciale]]''' : appartenant à une liste de fonctions transcendantes qui ne peuvent s'exprimer par combinaison de sommes, produit, quotient et composée de fonctions polynômes, logarithme et exponentielle.
* '''[[fonction surjective|surjective]]''' : dont l'image est tout l'ensemble d'arrivée :
*:<math>\forall y, \exists x \colon \quad f(x) = y\ .</math>
* '''[[fonction symétrique|symétrique]]''' : (à plusieurs variables) pour laquelle l'image d'un ''n''-uplet ne dépend pas de l'ordre des termes :
*:<math>\forall \sigma, \quad f(x_1, \dots, x_n) = f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)})\ .</math>

== T ==
* '''[[fonction totale|totale]]''' : dont le domaine de définition est tout l'ensemble de départ.
* '''[[fonction transcendante|transcendante]]''' : qui n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients polynomiaux en la variable.
:Voir aussi [[#A|''algébrique'']].
* '''[[fonction trigonométrique|trigonométrique]]''' : l'une des fonctions ''sinus'', ''cosinus'', ''tangente'' ou leur inverse (cosécante, sécante et cotangente)

== U ==
* '''[[fonction uniformément continue|uniformément continue]]''' : dont l'écart entre deux images est contrôlé par l'écart entre les antécédents :
:<math>\forall \varepsilon > 0, \exists \eta > 0 \colon \ \forall x,y, \quad d(x,y) < \eta \ \Rightarrow \ \delta(f(x),f(y)) <\varepsilon \ .</math>

== V ==
* '''[[fonction à variation bornée|à variation bornée]]''' : dont la somme des valeurs absolues des variations le long d'une subdivision est bornée :
*:<math>\sup\left\{\sum_{k=1}^n |f(x_k)-f(x_{k-1})|, \ a \le x_0 \le x_1 \le \dots \le x_n \le b\right\} < +\infty\ .</math>