Voir la source de Postulat de Bertrand

{{Voir homonymes|Bertrand}}

En [[mathématiques]], le '''postulat de [[Joseph Bertrand|Bertrand]]''' affirme qu'entre un [[entier naturel|entier]] et son double, il existe toujours au moins un [[nombre premier]].

Plus précisément, l'énoncé usuel est le suivant :
{{énoncé|Pour tout entier <math>n>1</math>, il existe un nombre premier <math>p</math> tel que <math>n<p<2n</math>.}}

Le postulat de Bertrand est aussi connu sous le nom de '''théorème de Tchebychev''', depuis que [[Pafnouti Tchebychev]] l’a démontré en [[1850 en science|1850]].

== Énoncés ==
* L'énoncé usuel du postulat de Bertrand :
*::1. Pour tout entier <math>n>1</math>, il existe un nombre premier <math>p</math> tel que <math>n<p<2n</math>.
*:est équivalent aux quatre suivants :
*::2. Pour tout entier <math>n\geqslant1</math>, il existe un nombre premier <math>p</math> tel que <math>n<p\leqslant 2n</math>.
*::3. Pour tout entier <math>n\geqslant1</math>, <math>\pi(2n)-\pi(n)\geqslant1</math>, où <math>\pi</math> est la [[fonction de compte des nombres premiers]].
*::4. Pour tout indice <math>k</math>, <math>p_{k+1}<2p_k </math>, où <math>(p_k)_{k\geqslant1}</math> est la suite des nombres premiers.
*::5. Pour tout indice <math>k</math>, <math>g_k<p_k</math>, où <math>g_k=p_{k+1}-p_{k}</math> est l’[[écart entre nombres premiers|écart entre un nombre premier et le suivant]].
*:ainsi qu'aux variantes obtenues en remplaçant, dans les énoncés 1 à 3, « pour tout entier » par « pour tout [[Nombre réel|réel]]<ref>{{EncycloMath|id=Bertrand_postulate|titre=Bertrand postulate|prénom1=B. M.|nom1=Bredikhin}} donne l'énoncé 1 avec : « pour tout <math>x>1</math> » (implicitement : réel).</ref> ».
*Celui formulé par [[Joseph Bertrand]]<ref>L'énoncé original de la page 129 de {{Article|auteur=Joseph Bertrand|url={{Google Livres|WTa-qRIWckoC|page=123}}|titre=Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu'elle renferme|revue=Journal de l'École royale polytechnique|vol=18, cahier 30|année=1845|p.=123-140}}, est : {{Citation|quel que soit un nombre <math>n</math> supérieur à 6, il existe toujours un nombre premier, au moins, compris entre <math>n-2</math> et <math>\tfrac n2</math>.}} Le contenu de cette page 129 permet de comprendre, sans ambiguïté possible, que <math>n</math> est un entier, ''strictement'' supérieur à 6, et que le nombre premier <math>p</math> doit vérifier les inégalités <math>\tfrac n2<p\leq n-2</math> (''stricte'' pour la première et ''large'' pour la seconde).</ref> et démontré par [[Pafnouti Tchebychev]]<ref>Pages 381-382 de {{Article|auteur=P. Tchebichef|titre=Mémoire sur les nombres premiers|revue=[[Journal de mathématiques pures et appliquées]]|série=1|année=1852|tome=17|p.=366-390|url=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1852_1_17_A19_0.pdf}} {{Citation|(présenté à l'[[Académie des sciences de Saint-Pétersbourg|Académie impériale de Saint-Pétersbourg]], en 1850)}}.</ref>, était légèrement plus fort :
{{Retrait|Pour tout entier <math>n>3</math>, il existe un nombre premier <math>p</math> tel que <math>n<p<2n-2</math><ref>C'est sous une forme voisine qu'est rappelé l'énoncé de Bertrand au début de {{Harvsp|Tchebichef|1852}}. Cette reformulation est équivalente à {{Harvsp|Bertrand|1845|texte=l'énoncé original, précisé en note ci-dessus}}.</ref>{{,}}<ref>{{Harvsp|Bredikhin|2002}}.</ref>{{,}}<ref>Ou, ce qui est équivalent : {{Citation|Tchebychef a démontré le théorème suivant […] : ''Pour <math>2a>7</math>'' [<math>a</math> réel]'', il y a au moins un nombre premier compris'' [strictement] ''entre <math>a</math> et <math>(2a-2)</math>''.}} — {{Ouvrage|auteur=[[Édouard Lucas]]|titre=Théorie des nombres|année=1891|page=367|url=http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-29021&I=202&M=tdm}}.</ref>.}}

== Historique ==
Le « postulat » (un terme tel qu’hypothèse ou [[conjecture]], moins généraux, serait plus approprié) est énoncé pour la première fois en [[1845]] par [[Joseph Bertrand]]<ref>{{Harvsp|Bertrand|1845|p=129}}.</ref> dans une étude sur des [[groupe de permutations|groupes de permutations]], après qu’il a vérifié sa validité pour tous les nombres inférieurs à 6 millions.

C’est [[Pafnouti Tchebychev]] qui obtient, en 1850, la première démonstration<ref>{{Harvsp|Tchebichef|1852}} {{Citation|(présenté à l'Académie impériale de Saint-Pétersbourg, en 1850)}}, publié en 1852, pendant un voyage en Europe occidentale (France, Angleterre, Allemagne). La démonstration du postulat de Bertrand est contenue dans les pages 371-382.</ref> : il utilise notamment un encadrement de la [[factorielle]] par des fonctions dérivées de la [[formule de Stirling]] ainsi que la fonction <math> \theta(x) = \sum_{p=2}^x\ln p</math>, où <math>p</math> parcourt les nombres premiers inférieurs ou égaux à <math>x</math><ref name=DétailsDemoTchebychev/>. Depuis lors, le postulat s'appelle aussi « théorème de Tchebychev<ref name=Erdos/> » ou, plus rarement, « théorème de Bertrand-Tchebychev ».

[[Edmund Landau]], en 1909, dans son ouvrage de synthèse des connaissances de l’époque sur la répartition des nombres premiers<ref>{{Ouvrage|lang=de|auteur=E. Landau|url=https://archive.org/details/handbuchderlehre01landuoft|titre=Handbuch der Lehre von der Verteiligung der Primzahlen|année=1909}}.</ref>, reprend pour l’essentiel la démonstration de Tchebychev<ref name=DétailsDemoTchebychev>Pour plus de détails, voir les sections « Conjecture de Gauss-Legendre » et « Postulat de Bertrand » de l'article sur [[Pafnouti Tchebychev]].</ref>.

En 1919, [[Srinivasa Ramanujan]] donne du postulat de Bertrand une démonstration plus simple<ref>{{en}} S. Ramanujan, « [http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/CamUnivCpapers/Cpaper24/page1.htm A proof of Bertrand's postulate] », ''Journal of the Indian Mathematical Society'', {{rom-min|XI|11}}, 1919, {{p.|181-182}}. — ''Collected Papers of Srinivasa Ramanujan'', 1927, {{p.|208-209}} ; reprint. Chelsea Publishing Company, New York, 1962.</ref>.

En 1932, [[Paul Erdős]], à l’occasion de sa première publication, à l’âge de 19 ans, publie une démonstration entièrement élémentaire<ref name=Erdos>{{Article|lang=de|auteur=P. Erdős|titre=Beweis eines Satzes von Tschebyschef|revue=Acta Sci. Math. (Szeged)|vol=5 (1930-1932)|année=1932|p.=194-198|url=http://www.renyi.hu/~p_erdos/1932-01.pdf}}.</ref> dans laquelle il utilise les [[coefficient binomial|coefficients binomiaux]] (il démontrera aussi que pour n>5, il existe au moins deux nombres premiers compris entre n et 2n). Pour son élégance, cette démonstration d’[[Paul Erdős|Erdős]] est l’une de celles retenues par [[Martin Aigner]] et [[Günter M. Ziegler]] dans leur livre ''[[Raisonnements divins]]''<ref>{{Ouvrage|auteur=Martin Aigner|auteur2=Günter M. Ziegler|titre=Raisonnements divins|année=2002|numéro chapitre=2 et 3|page=7-18|url={{Google Livres|0p4z8ptz6GkC|page=7}}}}.</ref>.

== Problèmes apparentés ==
=== Résultats dérivés de la démonstration de Tchebychev ===
L’essentiel de la démonstration de Tchebychev porte sur les <math>n</math> assez grands, le complément consistant à démontrer la propriété directement pour les <math>n</math> petits. L’énoncé est le suivant :
{{énoncé|Pour tout <math>\epsilon > \frac{1}{5}</math>, il existe un nombre <math>\xi</math> tel que pour tout <math>x \geqslant \xi</math> il existe au moins un nombre premier entre <math>x</math> et <math>(1+\epsilon) x</math>.}}

Un axe de recherche consiste à réduire la valeur de <math>\epsilon</math> :
* Tchebychev a obtenu en 1850<ref name=LandauZbl>{{de}} E. Landau, {{Zbl|02665208}}.</ref> la valeur <math>\epsilon = \frac{1}{5}</math>, soit 0,2 ;
* [[James Joseph Sylvester]] améliore ce résultat en 1881<ref name=LandauZbl/>{{,}}<ref name=Dickson435>{{Dickson1}}, vol. 1, 1919, [https://archive.org/stream/historyoftheoryo01dick#page/435/mode/1up {{p.|435}}].</ref>, et réduit <math>\epsilon</math> à 0,16688 ;
* et en 1891-1892<ref name=LandauZbl/>{{,}}<ref name=Dickson435/>, à 0,092 ;
* en 1893, [[Eugène Cahen]] croit avoir démontré que <math>\theta(z) \sim z</math> quand <math>z</math> tend vers l’infini<ref>{{Article|auteur=E. Cahen|titre=Sur la somme des logarithmes des nombres premiers qui ne dépassent pas {{math|''n''}}|revue=[[CRAS]]|vol=116|p.=85-88|année=1893|mois=janvier|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k30724/f87n4.capture|zbl=25.0265.01}}. Le commentaire de [[Hermann Minkowski|Minkowski]] (''{{Lang|de|{{Lien|lang=de|Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik|texte=JFM}}, Jahrgang 1893 und 1894}}'', vol. 25, {{n°|1}}, 1896, {{p.|265}}) reproduit dans zbMATH est sans appel, tandis que {{Harvsp|Dickson|texte=Dickson 1919|p=436}}, ne remarque pas l'erreur.</ref>. Un corollaire immédiat (que [[Thomas Joannes Stieltjes|Stieltjes]] avait conjecturé)<ref>{{Article|auteur=E. Cahen|titre=Sur un théorème de M. Stieltjes|revue=CRAS|vol=116|p.=490|année=1893|mois=mars|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k30724/f492n1.capture}}. Cahen reproduit cette note et la précédente {{p.|114-117}} de {{article|titre=Sur la fonction ζ(s) de Riemann et sur des fonctions analogues|auteur=E. Cahen|revue=[[Annales scientifiques de l'École normale supérieure|ASENS]]|année=1894|vol=11|p.=75-164|url=https://eudml.org/doc/81072}}.</ref> est qu’on peut prendre <math>\epsilon</math> arbitrairement petit (ou, ce qui n'est plus général qu'en apparence : que pour tout <math>\epsilon>0</math>, la quantité de nombres premiers compris entre <math>x</math> et <math>(1+\epsilon)x</math> tend vers l'infini avec <math>x</math>)<ref name=LandauZbl/> ;
*le [[théorème des nombres premiers]], [[Théorème des nombres premiers#Énoncés équivalents|équivalent de façon élémentaire à <math>\theta(z) \sim z</math>]], ne sera démontré qu'en 1896, par [[Jacques Hadamard|Hadamard]] et [[Charles-Jean de La Vallée Poussin|La Vallée Poussin]] ; les résultats supplémentaires de ce dernier, en 1899, permettent d'expliciter une solution <math>\xi</math> en fonction de chaque <math>\epsilon>0</math><ref name=LandauZbl/>.

=== Conjecture de Legendre ===
Une conjecture similaire au postulat de Bertrand, mais non encore résolue, appelée [[conjecture de Legendre]], affirme l'existence, pour tout entier <math>n\geqslant1</math>, d'un nombre premier <math>p</math> tel que <math>n^2<p<(n+1)^2</math>. Elle touche à l'[[hypothèse de Riemann]].

=== Théorème de Sylvester ===

En 1891-1892, [[James Joseph Sylvester]] généralise l'énoncé usuel avec la proposition suivante<ref>{{en}} Sylvester, « [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN599484047_0021%7CLOG_0006 On arithmetical series, part I] », ''Messenger Math.'', vol. 21, mai 1891-avril 1892, {{p.|1-19}}.</ref> :
:Le produit de <math>n</math> entiers consécutifs strictement supérieurs à <math>n</math> est [[divisible]] par un nombre premier strictement supérieur à <math>n</math>.
Le postulat de Bertrand s'en déduit en considérant les <math>n</math> entiers <math>n+1,n+2,\dots,2n</math> : si l'un d'eux est divisible par un nombre premier <math>p>n</math>, il est égal à <math>p</math>.

== Démonstration ==

Notons <math>\mathbb P</math> l'ensemble des nombres premiers et définissons :

:<math> \theta(x) = \sum_{p\in\mathbb P;\, p\leq x} \ln p</math>.

Voici le plan de la démonstration :
* lemme de majoration de <math>\theta(x)</math> ;
* vérification explicite de la propriété pour <math>n\leqslant630</math> ;
* démonstration de la propriété (dans sa version usuelle) pour <math>n>630</math> (en utilisant le lemme).

=== Lemme de majoration de {{math|''θ''(''x'')}} ===
{{énoncé|Pour tout entier <math>n\geqslant 1,\qquad\theta(n) < n\ln4</math>.}}

{{Démonstration/début|titre=Démonstration du lemme, par [[raisonnement par récurrence|récurrence]]}}
* La propriété est vraie pour ''n'' = 1 : <math> \theta(1)= 0 < 1\ln4</math>.
* La propriété est vraie pour ''n'' = 2 : <math> \theta(2)=\ln2< 2\ln4</math>.
* Soit ''N'' > 2. Supposons la majoration vraie pour tous les entiers positifs ''n'' < ''N'' et montrons-la pour ''n = N''.
** Si ''N'' > 2 est [[Parité (arithmétique)|pair]] : <math> \theta(N) = \theta(N-1) < (N-1)\ln4< N\ln4 </math>. En effet, ''N'', étant pair et différent de 2, n'est pas premier ; donc il y a autant de nombres premiers entre 1 et ''N'' qu'entre 1 et ''N'' – 1.
** Si ''N'' > 2 est impair. Soit ''N'' = 2''m''+1 avec ''m'' > 0. Par la [[formule du binôme de Newton]] :
**:<math> 4^m = \frac {(1+1)^{2m+1}}2=\frac {\sum_{k=0}^{2m+1}{2m+1 \choose k}}2\geqslant \frac {{2m+1 \choose m}+{2m+1 \choose m+1}}2={2m+1 \choose m+1}</math>.
**:Chaque nombre premier ''p'' tel que <math>m + 1 < p\leqslant 2m + 1</math> [[diviseur|divise]] <math>  {2m+1 \choose m+1} </math>, ce qui nous donne :
**:<math> \theta(2m+1) - \theta(m+1) \leqslant \ln({2m+1 \choose m+1}) \leqslant \ln(4^m) = m\ln4</math>.
**:Par hypothèse de récurrence, <math> \theta(m+1) < (m+1)\ln4</math>, donc :
**:<math> \theta(N) = \theta(2m+1) < (2m+1)\ln4= N\ln4</math>.
{{Démonstration/fin}}

=== Vérification pour ''n'' ≤ 630 ===
Si <math>2\leqslant n\leqslant 630</math>, on utilise le procédé de [[Edmund Landau|Landau]] :

considérons la suite de onze nombres premiers 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317 et 631, chacun étant strictement inférieur au double de son prédécesseur.

Il existe deux nombres consécutifs de cette liste, ''q'' et ''p'', tels que
:<math>q\leqslant n<p</math>, donc <math>n<p</math> et <math>2q\leqslant 2n</math>.
De plus, par construction de cette liste, <math>p<2q</math>, ce qui, joint à  <math>2q\leqslant 2n</math>, donne <math>p<2n</math>.
On a donc bien
:<math>n<p<2n</math>.

=== Preuve pour ''n'' > 630 ===
==== Mise en place de la stratégie ====

Par la formule du binôme,
:<math> 4^n=(1+1)^{2n}=2+\sum_{k=1}^{2n-1}{2n \choose k}</math>.
Puisque <math> {2n \choose n} </math> est le plus grand terme de la [[Somme (arithmétique)|somme]], on en déduit : <math>4^n\leqslant 2n{2n \choose n} </math>.
Appelons <math> R(p,n) </math> le plus grand nombre ''x'' tel que <math> p^x </math> divise <math> {2n \choose n} </math>. On a donc
:<math> \frac {4^n} {2n}\leqslant {2n \choose n}=\prod_{p\in\mathbb P}p^{R(p,n)}=P_1P_2P_3P_4</math>,
avec
:<math>P_1=\prod_{p\in\mathbb P, p\leqslant\sqrt{2n}}p^{R(p,n)},\quad P_2=\prod_{p\in\mathbb P, \sqrt{2n}<p\leqslant2n/3}p^{R(p,n)},\quad P_3=\prod_{p\in\mathbb P, 2n/3<p\leqslant n}p^{R(p,n)},\quad P_4=\prod_{p\in\mathbb P, n<p<2n}p^{R(p,n)}</math>.
Pour minorer <math>P_4</math> (afin de montrer que <math>P_4>1</math>), on va majorer <math>P_1</math>, <math>P_2</math> et <math>P_3</math>. Il nous faut pour cela majorer les <math>R(p,n)</math>.

==== Calcul des R(''p'', ''n'') ====

On désigne par <math> \left \lfloor X \right \rfloor </math> la [[partie entière]] de <math>X</math>, et par <math>\left \{X\right \}</math> sa [[partie fractionnaire]].

Puisque (d'après une [[formule de Legendre]]) [[Factorielle|''n''!]] possède <math> \sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac n{p^j} \right \rfloor </math> facteurs égaux à ''p'', on obtient :

:<math> R(p,n)=\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor-2\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac n{p^j} \right \rfloor=\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac n{p^j} \right \rfloor </math>

==== Majoration de ''P''<sub>1</sub> ====

Puisque chaque terme <math> \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac n{p^j} \right \rfloor </math> vaut soit 0 (lorsque <math>\left \{\frac n{p^j}\right \} < \frac12</math>) soit 1 (lorsque <math>\left\{\frac n{p^j} \right\} \geqslant \frac12</math>) et que tous les termes avec <math> j> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln p} \right \rfloor </math> sont nuls, on obtient :
:<math> R(p,n) \leqslant \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln p} \right \rfloor</math>,
donc <math> p^{R(p,n)} \leqslant 2n </math>, donc
<math>P_1\leqslant(2n)^{\sqrt{2n}}</math>.

==== Majoration de ''P''<sub>2</sub> ====

Pour <math> p > \sqrt{2n} </math>, la somme dans ''R''(''p'', ''n'') est réduite à son premier terme, <math>\left \lfloor \frac {2n}p\right \rfloor - 2\left \lfloor \frac np\right \rfloor</math> qui, comme déjà mentionné, vaut 0 ou 1.  On a donc <math> R(p,n)\leqslant 1</math>, d'où
:<math>P_2\leqslant \prod_{p\in\mathbb P, \sqrt{2n}<p\leqslant 2n/3}p\leqslant\operatorname{exp}(\theta(2n/3))<4^{2n/3}</math>,
la dernière inégalité venant du lemme.

==== Majoration de ''P''<sub>3</sub> ====

En fait, <math>P_3=1</math> ('''c'est le point clé de la preuve d'Erdös''') car si <math>2n/3<p\leqslant n</math> alors
:<math> R(p,n) = \left \lfloor \frac {2n}p\right \rfloor - 2\left \lfloor \frac np\right \rfloor = 2-2 = 0 </math>.

==== Synthèse ====

On aboutit à
:<math>4^n\leqslant 2nP_1P_2P_3P_4<(2n)^{1+\sqrt{2n}}.4^{2n/3}.1.P_4</math>,
c'est-à-dire
:<math>P_4>\frac{4^{n/3}}{(2n)^{1+\sqrt{2n}}}</math>
qui, en posant <math>2n=2^{2t}</math>, se réécrit
:<math>\ln(P_4)>\frac{t2^t\ln2}3\left(\frac{2^t}t-6(1+2^{-t})\right)</math>.
Or <math>2n>1024=2^{10}</math> donc <math>t>5</math>, d'où <math>\frac{2^t}t>\frac{2^5}5>6(1+2^{-5})>6(1+2^{-t})</math>, si bien que <math>\ln(P_4)>0</math>, ce qui achève la démonstration.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|lang1=en|art1=Bertrand's postulate|id1=8352282|lang2=en|art2=Proof of Bertrand's postulate|id2=8352453|type=n}}
{{Références}}

== Bibliographie ==
*{{HardyWright}}, {{4e}} éd., {{p.|341-344}}
*{{Article|lang=en|titre=Ramanujan's Proof of Bertrand's Postulate|auteur=Jaban Meher|auteur2=M. Ram Murty|revue=[[The American Mathematical Monthly]]|vol=120|numéro=7|année=2013|p.=650-653|doi=10.4169/amer.math.monthly.120.07.650|url=http://www.mast.queensu.ca/~murty/Meher-Murty-Monthly.pdf}}.
* {{Youtube|langue = en|titre =  You should know this number theory result -- Bertrand's Postulate |chaîne = Michael Penn|id = X41dbvYGZzo}}, preuve filmée du postulat de Bertrand.

{{Portail|mathématiques}}

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[[Catégorie:Théorème de la théorie des nombres]]
[[Catégorie:Conjecture démontrée|Bertrand]]