Fonction causale

Modèle:Ébauche Une fonction causale est une fonction définie sur l'ensemble des réels et dont le support est minoré. On définit de la même manière une distribution causale.

Les fonctions et distributions causales les plus utilisées sont celles qui sont nulles pour les nombres réels négatifs.

Causalité physique et mathématiques

En physique, le principe de causalité indique qu'un effet ne peut précéder sa cause. Par conséquent, Modèle:Mvar étant la variable temps, si la fonction Modèle:Mvar caractérise la réponse d'un système physique à un signal $S(t)$ parvenu au temps $t=0$, cette fonction-réponse doit être nulle pour $t<0$ : la fonction Modèle:Mvar est causale.

Transformée de Fourier

Après un changement de variable par translation, une fonction causale Modèle:Mvar peut s'écrire sous la forme $f(t)=H(t)g(t)$, où Modèle:Mvar est la fonction de Heaviside.

Sachant que la transformée de Fourier de Modèle:Mvar est égale à $\frac{1}{2}(\delta (\nu )-i\frac{1}{\pi \nu })$, et connaissant les propriétés de cette transformation, on obtient :

$\hat{f}(\nu )=\frac{1}{2}(\delta (\nu )-\mathrm{i}\frac{1}{\pi \nu })\ast \hat{g}(\nu )=\frac{1}{2}(\hat{g}(\nu )-\mathrm{i}\mathscr{H}\{\hat{g}\}(\nu ))$,

où $\mathscr{H}\{\hat{g}\}$ est la transformée de Hilbert de la fonction $\hat{g}$.

Référence

François Roddier, Distributions et Transformation de Fourier, McGraw-Hill, 1971 Modèle:ISBN.