Voir la source de Propriété (T) de Kazhdan

{{ébauche|mathématiques}}

En [[mathématiques]], et plus précisément en théorie des [[groupe topologique|groupes topologiques]], un [[groupe localement compact]] est réputé avoir la '''propriété (T)''' ou '''propriété de Kazhdan''' si chacune de ses [[Représentation de groupe|représentations]] [[groupe unitaire|unitaires]] ayant « presque » des vecteurs invariants possède un vecteur invariant non nul. Cette propriété, formalisée par [[David Kazhdan]] en [[1967]], peut être vue comme opposée à la [[groupe moyennable|moyennabilité]].

== Définition ==
Soient {{formule|''G''}} un groupe topologique, {{formule|𝓗}} un [[espace de Hilbert]], <math>\mathcal{U}(\mathcal{H})</math> le groupe de tous les [[Opérateur unitaire|opérateurs unitaires]] de {{formule|𝓗}} dans lui-même, et {{formule|π : ''G'' ⟶ 𝓤(𝓗)}} un [[morphisme de groupes]]. Si toutes les applications de {{formule|''G''}} dans {{formule|𝓗}}, définies par <math>g\longmapsto\pi(g)\xi</math> pour <math>\xi\in</math> {{formule|𝓗}} fixé, sont continues, alors <math>\pi</math> est appelé une [[représentation unitaire]] de {{formule|''G''}}.

Pour {{formule|ε > 0}} et {{formule|''Q''}} une partie [[compacité (mathématiques)|compacte]] de {{formule|''G''}}, un [[vecteur unitaire]] {{formule|ξ}} est dit {{formule|(ε, ''Q'')}}-invariant par {{formule|π}} si pour tout {{formule|''g'' ∈ ''Q''}}, {{formule|‖π(g)ξ - ξ‖ ⩽ ε}}. On dit que {{formule|π}} possède presque des vecteurs invariants s’il existe un vecteur unitaire {{formule|(ε, ''Q'')}}-invariant par {{formule|π}} pour toute paire {{formule|ε > 0}}, {{formule|''Q''}} compact.

Si {{formule|''G''}} est [[groupe localement compact|localement compact]], il est dit avoir la propriété (T) si toute représentation unitaire de {{formule|''G''}} possédant presque des vecteurs invariants laisse stable un vecteur non nul.

== Propriétés ==
La propriété (T) est liée à la [[groupe moyennable|moyennabilité]] par le théorème suivant :
{{théorème|énoncé=Soit {{formule|''G''}} un groupe topologique localement compact. Les deux assertions suivantes sont équivalentes{{note|id=HV89|texte=De la Harpe et Valette 1989|détails={{chap.|I}}, §5}} :
* {{formule|''G''}} est moyennable et a la propriété (T).
* {{formule|''G''}} est compact.|}}Dans ce sens, la propriété (T) peut être vue comme opposé à la moyennabilité. Par exemple, comme tous les groupes abéliens sont moyennables,  les groupes  <math>\mathbb{R}^n</math> et  <math>\mathbb{Z}^n</math>, qui ne sont pas compacts, ne peuvent pas avoir la propriété (T).    

== Notes et références ==
{{références}}

== Bibliographie ==
* {{périodique|prénom1 = Pierre|nom1 = de la Harpe|prénom2 = Alain|nom2 = Valette|titre=la propriété (T) de Kazhdan pour les groupes localement compacts|année=1989|périodique=Astérisque|lien périodique=Société mathématique de France#Publications|éditeur=Société mathématique de France|lien éditeur=Société mathématique de France|volume=175|issn=0303-1179|consulté le=9 octobre 2016|id=HV89}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Théorie des représentations des groupes topologiques]]