Voir la source de Problème de Bernstein

En [[géométrie différentielle]], '''le problème de Bernstein''' s'énonce de la façon suivante : si le [[graphe d'une fonction]] dans '''R'''{{exp|''n''−1}} est une [[surface minimale]] dans '''R'''{{exp|''n''}}, est-ce que cela implique que la fonction en question est linéaire ? Cette assertion est vraie pour ''n'' au plus égal à 8, mais est fausse pour ''n'' au moins égal à 9. Ce problème doit son nom à [[Sergueï Natanovitch Bernstein]] qui a prouvé le cas&nbsp;''n''&nbsp;=&nbsp;3 en 1914.

== Énoncé ==
Soit ''f'' une fonction de ''n''&nbsp;−&nbsp;1 variables réelles. Le graphe de ''f'' est alors une surface de  '''R'''{{exp|''n''}}, et les conditions pour que cette surface soit minimale induisent que ''f'' doit vérifier l'équation des surfaces minimales :

<math>
\sum_{i=1}^{n-1}\frac{\partial}{\partial x_i}\Bigg(\frac{\frac{\partial f}{\partial x_i}}{\sqrt{1+\sum_{k=1}^{n-1}\Big(\frac{\partial f}{\partial x_k}\Big)^2}}\Bigg)
</math>

Le problème de Bernstein pose la question de savoir si une fonction ''entière'' (une fonction définie sur tout '''R'''{{exp|''n''−1}}) qui vérifie l'équation précédente est nécessairement une [[fonction affine]].

== Historique ==
{{Harvsp|Bernstein|1915-1917|texte=Bernstein (1915-1917)}} a prouvé le théorème de Bernstein (énonçant que le graphe d'une fonction réelle à valeurs dans '''R'''{{2}} qui est aussi une surface minimale dans '''R'''{{3}} ne peut être qu'un plan).

{{Harvsp|Fleming1962|texte=Fleming (1962)}} a donné une nouvelle preuve du théorème de Bernstein en le déduisant du fait qu'il n'existe pas de cône d'aire minimale non planaire dans '''R'''{{3}}.

{{Harvsp|De Giorgi|1965|texte=De Giorgi (1965)}} a montré qu'il n'existe pas de cône d'aire minimale non planaire dans '''R'''{{exp|''n''−1}} et donc l'analogue du théorème de Bernstein est vrai dans '''R'''{{exp|''n''}}, ce qui implique en particulier qu'il est vrai dans '''R'''{{4}}.

{{Harvsp|Almgren|1966|texte=Almgren (1966)}} a montré qu'il n'existe pas de cône minimal non planaire dans '''R'''{{4}}, étendant le théorème de Bernstein à  '''R'''{{5}}.

{{Harvsp|Simons|1968|texte=Simons (1968)}} a montré qu'il n'existe pas de cône minimal non planaire dans '''R'''{{7}}, étendant le théorème de Bernstein à '''R'''{{8}}. Il a aussi donné des exemples de cônes localement stables dans '''R'''{{8}} et s'est demandé s'ils étaient globalement d'aire minimale.

{{Harvsp|Bombieri|De Giorgi|Giusti|1969|texte=Bombieri, De Giorgi et Giusti (1969)}} ont montré que les cônes de Simons sont effectivement minimaux et ont prouvé que dans '''R'''{{exp|''n''}} avec ''n'' ≥ 9, il existe des graphes qui sont minimaux sans être des [[hyperplan]]s. En combinant ces résultats avec ceux de Simons, on en conclut que le théorème de Bernstein n'est vrai que pour des dimensions inférieures ou égales à 8.

== Références ==
*{{Article|lang=en|nom=Almgren|prénom=F. J.|lien auteur=Frederick J. Almgren|titre = Some interior regularity theorems for minimal surfaces and an extension of Bernstein's theorem|jstor = 1970520|math reviews=0200816|année = 1966|journal = [[Annals of Mathematics]]|série=2|volume = 84|p.=277-292}}
* {{Article|nom1=Bernstein|lien auteur1=Sergueï Natanovitch Bernstein|prénom1=Serge|titre=Sur un théorème de géométrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique|année=1915-1917|date=|journal=Comm. Soc. Math. Kharkov|volume=15|p.=38-45|url=http://www.mathnet.ru/links/47ac979d5aa70a2839baf459d5792440/khmo15.pdf}}<!--traduit dans {{Article|last1 = Bernstein|first1 = Serge|titre=Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus|doi = 10.1007/BF01475472|éditeur=Springer|lieu=Berlin / Heidelberg|lang=de|year = 1927|journal = [[Mathematische Zeitschrift]]|volume = 26|p.=551-558}}-->
*{{Article|lang=en|auteur=[[Enrico Bombieri]]|nom2=De Giorgi|prénom2=Ennio|auteur3=E. Giusti|titre=Minimal cones and the Bernstein problem|doi = 10.1007/BF01404309|math reviews= 0250205|année = 1969|journal = [[Inventiones Mathematicae]]|volume = 7|p.=243-268}}
* {{Article|lang=it|nom1 = De Giorgi|prénom1 = Ennio|lien auteur=Ennio De Giorgi|titre=Una estensione del teorema di Bernstein|url = http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1965_3_19_1_79_0|math reviews=0178385|année = 1965|journal = Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3)|volume = 19|p.=79-85}}
*{{Article|lang=en|id=Fleming1962|auteur=[[Wendell Fleming|Wendell H. Fleming]]|titre=On the oriented Plateau problem|doi = 10.1007/BF02849427|math reviews=0157263|année = 1962|journal = Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo|éditeur=[[Circolo Matematico di Palermo]]|série=II|volume = 11|p.=69-90}}
*{{EncycloMath|id=Bernstein_theorem|titre=Bernstein theorem|nom1=Sabitov|prénom1=I. Kh.|année=2001}}
*{{Article|lang=en|auteur=[[James Simons]]|titre=Minimal varieties in riemannian manifolds|jstor = 1970556|math reviews=0233295|année = 1968|journal =Annals of Mathematics|série=2|volume = 88|p.= 62-105}}
*{{EncycloMath|id=b/b110360|titre=Bernstein problem in differential geometry|nom1=Straume|prénom1=E.|année=2001}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Surface minimale]]