Signe (arithmétique)
En arithmétique, le signe d'un nombre réel qualifie sa position par rapport à zéro. Un nombre est dit positif s'il est supérieur ou égal à zéro ; il est dit négatif s'il est inférieur ou égal à zéro. Le nombre zéro lui-même est donc à la fois positif et négatif[1].
Le signe arithmétique est souvent noté à l'aide des signes algébriques « + » et « − » (plus et moins), notamment dans un tableau de signe. En effet, un nombre écrit en chiffres est précédé du signe « − » s'il est négatif. Mais cette notation peut engendrer des confusions[2] lorsque les signes plus et moins sont utilisés comme opérateurs. Notamment, l'expression −a est positive, si a est négatif.
Le changement de signe d'une expression algébrique est la soustraction de cette expression à l'élément nul. Il est noté à l'aide du signe « − » précédant l'expression.
Historique
Un énoncé explicite de la règle des signes apparaît dans l'Arithmetica de Diophante d'Alexandrie (Modèle:S)[3] : Modèle:Citation bloc On la trouve également dans des textes comme l’Arybhatiya, du nom de son auteur le mathématicien indien Âryabhata (476 – 550). Ce dernier y définit les règles d'addition et de soustraction entre les nombres négatifs, représentant des dettes, et les nombres positifs quantifiant les recettes.
Quelques siècles plus tard, dans les écrits du mathématicien perse Abu l-Wafa (940 – 998), apparaissent des produits de nombres négatifs par des nombres positifs. Cependant le nombre négatif reste encore attaché à une interprétation concrète. Une démonstration algébrique de la règle des signes a été donnée par Ibn al-Banna (1256 - 1321)[4].
En Occident, elle est énoncée par Nicolas Chuquet (c. 1450 - 1487)[5] : Modèle:Citation bloc Il faut attendre le Modèle:S- pour que les calculs algébriques s'appliquent aussi bien aux négatifs qu'au positifs. Mais D'Alembert (1717 – 1783) lui-même montrera encore quelques réserves sur les nombres négatifs dans l'encyclopédie : Modèle:Citation bloc Il y explique la règle des signes comme suit : Modèle:Citation bloc
Règles opératoires
Les opérations d'addition et de multiplication ont été étendues aux nombres négatifs de façon à préserver les propriétés d'associativité, de commutativité et de distributivité. D'autres propriétés valables pour les nombres positifs doivent cependant être reformulées, par exemple :
- deux nombres positifs rangés dans l'ordre ont leurs carrés rangés dans le même ordre ;
- deux nombres de même signe rangés dans l'ordre ont leur inverse rangés dans l'ordre contraire.
Addition et soustraction
Une somme algébrique est une suite d'addition et de soustraction de nombres positifs ou négatifs, employant éventuellement des parenthèses. Elle peut être réinterprétée avec les règles suivantes :
- la soustraction d'un nombre négatif est l'addition de sa valeur absolue ;
- l'addition d'un nombre négatif est la soustraction de sa valeur absolue.
Règle des signes
Modèle:Homon La règle des signes permet de déterminer le signe de leur produit à partir des signes de chaque facteur. Modèle:Théorème Cette règle peut être étendue à un nombre quelconque de facteurs :
Signe d'une fonction
Une fonction à valeurs réelles est dite positive si sa valeur est positive en chaque point de son domaine de définition. Elle est dite négative si sa valeur est négative en chaque point de son domaine de définition. Une fonction positive et négative (à la fois) a donc toutes ses valeurs positives et négatives à la fois, donc est constante de valeur nulle.
Pour décrire le signe d'une fonction qui admet certaines valeurs strictement positives et d'autres strictement négatives, il est nécessaire de préciser les domaines relatifs à chaque signe. Dans le cas d'une fonction continue sur une réunion d'intervalles réels, ces domaines sont eux-mêmes des intervalles dont il suffit de préciser les bornes.
Fonction affine
Le signe d'une fonction affine est complètement déterminé par le signe de son coefficient directeur et de la valeur de son éventuel point d'annulation.
- Si le coefficient directeur est strictement positif, la fonction est négative sur l'intervalle à gauche du point d'annulation et positive sur l'intervalle à droite de ce point.
- Si le coefficient directeur est strictement négatif, la fonction est positive sur l'intervalle à gauche du point d'annulation et négative sur l'intervalle à droite de ce point.
- Si le coefficient directeur est nul, la fonction est constante et son signe également.
Tableau de signe
Modèle:Exemple flottant Étant donné une expression algébrique factorisée (c'est-à-dire un produit ou un quotient) dans laquelle le signe de chaque facteur est connu, dépendant d'une seule variable réelle, le tableau de signe de cette expression comprend une ligne pour la variable, une ligne pour chaque facteur et une ligne pour l'expression complète. La première ligne (celle de la variable) comprend toutes les valeurs d'annulation des différents facteurs et les bornes du domaine d'étude. Des traits verticaux sous ces valeurs déterminent les colonnes du tableau.
Chaque ligne de facteur est munie de zéros sur les traits verticaux correspondant aux valeurs d'annulation du facteur considéré. Dans chaque colonne est indiqué le signe de chaque facteur sur l'intervalle de valeurs considéré.
Les signes sur la ligne du résultat sont définis par la règle des signes à partir des signes présents dans la colonne. Chaque trait vertical dans cette ligne est muni de zéro lorsqu'il y en a un en facteur multiplicatif (c'est-à-dire au numérateur). Une double barre marque un trait vertical lorsqu'un zéro survient au dénominateur.
Fonction du second degré
Le signe d'une fonction du second degré ne dépend que du signe de son coefficient dominant et de la valeur de ses racines, ces dernières pouvant être déterminées à l'aide du discriminant.
- Si le discriminant est strictement négatif, la fonction est de signe constant (celui de son coefficient dominant) et ne s'annule pas.
- Si le discriminant est nul, la fonction est de signe constant (celui de son coefficient dominant) et ne s'annule qu'en un point.
- Si le discriminant est strictement positif, la fonction est du signe de son coefficient dominant en dehors des racines ; elle est du signe opposé entre les racines.
Notes
Voir aussi
- ↑ Selon certaines conventions différentes en vigueur dans les pays anglo-saxons, l'adjectif Modèle:Langue désigne les nombres strictement positifs, les nombres positifs ou nuls étant qualifiés de Modèle:Langue. Avec ces conventions, 0 est à la fois Modèle:Langue et Modèle:Langue (cf. Modèle:En en:Zero#Elementary algebra).
- ↑ De telles confusions sont décrites à l'article « Signe » du Dictionnaire de mathématiques élémentaires de Stella Baruk.
- ↑ J. Dhombres & al., Mathématiques au fil des âges, Bordas (1987), p. 91.
- ↑ Ahmed Djebbar, L'algèbre arabe, genèse d'un art, Vuibert (2005), p. 90.
- ↑ René Taton, La Science moderne, Quadrige/PUF (1995), p. 20.