Fonction cubique

Courbe représentative de la fonction cubique Modèle:Math, qui a 3 racines réelles (où la courbe croise l'axe horizontal — où y = 0) et deux points critiques.

En mathématiques, une fonction cubique est une fonction de la forme

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$,

où Modèle:Mvar est non nul.

L'équation Modèle:Math est alors une équation cubique.

Les solutions de cette équation polynomiale sont appelées zéros de la fonction polynomiale Modèle:Mvar.

Points critiques

Les racines, les points stationnaires, point d'inflexion et la concavité d'un polynôme cubique Modèle:Formule (ligne noire) et ses dérivées première et seconde (rouge et bleu).

On considère ici une fonction cubique Modèle:Mvar définie par Modèle:Math dont les coefficients, ainsi que la variable Modèle:Mvar, sont réels.

Les points critiques de Modèle:Mvar sont les abscisses des points du graphe où la pente de la tangente est nulle, c'est-à-dire les Modèle:Mvar en lesquels la dérivée de Modèle:Mvar s'annule :

$3a{x}^2+2bx+c=0$.

Les solutions de cette équation sont données, en utilisant la formule quadratique avec discriminant réduit :

$x_{\text{critique}}=\frac{-b\pm \sqrt{{\mathrm{\Delta }}_0}}{3a}$.

avec

${\mathrm{\Delta }}_0=b^2-3ac$.

Le signe de Modèle:Math détermine le nombre de points critiques et d'extrema locaux de Modèle:Mvar :

• si Modèle:Math — comme dans le diagramme ci-contre — alors Modèle:Mvar a un maximum local et un minimum local ;
• si Modèle:Math, alors le point d'inflexion (cf. ci-dessous) est le seul point critique ;
• si Modèle:Math, alors Modèle:Mvar n'a pas de point critique.

Dans les cas où Modèle:Math, Modèle:Mvar est strictement monotone donc n'a pas d'extremum local.

La valeur de Modèle:Math joue également un rôle important dans la détermination de la nature et des valeurs des racines de l'équation cubique.

Point d'inflexion et symétrie

La courbe d'une fonction cubique générale,

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$,

a toujours un point d'inflexion, c'est-à-dire un point où la courbe change de concavité.

Puisque la dérivée seconde de Modèle:Mvar s'exprime par Modèle:Formule, l'abscisse de ce point est

$x_0:=-\frac{b}{3a}$,

valeur qui est également importante dans la résolution de l'équation cubique.

L'ordonnée est

$y_0:=f(x_0)=$ Modèle:Formule.

La courbe est symétrique par rapport à ce point. Modèle:Démonstration

Applications

Les fonctions cubiques apparaissent dans divers contextes.

Le théorème de Marden indique que les foyers de l'ellipse inscrite de Steiner d'un triangle peuvent être trouvés en utilisant la fonction cubique dont les racines sont les coordonnées dans le plan complexe de trois sommets du triangle. Les racines de la première dérivée de ce cube sont les coordonnées complexes de ces foyers.

Le polynôme caractéristique d'une matrice 3 × 3 est de degré 3.

Voir aussi

• Courbe cubique
• Équation quintique
• Spline