Voir la source de Q-analogue

{{Titre mis en forme|''q''-analogue}}
En [[mathématiques]], plus précisément dans le domaine de la [[combinatoire]], un '''''q''-analogue''' d'un théorème, d'une identité ou d'une expression est une généralisation impliquant un nouveau paramètre ''q'' et qui se spécialise en le théorème originel lorsque l'on prend la [[Limite (mathématiques)|limite]] quand ''q'' tend vers 1. Typiquement, les mathématiciens sont intéressés par les cas où un ''q''-analogue intervient naturellement, plutôt que par les cas où on ajoute arbitrairement un paramètre ''q'' à un théorème déjà connu. Les premiers ''q''-analogues étudiés en détail furent les [[Série hypergéométrique|séries hypergéométriques]] basiques, qui furent introduites au {{s-|XIX|e}}<ref>{{en}} Harold Exton, ''q-Hypergeometric Functions and Applications'', E. Horwood, 1983 {{ISBN|978-0-85312491-7}}.</ref>.

Les ''q''-analogues trouvent des applications dans plusieurs domaines, incluant l'étude des [[fractales]], la [[théorie des nombres]], et des expressions de l'entropie de systèmes dynamiques chaotiques. Les ''q''-analogues apparaissent aussi dans l'étude des [[Groupe quantique|groupes quantiques]] et des [[superalgèbre]]s ''q''-déformées{{refsou|date=mars 2013}}.

Il y a deux groupes principaux de ''q''-analogues : les ''q''-analogues classiques, qui furent introduits dans le travail de [[Leonhard Euler]] et furent ensuite étendus par [[Frank Hilton Jackson]]<ref>{{en}} F. H. Jackson, « On q-functions and a certain difference operator », ''Trans. Roy. Soc. Edin.'', vol. 46, 1908, p. 253-281.</ref>, et les ''q''-analogues non classiques<ref name="Ernst2003">{{article |langue=en|nom1=Ernst |prénom1=Thomas |année=2003 |titre=A method for q-calculus |journal=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#J|JNMP]]|volume=10 |numéro=4 |pages=487-525|doi= |url=http://www.solnaschack.org/ernst/ernst_10-4cor.pdf<!--|consulté le=26/9/16-->}}.</ref>.

== ''q''-théorie classique ==

===''q''-dérivée ===
La dérivée d'une fonction de variable réelle <math>f</math> en <math>x</math> est la limite du taux d'accroissement <math>\tau=\frac{f(x')-f(x)}{x'-x}</math> quand <math>x'</math> tend vers <math>x</math>, et on appelle traditionnellement <math>h</math> la différence <math>x'-x</math> de sorte que <math>\tau=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>. Mais, pour <math>x</math> non nul, on peut aussi noter <math>q</math> le quotient <math>x'/x</math> de sorte que <math>\tau=\frac{f(qx)-f(x)}{(q-1)x}</math>. C'est ce dernier quotient qui est appelé la ''q''-dérivée de <math>f</math> en <math>x</math>, laquelle tend bien vers <math>f'(x)</math> quand <math>q</math> tend vers 1, si <math>f</math> est dérivable en <math>x</math><ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Victor Kac|auteur2=Pokman Cheung|titre=Quantum Calculus|éditeur=Springer|année=2002|passage=chapitre 1|isbn=|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=mK8HXHSTbB0C}}</ref>. On note alors que la ''q''-dérivée de la fonction <math>x\mapsto x^n</math> vaut <math>\frac{q^n-1}{q-1}x^{n-1}</math>, qui tend bien vers la dérivée <math>nx^{n-1}</math> lorsque <math>q</math> tend vers 1. Ceci justifie les définitions suivantes.

=== ''q''-entier ===
On définit le ''q''-analogue de l'entier positif <math>n</math> <ref name="Ernst2003"/> par : 

:<math>[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q} = \frac{q^n-1}{q-1}=1 + q + q^2 + \ldots + q^{n - 1}.</math>

=== ''q''-factorielle ===
On définit alors naturellement le ''q''-analogue de la [[factorielle]] de l'entier <math>n</math> par :

:{|
|-
|<math> n!_q</math>
|<math>=[1]_q  \cdot [2]_q \cdots [n-1]_q  \cdot [n]_q</math>
|-
|
|<math>=\frac{1-q}{1-q} \cdot \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \cdot \frac{1-q^n}{1-q}</math>
|-
|
|<math>=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots + q^{n-2}) \cdot (1+q+\cdots + q^{n-1}).</math>
|}

Ce ''q''-analogue de la factorielle possède l'interprétation combinatoire suivante : alors que <math>n!</math> est le nombre de [[permutation]]s d'ordre <math>n</math>, <math> n!_q</math> compte ces mêmes permutations en gardant trace du nombre d'[[Signature d'une permutation#Définition de la signature|inversions]]. C'est-à-dire que si l'on note <math>\text{inv}(\sigma)</math> le nombre d'inversions de la permutation <math>\sigma</math> et <math>S_n</math> l'ensemble des permutations d'ordre ''n'', on a :    <math> \sum_{\sigma \in S_n} q^{\text{inv}(\sigma)} = n!_q </math>.

La ''q''-factorielle a aussi une écriture concise en termes de [[q-symbole de Pochhammer|''q''-symboles de Pochhammer]] :
:<math>n!_q=\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}</math>.
La fonction [[Fonction q-gamma|''q-''gamma]] prolonge la ''q''-factorielle aux nombres réels. 

=== Coefficients ''q''-binomiaux ===
À partir de la ''q''-factorielle, on définit les coefficients ''q''-binomiaux ou [[Coefficient binomial de Gauss|coefficients binomiaux de Gauss]] <ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[George Pólya]]|auteur2=[[Gábor Szegő]]|titre=Problems and Theorems in Analysis|volume=I|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=1997|année première édition=1972|passage=11|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|b9l2NqGEFzgC|page=11}}}}. En note en bas de cette page 11 il est écrit : {{Citation étrangère|lang=en|Cf. C. F. Gauss: Summatio quarundam serierum singularium, Opera, Vol. 2, especially {{p.|16–17}}.}}</ref>, ''q''-analogues des [[coefficients binomiaux]] :
:<math>
{\binom nk}_q
=
\frac{n!_q}{(n-k)!_q k!_q}
</math>,  notés aussi  <math>\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]_q</math><ref>Cf. par exemple {{MathWorld|nom_url=q-BinomialCoefficient|titre=''q''-binomial coefficient}} ou {{EncycloMath|id=Umbral_calculus|titre=Umbral calculus}}.</ref>.

Cela permet aussi de définir un [[Q-exponentielle|''q''-analogue de l'exponentielle]]
:<math>e_q(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!_q}</math>,
puis de définir des ''q''-analogues des fonctions trigonométriques et hyperboliques, ainsi qu'un ''q''-analogue de la [[transformée de Fourier]].

== ''q''-analogues non classiques ==
{{...}}
== Applications ==
{{Article connexe|Corps à un élément}}
{{...}}

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|q-analog|537563078|type=n}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Article connexe ===
[[Q-dérivée|''q''-dérivée]]
=== Liens externes ===
* {{MathWorld|nom_url=q-Analog|titre=''q''-analog}}
* {{MathWorld|nom_url=q-Bracket|titre=''q''-bracket}}
* {{MathWorld|nom_url=q-Factorial|titre=''q''-factorial}}
* {{DLMF|titre=''q''-Gamma and ''q''-Beta Functions|id=5.18}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Combinatoire]]