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Ce glossaire des fonctions rassemble les qualificatifs associés au terme « fonction » en mathématiques. Modèle:Sommaire alphabétique

A

• absolument continue : pour laquelle la somme des variations dans l'image est contrôlée par la somme des variations à la source

  $\mathrm{\forall }\epsilon ,\mathrm{\exists }\delta :\mathrm{\forall }(a_n),(b_n),\sum _{n\ge 0}|b_n-a_n|<\delta \Rightarrow \sum _{n\ge 0}|f(a_n)-f(b_n)|<\epsilon .$

• additive : (arithmétique) pour laquelle l'image du produit de termes premiers entre eux est la somme des images :

  $\mathrm{\forall }a,b,a\wedge b=1\Rightarrow f(ab)=f(a)+f(b).$

• affine : pour laquelle la différence des images est proportionnelle à la différence à la source :

  $\mathrm{\exists }k:\mathrm{\forall }x,y,f(y)-f(x)=k(y-x).$

• algébrique : qui est solution d'une équation polynomiale à coefficients polynomiaux en la variable.

  Voir aussi transcendante.

• analytique : développable en série entière au voisinage de chacun des points de son domaine de définition.
• arithmétique : dont la variable parcourt les entiers naturels.

B

• bijective : à la fois injective et surjective.
• booléenne : dont les valeurs sont des booléens.
• bornée : à la fois majorée et minorée.

C

• calculable : dont les valeurs sont déterminées par un algorithme exécutable par une même machine de Turing pour toute entrée.
• caractéristique d'un ensemble : qui vaut 1 en tout point de cet ensemble et 0 en dehors.
• caractéristique d'une variable aléatoire : définie comme l'espérance de l'exponentielle complexe de la variable aléatoire :

  $t\mapsto 𝔼(\exp (itX).$

• causale : dont le support est minoré dans l'ensemble des réels :

  $\mathrm{\exists }a\in ℝ:\mathrm{\forall }x<a,f(x)=0.$

• centrale : constante sur chaque classe de conjugaison d'un groupe :

  $\mathrm{\forall }a,b,f(ab{a}^{-1})=f(a).$

• circulaire : trigonométrique telle que sinus, cosinus, tangente et leurs inverses.
• complexe : à valeurs dans l'ensemble des nombres complexes.
• composée : obtenue par composition de deux fonctions.
• concave : dont l'hypographe est convexe.
• constante : admettant une unique valeur sur son domaine de définition.

  $\mathrm{\exists }C:\mathrm{\forall }x,f(x)=C.$

• continue : pour laquelle la préimage d'un ouvert est un ouvert.
• contractante : lispchitzienne de rapport $k<1$
• convergente : admettant une limite finie.
• convexe : dont l'épigraphe est convexe.
• courbe : booléenne de non-linéarité maximale.
• croissante : qui préserve l'ordre des éléments :

  $\mathrm{\forall }x,y,x\le y\Rightarrow f(x)\le f(y).$

• cubique : polynomiale de degré 3 :

  $x\mapsto a{x}^3+b{x}^2+cx+d.$

D

• décroissante : qui renverse l'ordre des éléments :

  $\mathrm{\forall }x,y,x\le y\Rightarrow f(x)\ge f(y).$

• dérivable : dont la dérivée est bien définie.
• dérivée : définie par le nombre dérivé de la fonction d'origine en chaque point.
• développable en série entière : pouvant s'exprimer comme une série entière convergente au voisinage d'un point :

  $\mathrm{\exists }(a_n):\mathrm{\forall }x\in D(x_0;r),f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-x_0{)}^n.$

• différentiable : admettant une différentielle en chaque point.
• divergente : n'admettant pas de limite finie.

E

• elliptique : méromorphe doublement périodique sur le plan complexe.
• entière : holomorphe définie sur tout le plan complexe.
• équivalente : de différence négligeable devant la fonction d'origine.
• en escalier : constante par morceaux.
• étagée : mesurable d'image finie.
• exponentielle : proportionnelle à sa dérivée :

  $x\mapsto a^x=\exp (x\ln (a)).$

• extractrice : strictement croissante de l'ensemble des entiers naturels dans lui-même.

F

• fermée : pour laquelle l'image de tout fermé est fermée.

G

• gaussienne : composée d'un polynôme du second degré de coefficient dominant négatif avec l'exponentielle :

  $x\mapsto \exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}+c)$

• génératrice : série entière dont les coefficients sont les termes de la suite d'origine.

H

• harmonique : de laplacien nul :

  $\mathrm{\Delta }f=0.$

• hölderienne : dont les variations sont bornées par une puissance de l'écart sur la variable :

  $\mathrm{\exists }C:\mathrm{\forall }x,y,d(f(x),f(y))\le Cd(x,y{)}^a.$

• holomorphe : dérivable au sens complexe.
• homogène : pour laquelle la multiplication des variables par une même constante induit une multiplication de la valeur par une puissance de cette constante :

  $\mathrm{\exists }\alpha :\mathrm{\forall }\lambda ,x_1,\dots ,x_n,f(\lambda x_1,\dots ,\lambda x_n)={\lambda }^{\alpha }f(x_1,\dots ,x_n).$

• homographique : s'exprimant comme un quotient de fonctions affines :

  $x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}.$

• hyperbolique : l'une des fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique, tangente hyperbolique ou leur inverse.
• hypergéométrique : génératrice associée à une série hypergéométrique.

I

• impaire : dont le domaine est symétrique par rapport à l'origine et pour laquelle le changement de signe de la variable change aussi le signe de la valeur :

  $\mathrm{\forall }x,f(-x)=-f(x).$

• indicatrice : qui vaut 1 sur un ensemble fixé et 0 ailleurs.
• injective : pour laquelle deux éléments distincts ne peuvent avoir la même image :

  $\mathrm{\forall }x,y,x\ne y\Rightarrow f(x)\ne f(y).$

• intégrable : dont l'intégrale de la valeur absolue est bien définie et finie :

  $\int |f|<+\mathrm{\infty }.$

L

• lacunaire : série entière dont une partie des coefficients sont nuls, entrainant l'absence de prolongement analytique en dehors du disque de convergence.
• linéaire : dont la valeur est proportionnelle à la variable :

  $x\mapsto ax.$

• lipschitzienne : dont les variations sont bornées par l'écart de valeurs de la variable :

  $\mathrm{\exists }C:\mathrm{\forall }x,y,d(f(x),f(y))\le Cd(x,y).$

• lisse : infiniment dérivable ou différentiable.
• logique : booléenne telle les fonctions NON, ET, OU, OUexclusif…
• logistique : composée d'une fonction exponentielle avec une fonction homograhique non affine dont le point singulier est négatif :

  $x\mapsto \frac{a+b\exp (\lambda x)}{c+\exp (\lambda x)}.$

• lorentzienne : inverse d'une fonction du second degré sans racine réelle :

  $x\mapsto \frac{\mathrm{\Gamma }}{2\pi }\frac{1}{{\left(\frac{1}{2}\mathrm{\Gamma }\right)}^2+(x-x_0{)}^2}$

M

• majorée : dont toutes les valeurs sont inférieures à un élément fixé :

  $\mathrm{\exists }M:\mathrm{\forall }x,f(x)\le M.$

• méromorphe : quotient de fonctions entières.
• mesurable : pour laquelle la préimage de toute partie mesurable est mesurable.
• minorée : dont toutes les valeurs sont supérieures à un élément fixé :

  $\mathrm{\exists }m:\mathrm{\forall }x,f(x)\ge m.$

• monotone : croissante ou décroissante.
• de Morse : différentiable de classe C² dont les points critiques sont non dégénérés.
• multiplicative : arithmétique pour laquelle l'image du produit de termes premiers entre eux est le produit des images :

  $\mathrm{\forall }a,b,a\wedge b=1\Rightarrow f(ab)=f(a)f(b).$

• multivaluée : holomorphe définie sur une variété riemannienne se projetant sur le plan complexe.

N

• négative : dont toutes les valeurs sont négatives ou nulles :

  $\mathrm{\forall }x,f(x)\le 0.$

• négligeable : dont le quotient avec la fonction d'origine a une limite nulle :

  $f=\underset{x\to a}{o}(g)\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }U\ni a:\mathrm{\forall }x\in U,|f(x)|\le \epsilon |g(x)|.$

• nulle : constante de valeur zéro :

  $\mathrm{\forall }x,f(x)=0.$

• numérique : à valeurs dans un ensemble de nombres.

O

• ouverte : pour laquelle l'image de chaque ouvert est ouverte.

P

• paire : dont le domaine est symétrique par rapport à l'origine et pour laquelle le changement de signe de la variable ne change pas la valeur :

  $\mathrm{\forall }x,f(-x)=f(x).$

• partielle : définie seulement sur une partie de son ensemble source.
• partielle récursive : (partielle) dont les valeurs sont déterminées par un algorithme exécutable par une même machine de Turing.
• périodique : dont le domaine de définition et les valeurs sont invariants par une translation fixée :

  $\mathrm{\exists }T:\mathrm{\forall }x,f(x+T)=f(x).$

• polynôme ou polynomiale : dont l'expression est une combinaison de sommes et de produits de la variable avec elle-même et avec des constantes :

  $x\mapsto a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0.$

• positive : dont toutes les valeurs sont positives ou nulles :

  $\mathrm{\forall }x,f(x)\ge 0.$

• presque périodique : continue et dont les ensembles de presque-périodes sont tous bien répartis.
• primitive : dont la dérivée est la fonction d'origine :

  $F^{\prime }=f.$

• propre : dont l'image par un opérateur est un multiple d'elle-même :

  $T(f)=\lambda f.$

• puissance : définie comme le produit itéré de la variable avec elle-même, ou plus généralement comme la composée du logarithme avec une exponentielle :

  $x\mapsto x^{\alpha }=\exp (\alpha \ln (x)).$

Q

• quadratique : polynomiale de degré 2 :

  $x\mapsto a{x}^2+bx+c.$

• quartique : polynomiale de degré 4 :

  $x\mapsto a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e.$

• quintique : polynomiale de degré 5 :

  $x\mapsto a{x}^5+b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex+f.$

R

• rationnelle : quotient de fonctions polynômes :

  $x\mapsto \frac{P(x)}{Q(x)}.$

• réciproque : dont la composée avec la fonction d'origine redonne la variable :

  $\mathrm{\forall }x,g(f(x))=x,\mathrm{\forall }x,f(g(x))=x.$

• récursive : dont les valeurs sont déterminées par un algorithme exécutable par une même machine de Turing pour toute entrée.
• réelle : à valeurs dans l'ensemble des nombres réels.
• réglée : qui est limite uniforme de fonctions en escalier.
• de répartition : dont la valeur en chaque réel détermine la probabilité pour une variable aléatoire réelle fixée d'avoir une valeur inférieure :

  $x\mapsto \mathbb{P}(X\le x).$

S

• semicalculable : (partielle) dont les valeurs sont déterminées par un algorithme exécutable par une même machine de Turing.
• semicontinue (inférieurement/supérieurement) : pour laquelle la préimage de tout intervalle ouvert non borné (à gauche/à droite) est un ouvert.
• simple : dont l'ensemble image est de cardinal fini.
• sous-additive : pour laquelle l'image de la somme est toujours inférieure à la somme des images :

  $\mathrm{\forall }x,y,f(x+y)\le f(x)+f(y).$

• sous-linéaire : sous-additive et positivement homogène.
• sous-modulaire : pour laquelle la somme des images sur deux ensembles est supérieure à la somme des images sur leur intersection et leur union :

  $\mathrm{\forall }X,Y,f(X\cap Y)+f(X\cup Y)\le f(X)+f(Y).$

• spéciale : appartenant à une liste de fonctions transcendantes qui ne peuvent s'exprimer par combinaison de sommes, produit, quotient et composée de fonctions polynômes, logarithme et exponentielle.
• surjective : dont l'image est tout l'ensemble d'arrivée :

  $\mathrm{\forall }y,\mathrm{\exists }x:f(x)=y.$

• symétrique : (à plusieurs variables) pour laquelle l'image d'un n-uplet ne dépend pas de l'ordre des termes :

  $\mathrm{\forall }\sigma ,f(x_1,\dots ,x_n)=f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}).$

T

• totale : dont le domaine de définition est tout l'ensemble de départ.
• transcendante : qui n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients polynomiaux en la variable.

Voir aussi algébrique.

• trigonométrique : l'une des fonctions sinus, cosinus, tangente ou leur inverse (cosécante, sécante et cotangente)

U

• uniformément continue : dont l'écart entre deux images est contrôlé par l'écart entre les antécédents :

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\eta >0:\mathrm{\forall }x,y,d(x,y)<\eta \Rightarrow \delta (f(x),f(y))<\epsilon .$

V

• à variation bornée : dont la somme des valeurs absolues des variations le long d'une subdivision est bornée :

  $\sup \{\sum _{k=1}^n|f(x_k)-f(x_{k-1})|,a\le x_0\le x_1\le \dots \le x_n\le b\}<+\mathrm{\infty }.$