Voir la source de Problèmes de Smale

{{Ébauche|mathématiques}}
En mathématiques, les '''problèmes de Smale''' forment une liste de 18 [[problèmes non résolus en mathématiques]], proposée par [[Stephen Smale|Steve Smale]] en 2000<ref>{{Article |langue=en|auteur=[[Stephen Smale|Steve Smale]] |titre=Mathematical problems for the next century |journal=Mathematics: frontiers and perspectives |pages=271-294 |éditeur=American Mathematics Society |lieu=Providence, RI |année=2000 |url=http://www6.cityu.edu.hk/ma/doc/people/smales/pap104.pdf}}</ref>. Smale a donné cette liste en réponse à une demande de [[Vladimir Arnold]], alors président de l'[[Union mathématique internationale]], qui avait proposé à plusieurs mathématiciens de composer une liste de problèmes pour le {{s-|XXI}}, dans l'esprit de la liste des [[problèmes de Hilbert]]. Certains des problèmes de Smale font partie de la liste, établie également en 2000, des [[problèmes du prix du millénaire]].

== Liste des problèmes ==

La table suivante donne une brève description des problèmes et de l'état actuel des recherches ; pour une présentation plus rigoureuse, voir l'article de Smale cité en référence.

{| class="wikitable sortable" style="text-align:center"
! #
! width="40%"| Formulation !! État
|-
|style="text-align: center"| 1
|[[Hypothèse de Riemann]] ({{8e|problème}} de Hilbert et {{1er|problème}} du prix du millénaire)
| {{nontab|Non résolu}}
|-
|style="text-align: center"| 2
|[[Conjecture de Poincaré]] ({{2e|problème}} du prix du millénaire)
|{{ouitab|Démontrée par [[Grigori Perelman]] en 2002.}}
|-
|style="text-align: center"| 3
|[[P = NP|Est-ce que P = NP ?]] ({{3e|problème}} du prix du millénaire)
| {{nontab|Non résolu}}
|-
|style="text-align: center"| 4
|Nombre des racines entières des polynômes à une variable
| {{nontab|Non résolu}}
|-
|style="text-align: center"| 5
|Hauteur des solutions des [[équation diophantienne|équations diophantiennes]]
| {{nontab|Non résolu}}
|-
|style="text-align: center"| 6
|En mécanique céleste, le nombre d'équilibres relatifs est-il fini ?
| {{partieltab|Démontré pour cinq corps par A. Albouy et V. Kaloshin en 2012<ref>{{article |langue=en|auteur=A. Albouy, V. Kaloshin |titre=Finiteness of central configurations of five bodies in the plane |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume= 176 |année=2012 |pages=535–588}}</ref>.}}
|-
|style="text-align: center"| 7
|Distribution optimale de points sur la 2-sphère
| {{nontab|Non résolu}}
|-
|style="text-align: center"| 8
|Utilisation des systèmes dynamiques en économie
| {{nontab|Non résolu}}
|-
|style="text-align: center"| 9
|Le problème d'[[optimisation linéaire]]
| {{nontab|Non résolu}}
|-
|style="text-align: center"| 10
| Le « lemme de fermeture » dans le cas discret
| {{nontab|Non résolu. Charles Pugh a démontré le lemme dans le cas continu en 1967 ; voir le {{Lien|lemme de fermeture de Pugh|trad=Pugh's closing lemma}} }}
|-
|style="text-align: center"| 11
|  Les dynamiques de dimension 1 sont-elles hyperboliques en général ?
| {{nontab|Non résolu}}
|-
|style="text-align: center"| 12
| Centralisateurs des [[difféomorphisme]]s
| {{ouitab|Résolu en topologie C{{1}} par C. Bonatti, S. Crovisier et [[Amie Wilkinson|A. Wilkinson]] en 2009<ref>{{Article |langue=en|auteur=C. Bonatti, S. Crovisier, A. Wilkinson |titre= The C{{1}}-generic diffeomorphism has trivial centralizer |journal=[[Publ. Math. IHES]] |volume= 109 |année=2009 |pages=185-244}}</ref>. }}
|-
|style="text-align: center"| 13
|Le [[seizième problème de Hilbert]]
| {{nontab|Non résolu}}
|-
|style="text-align: center"| 14
| [[Attracteur de Lorenz]]
| {{ouitab| Résolu en 2002 par [[Warwick Tucker]], en utilisant l'[[arithmétique des intervalles]]<ref>{{Article |langue=en|auteur=Warwick Tucker |titre=A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem |journal=[[Foundations of Computational Mathematics (journal)|Foundations of Computational Mathematics]]|volume=2 |numéro=1 |année=2002 |pages=53-117 |doi=10.1007/s002080010018 |url=http://www.math.cornell.edu/~warwick/main/rodes/JFoCM.pdf}}</ref>.}}
|-
|style="text-align: center"| 15
| Stabilité des solutions des [[équations de Navier-Stokes]] ({{6e|problème}} du prix du millénaire)
| {{nontab|Non résolu}}
|-
|style="text-align: center"| 16
| [[Conjecture du jacobien]] (ou [[conjecture de Dixmier]], qui lui est équivalente)
| {{nontab|Non résolu}}
|-
|style="text-align: center"| 17
| Résolution des équations polynomiales en temps moyen polynomial 
| {{ouitab| Résolu entre 2008 et 2016. Carlos Beltrán Alvarez et Luis Miguel Pardo, construisirent un [[BPP (complexité)|algorithme probabiliste de complexité polynomiale en moyenne]]<ref>{{Article |langue=en|auteur=Carlos Beltrán, Luis Miguel Pardo |titre= On Smale's 17th Problem: A Probabilistic Positive answer |journal=[[Foundations of Computational Mathematics (journal)]] |volume=8 |numéro=1 |année=2008 |pages=1-43 |doi=10.1007/s10208-005-0211-0 |url=http://beltranc.googlepages.com/Smale17finalcorregida.pdf}}</ref>.
Felipe Cucker et Peter Bürgisser, utilisant une « [[analyse lisse d'algorithme|analyse lisse]] » d'un algorithme probabiliste analogue au précédent, obtinrent<ref>{{Article |langue=en|auteur=Felipe Cucker, Peter Bürgisser |titre= Solving Polynomial Equations in Smoothed Polynomial Time and a Near Solution to Smale's 17th Problem |journal=Proc. 42nd ACM Symposium on Theory of Computing |année=2010 |url=https://arxiv.org/abs/0909.2114}}</ref> un algorithme déterministe en temps <math>N^{O(\log\log N)}</math>.<br>Finalement, utilisant une autre méthode, [[Pierre Lairez]] exhiba une version déterministe du premier algorithme, conservant cette fois la complexité polynomiale en moyenne<ref>{{article| prénom1 = Pierre | nom1 = Lairez |titre= A deterministic algorithm to compute approximate roots of polynomial systems in polynomial average time |journal=Foundations of Computational Mathematics |volume=to appear |année=2016 }}</ref>.

Tous ces résultats font suites aux travaux fondateurs de Shub et Smale sur les séries de Bézout<ref>{{article| prénom1 = Michael | nom1 = Shub | prénom2 = Stephen | nom2 = Smale |titre= Complexity of Bézout's theorem. I. Geometric aspects |journal=J. Amer. Math. Soc. |volume=6 |numéro=2 |année=1993 |pages=459–501 |doi=10.2307/2152805| jstor = 2152805 }}.</ref>.}}
|-
|style="text-align: center"| 18
| Limites de l'[[intelligence]]
| {{nontab|Non résolu}}
|}

== Notes et références ==
{{Références}}

== Sources ==
{{Traduction/Référence|en|Smale's problems|387210013}}
* {{MathWorld |urlname=SmalesProblems |titre=Smale's Problems}}

{{Portail|mathématiques}}

{{DEFAULTSORT:problemes de smale}}
[[Catégorie:Conjecture]]