Voir la source de Quadri-moment

En [[relativité restreinte]], le '''quadri-moment'''<ref name="Elbaz"/> (ou '''quadrivecteur impulsion'''<ref name="Elbaz"/> ou '''quadri-impulsion'''<ref name="Landau"/> ou '''quadrivecteur impulsion-énergie'''<ref name="Grossetete"/> ou '''quadrivecteur énergie-impulsion'''<ref name="Smith"/>) est une généralisation du [[moment linéaire]] tridimensionnel de la [[physique classique]] sous la forme d'un [[quadrivecteur]] de l'[[espace de Minkowski]], espace-temps à 4 dimensions de la relativité restreinte.

Le quadri-moment d'une [[Particule (physique)|particule]] combine le moment tridimensionnel <math>\vec p = (p_x, p_y, p_z)</math> et d'énergie <math>E</math> :
:<math>
\begin{pmatrix}
p^0 \\ p^1 \\ p^2 \\ p^3
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
E/c \\ p_x \\ p_y \\ p_z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\gamma mc \\ \gamma mv_x \\ \gamma mv_y \\ \gamma mv_z
\end{pmatrix}
</math>.

Comme tout quadrivecteur, il est covariant, c'est-à-dire que les changements de ses coordonnées lors d'un changement de [[référentiel inertiel]] se calculent à l'aide des [[Transformation de Lorentz|transformations de Lorentz]].

Dans une base donnée de l'espace-temps de Minkowski, ses coordonnées sont notées <math>\ \left( p^0 ; p^1 ; p^2 ; p^3 \right)</math>, dans la [[Covariance et contravariance|base covariante]] associée, ses coordonnées sont notées <math>\ \left( p_0 ; p_1 ; p_2 ; p_3 \right)</math> et sont telles que <math>\ p_i = \eta_{ij}.p^j</math>.

En relativité restreinte, l'[[énergie]] et la [[quantité de mouvement]] d'une particule sont les [[Composantes d'un vecteur|composantes]] d'un unique [[quadrivecteur]]{{sfn|Landau|Lifchitz|1970|loc={{chap.|{{II}}}}, {{§|9}}|p=44}}{{,}}{{sfn|Shepherd|2013|loc={{VIe|partie}}, {{chap.|17}}, {{sec.|17.3}}, {{§|17.3.4}}|p=323}}{{,}}{{sfn|Schutz|2022|loc={{chap.|7}}, {{sec.|7.3}}|p=177}}{{,}}{{sfn|Vittorio|2022|loc={{Ire|partie}}, {{chap.|2}}, {{sec.|2.11}}|p=32}} (4-vecteur). Il est surtout connu comme le quadrivecteur énergie-impulsion{{note|groupe=N|texte=L'expression {{citation|énergie-impulsion}} est usuelle{{sfn|Fillette|Froustey|Roussille|2023|loc={{Ire|partie}}, {{chap.|8}}, {{sec.|8.4}}, {{§|8.4.2}}|p=153, {{col.|1}}}}{{,}}{{sfn|Heyvaerts|2012|loc={{chap.|7}}, {{sec.|7.6}}, {{§|7.6.2}}|p=142}}{{,}}{{sfn|Rougé|2002|loc={{chap.|5}}, {{sec.|5.1}}|p=63}}{{,}}{{sfn|Semay|Silvestre-Brac|2021|loc={{chap.|9}}, {{sec.|9.3}}|p=172}}{{,}}{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} quadrivecteur énergie-impulsion|p=609, {{col.|2}}}}. Des auteurs{{sfn|Pérez|2016|loc={{chap.|5}}, {{sec.|{{I}}}}, {{§|{{I}}.1}}|p=86}} lui préfèrent {{citation|énergie-quantité de mouvement}} car, en toute rigueur, l'impulsion diffère de la quantité de mouvement{{sfn|Fillette|Froustey|Roussille|2023|loc={{Ire|partie}}, {{chap.|8}}, {{sec.|8.4}}, {{§|8.4.2}}|p=154, {{col.|1}}}}.}} (4-vecteur énergie-impulsion). Il est noté <math>p</math>{{note|groupe=N|La notation <math>p</math> est usuelle{{sfn|Semay|Silvestre-Brac|2021|loc={{chap.|9}}, {{sec.|9.3}}|p=172}}{{,}}{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|loc={{s.v.}} quadrivecteur énergie-impulsion|p=609, {{col.|2}}}}.}}.

La 4-impulsion d'une particule est un 4-vecteur [[Tangente (géométrie)|tangent]] à la [[ligne d'univers]] de la particule{{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{chap.|9}}, {{sec.|9.1}}, {{§|9.1.1}}|p=274}} et [[Orientabilité|orienté]] vers le futur{{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{chap.|9}}, {{sec.|9.1}}, {{§|9.1.1}}|p=274}}{{,}}{{sfn|Hughston|Tod|1990|loc={{chap.|3}}, {{sec.|3.2}}|p=26}} ; il est de [[Genre (relativité)|genre temps]] dans le cas d'une particule massive{{sfn|Hughston|Tod|1990|loc={{chap.|3}}, {{sec.|3.2}}|p=26}}{{,}}{{sfn|Semay|Silvestre-Brac|2021|loc={{chap.|9}}, {{sec.|9.3}}|p=179}}{{,}}{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} genre|p=336, {{col.|2}}}} et de [[Genre (relativité)|genre lumière]] dans celui d'une particule sans masse{{sfn|Hughston|Tod|1990|loc={{chap.|3}}, {{sec.|3.2}}|p=26}}{{,}}{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} genre|p=336, {{col.|2}}}} ; il est [[Vecteur unitaire|non-unitaire]]{{sfn|Schutz|2022|loc={{chap.|2}}, {{sec.|2.7}}|p=48}}. La 4-impulsion totale d'un [[système isolé]] de particules est soit un 4-vecteur de genre temps orienté vers le futur, soit un 4-vecteur de genre lumière orienté vers le futur{{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{chap.|9}}, {{sec.|9.2}}, {{§|9.2.5}}|p=293}} ; ce dernier cas ne se produit que pour un système isolé constitué uniquement de particules sans masse et dont les 4-impulsions sont toutes [[Colinéarité|colinéaires]]{{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{chap.|9}}, {{sec.|9.2}}, {{§|9.2.5}}|p=293}}. Les composantes de la 4-impulsion sont [[Homogénéité (physique)|homogènes à]] une [[quantité de mouvement]]{{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{chap.|9}}, {{sec.|9.1}}, {{§|9.1.1}}|p=274}}.

Le [[Carré (algèbre)|carré]] de la [[Norme (mathématiques)|pseudonorme]] du quadrivecteur conduit à la {{terme défini|relation d'Einstein}}{{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{chap.|9}}, {{sec.|9.1}}, {{§|9.1.2}}|p=277}}{{,}}{{sfn|Meyer|2020|loc=leçon 7, {{sec.|1}}, {{§|1.2}}|p=91}}{{,}}{{sfn|Semay|Silvestre-Brac|2021|loc={{chap.|9}}, {{sec.|9.3}}|p=173}}{{,}}{{sfn|Vafa|2021|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{sec.|1.7}}|p=14}} :
:<math>E^2=p^2c^2+m^2c^4</math>,
reliant l'énergie, la masse et l'impulsion{{sfn|Vafa|2021|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{sec.|1.7}}|p=14}}. Lorsque la masse de la particule libre est non nulle mais que son impulsion est nulle, la relation se réduit à [[E=mc2|<math>E=mc^2</math>]]{{sfn|Vafa|2021|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{sec.|1.7}}|p=14}}. Lorsque la masse de la particule libre est nulle, comme c'est le cas d'un [[photon]], la relation se réduit à <math>E=pc</math>{{sfn|Pérez|2017|loc={{chap.|5}}, {{sec.|{{IV}}}}, {{§|{{IV}}.2}}|p=95}}. La relation met en évidence qu'en relativité restreinte, la masse est une [[Grandeur physique|grandeur]] [[Invariance de Lorentz|invariante]]{{sfn|Ansermet|2009|loc={{chap.|4}}, {{sec.|4.3}}, {{§|4.3.1}}|p=210}}{{,}}{{sfn|Fayngold|2008|loc={{chap.|5}}, {{sec.|5.6}}|p=160}}{{,}}{{sfn|Okun|1989|loc={{sec.|5}}|p=631, {{col.|1}}}}{{,}}{{sfn|Pérez|2016|loc={{chap.|5}}, {{sec.|{{IV}}}}, {{§|{{IV}}.4}}, c)|p=96}} et conservée{{sfn|Fayngold|2008|loc={{chap.|5}}, {{sec.|5.6}}|p=160}}{{,}}{{sfn|Pérez|2016|loc={{chap.|5}}, {{sec.|{{IV}}}}, {{§|{{IV}}.4}}, c)|p=96}}{{,}}{{sfn|Okun|1989|loc={{sec.|5}}|p=631, {{col.|2}}}} mais non additive{{sfn|Fayngold|2008|loc={{chap.|5}}, {{sec.|5.6}}|p=160}}{{,}}{{sfn|Pérez|2016|loc={{chap.|5}}, {{sec.|{{IV}}}}, {{§|{{IV}}.4}}, c)|p=96}}{{,}}{{sfn|Okun|1989|loc={{sec.|5}}|p=631, {{col.|2}}}}{{,}}{{sfn|Ansermet|2009|loc={{chap.|4}}, {{sec.|4.3}}, {{§|4.3.4}}|p=214}}{{,}}{{sfn|Lange|2001|loc={{sec.|{{II}}}}|p=229}}{{,}}{{sfn|McQueen|2015|loc=résumé|p=1373}}.

La 4-impulsion est une des notions introduites par [[Hermann Minkowski]]{{sfn|Darrigol|2022|loc={{chap.|7}}, {{sec.|7.4}}|p=219}}{{,}}{{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{chap.|9}}, {{sec.|9.1}}, {{§|9.1.1}}, {{n.|historique}}|p=275}}{{,}}{{sfn|Walter|2007|loc={{§|2}}|p=222}}.

== Dénominations ==
La dénomination {{citation|quadrivecteur énergie-quantité de mouvement}} reste usitée{{sfn|Provost|Raffaelli|Vallée|2019|loc={{chap.|4}}, {{sec.|4.3}}|p=110}}. Mais, en raison notamment de sa longueur{{sfn|Le Bellac|2015|loc={{chap.|4}}, {{sec.|4.1}}, {{n.|2}}|p=54}}, des auteurs lui substituent celle de {{citation|quadrivecteur énergie-impulsion}}{{sfn|Semay|Silvestre-Brac|2021|loc={{chap.|9}}, {{sec.|9.3}}|p=172}}{{,}}{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} quadrivecteur énergie-impulsion|p=609, {{col.|2}}}} ou de {{citation|quadrivecteur impulsion-énergie}}{{sfn|Barrau|Grain|2016|loc={{chap.|2}}, {{sec.|2.2}}, {{§|2.2.4}}|p=23}}. Cela est discutable car {{citation|impulsion}} devrait être réservé à {{citation|l'action d'une force pendant un court intervalle de temps}} et ainsi à {{citation|une variation de quantité de mouvement}}{{sfn|Le Bellac|2015|loc={{chap.|4}}, {{sec.|4.1}}, {{n.|2}}|p=54}}.

== Relation avec la quadrivitesse ==
Nous savions qu'en mécanique classique, la relation entre l'impulsion et la vitesse de la particule non-relativiste est la suivante :
::<math>\vec{p}=m\vec{v}</math> où <math>m</math> correspond à la masse au repos.

Nous pouvons généraliser ce concept à quatre dimensions en introduisant la quadrivitesse. Pour une particule dotée de [[masse]] non nulle mais ayant une [[charge électrique]] nulle, le quadri-moment est donné par le produit de la [[masse au repos]] <math>\ m</math> et de la [[quadrivitesse]] <math>\ u</math>.

En coordonnées contravariantes, on a <math>\ u = \left( u^0,u^1,u^2,u^3 \right)= \left( \gamma.c , \gamma v_x , \gamma v_y , \gamma v_z \right)</math>, où <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}</math> est le [[facteur de Lorentz]] et ''c'' est la [[vitesse de la lumière]] :
:<math>p^\mu = m \, u^\mu\!</math> où <math>\mu\in\big\{0,1,2,3\big\}</math>

== Norme de Minkowski : p<sup>2</sup> ==
En calculant la [[Espace de Minkowski|norme de Minkowski]] d'un quadri-moment, on obtient un [[Invariance de Lorentz|invariant de Lorentz]] égal (à un facteur égal à la [[vitesse de la lumière]] ''c'' près) au carré de la [[masse au repos]] de la particule :
:<math>p\cdot p = \eta_{\mu\nu} p^\mu p^\nu = {E^2 \over c^2} - |\vec p|^2 = m^2c^2 </math>

Puisque <math>|p|^2\!</math> est un invariant de Lorentz, sa valeur reste inchangée par transformations de Lorentz, c'est-à-dire par changement de [[référentiel inertiel]].

En utilisant la [[métrique de Minkowski]] :
:<math>\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}</math>.

Le [[tenseur métrique]] est en fait défini à un signe près. On trouvera dans certains ouvrages la convention <math>\eta_{\mu\nu}=(-,+,+,+)</math> au lieu de la convention <math>\eta_{\mu\nu}=(+,-,-,-)</math> adoptée dans cet article{{note|groupe=N|texte=La convention de signe <math>\eta_{\mu\nu}=(+,-,-,-)</math> est présente dans {{Landau|tome 2}}, par exemple.}}. Les résultats physiques sont évidemment les mêmes quelle que soit la convention choisie, mais il faut prendre garde de ne pas les mélanger.

== Interprétation ==
À l'approximation des faibles vitesses, la composante temporelle de la 4-impulsion se réduit à{{sfn|Landau|Lifchitz|1970|loc={{chap.|{{II}}}}, {{§|9}}|p=42}} :
:<math>p^0c=E=mc^2+\frac{1}{2}mv^2</math>,
où :
*<math>mc^2</math> est l'[[énergie de masse]]{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} énergie de masse|p=264, {{col.|1}}}} ;
*<math>\frac{1}{2}mv</math> est l'[[énergie cinétique]]{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} énergie cinétique|p=260, {{col.|2}}}}.

À la même approximation, les trois composantes spatiales de la 4-impulsion se réduisent à{{sfn|Landau|Lifchitz|1970|loc={{chap.|{{II}}}}, {{§|9}}|p=41}} :
:<math>\vec{p}=m\vec{v}</math>,
qui est l'expression classique de la [[quantité de mouvement]]{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} quantité de mouvement|p=611, {{col.|1}}}}.

== Vitesse observée ==
La 4-impulsion permet de définir la vitesse observée d'une particule à partir de la relation{{sfn|Landau|Lifchitz|1970|loc={{chap.|{{II}}}}, {{§|9}}|p=43}} :
:<math>\frac{\vec{p}}{E}=\frac{\vec{v}}{c^2}</math>,
soit :
:<math>\vec{v}=\frac{\vec{p}c^2}{E}</math>.

== Conservation du quadri-moment ==
La conservation du quadri-moment ''dans un référentiel donné''{{note|groupe=N|texte=La conservation du quadri-moment signifie que dans un référentiel donné, le quadri-moment total <math>p^\nu</math> d'un système isolé est conservé. Lorsqu'on change de référentiel, le quadri-moment subit une transformation de Lorentz : <math>p'~^\mu={\Lambda^\mu}_\nu p^\nu</math>. Le nouveau quadri-moment <math>p'~^\mu</math> est à son tour conservé dans ce nouveau référentiel, mais n'est pas égal à <math>p^\nu</math>.}} implique deux lois de conservations pour des quantités dites ''classiques'' :
# La quantité totale d'[[énergie]] <math>\ E = c. p^0</math> est invariante.
# Le [[moment linéaire]] classique tridimensionnel <math>\vec p</math> reste invariant.

On notera au passage que la masse d'un [[système de particules]] peut être supérieure à la somme des masses des particules au repos, à cause de l'[[énergie cinétique]]. Par exemple, prenons 2 particules de quadri-moment {5 Gev, 4 Gev/''c'', 0, 0} et {5 Gev, -4 Gev/''c'', 0, 0} : elles ont chacune une masse au repos de 3 Gev/''c''<sup>2</sup> mais leur masse totale (soit encore la masse du système) est de 10 Gev/''c''<sup>2</sup>. Si ces 2 particules entrent en collision et fusionnent, la masse de l'objet ainsi formé est de 10 Gev/''c''<sup>2</sup>.

Une application pratique en [[physique des particules]] de la conservation de la [[masse au repos]] permet, à partir des quadri-moments p<sup>A</sup> et p<sup>B</sup> de 2 particules créées par la désintégration d'une particule plus grosse ayant un quadri-moment q, de retrouver la masse de la particule initiale. La conservation du quadrimoment donne q<sub>&mu;</sub> = p<sup>A</sup><sub>&mu;</sub> + p<sup>B</sup><sub>&mu;</sub>, et la masse M de la particule initiale est donnée par |q|<sup>2</sup> = M<sup>2</sup>c<sup>2</sup>. En mesurant l'énergie et les 3-moments des particules résultantes, on peut calculer la masse au repos du système des 2 particules qui est égal à M. Cette technique est notamment utilisée dans les recherches expérimentales sur le [[boson Z]] dans les [[accélérateur de particules]].

Si la masse d'un objet ne change pas, le [[produit scalaire]] de Minkowski de son quadri-moment et de la [[quadri-accélération]] correspondante A<sup>&mu;</sup> est nul. L'accélération est proportionnelle à la dérivée temporelle du moment divisée par la masse de la particule:
:<math>p_{\mu} A^{\mu} = p_{\mu} \frac{d}{dt} \frac{\eta^{\mu\nu} p_{\nu}}{m} = \frac{1}{2m} \frac{d}{dt} |p|^2 = \frac{1}{2m} \frac{d}{dt} (m^2c^2) = 0</math>.

== Moment canonique en présence d'un [[champ électromagnétique]] ==
Il est également utile de définir un moment "canonique" (à 4 dimensions), pour des applications en [[mécanique quantique relativiste]] : <math>P^\mu </math>, qui est la somme du quadri-moment et du produit de la [[charge électrique]] avec le potentiel (qui est un vecteur à 4 dimensions) :
:<math> P^{\mu} = p^{\mu} + q A^{\mu} \!</math>,
où le 4-vecteur potentiel est une combinaison entre le [[Potentiel électrique|potentiel scalaire]] et le [[potentiel vecteur du champ magnétique]] :
:<math>
\begin{pmatrix}
A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
\phi/c \\ A_x \\ A_y \\ A_z
\end{pmatrix}
</math>.

== Notes et références ==

=== Notes ===
{{Références|groupe=N}}

=== Références ===
{{Références
|références=
<ref name="Elbaz">''Relativité générale et gravitation'' de Edgard Elbaz, (ellipse 1986), chapitre IV, §4</ref>
<ref name="Landau">{{Landau|tome 2}}, §9</ref>
<ref name="Smith">''Introduction à la relativité'' de James H. Smith, InterEditions (1968), ({{2e|édition}} en 1979 {{ISBN|2-7296-0088-4}} rééditée par Masson : Dunod - {{3e|édition}} - 1997 {{ISBN|2-225-82985-3}}), chapitre 12</ref>
<ref name="Grossetete">{{Ouvrage|prénom1=Ch.|nom1=Grossetête|titre=Relativité restreinte et structure atomique de la matière|lieu=Paris|éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]]|année=1985|pages totales=320|passage=61|isbn=2-7298-8554-4}}</ref>
}}

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=Jean-Philippe | nom=Ansermet | lien auteur=w:en:Jean-Philippe Ansermet | titre=Mécanique | lieu=Lausanne | éditeur=[[Presses polytechniques et universitaires romandes]] | collection=Traité de physique | date=10/2009 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XII}}-409 | format livre={{dunité|16|24|cm}} | isbn10=2-88074-829-1 | isbn=978-2-88074-829-6 | ean=9782880748296 | oclc=690490216 | bnf=42119269t | sudoc=138501645 | présentation en ligne=https://www.epflpress.org/produit/478/9782889155040/mecanique | lire en ligne={{Google Livres|id=l5e9khZSTRkC}} | consulté le=1/3/2025 | libellé=Ansermet 2009}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Moses | nom=Fayngold | titre=Special relativity and how it works | lieu=Weinheim | éditeur=[[Wiley-VCH]] | collection=Physics textbook | date=6/2008 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XVI}}-652 | format livre={{dunité|17,4|24,1|cm}} | isbn10=3-527-40607-7 | isbn=978-3-527-40607-4 | ean=9783527406074 | oclc=472115473 | s2cid=118208836 | sudoc=129833126 | lire en ligne={{Google Livres|id=Q3egk8Ds6ogC}} | consulté le=1/3/2025 | libellé=Fayngold 2008}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Jules | nom1=Fillette | prénom2=Julien | nom2=Froustey | prénom3=Hugo | nom3=Roussille | titre=Physique pour l'agrégation | sous-titre=mécanique classique et relativiste, physique quantique et nucléaire, thermodynamique, physique statistique | lieu=Louvain-la-Neuve | éditeur=[[Groupe De Boeck|De Boeck supérieur]] | collection=LMD | série=physique | date=6/2023 | numéro d'édition=1 | pages totales={{VIII}}-501 | format livre={{dunité|19|26,5|cm}} | isbn10=2-8073-3642-6 | isbn=978-2-8073-3642-1 | ean=9782807336421 | oclc=1390586758 | bnf=47297006d | sudoc=27077100X | présentation en ligne=https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807336421-physique-pour-l-agregation | lire en ligne={{Google Livres|id=nhTGEAAAQBAJ}} | consulté le=4/3/2023 | libellé=Fillette, Froustey et Roussille 2023}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Jean | nom1=Heyvaerts | titre=Astrophysique | sous-titre=étoiles, Univers et relativité | lieu=Paris | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Sciences sup | date=8/2012 | réimpression={{date|3/2021}} | numéro d'édition=2 | pages totales={{X}}-384 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-10-058269-0 | isbn1=978-2-10-058269-3 | isbn2=978-2-10-082759-6 | ean=9782100582693 | oclc=816556703 | bnf=42740481q | sudoc=163817030 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/astrophysique-etoiles-univers-et-relativite-0 | lire en ligne={{Google Livres|id=hFQmEAAAQBAJ}} | consulté le=4/3/2025 | libellé=Heyvaerts 2012}}.
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* {{Ouvrage | langue=fr | langue originale=ru | prénom1=Lev D. | nom1=Landau | lien auteur1=Lev Landau | prénom2=Evguéni M. | nom2=Lifchitz | lien auteur2=Evgueni Lifchits | traduction=Édouard Gloukhian | titre=Physique théorique | tome={{II}} | titre tome=Théorie des champ | lieu=Moscou | éditeur=[[Éditions Mir|Mir]] | collection=Physique théorique | numéro dans collection=2 | date=1970 | numéro d'édition=3 | année première édition=1964 | pages totales=494 | format livre={{dunité|15|22|cm}} | oclc=18709781 | bnf=35376544g | sudoc=020911017 | référence=Référence:Physique théorique (Landau et Lifchitz) | lire en ligne=https://archive.org/details/landau-lifchitz-physique-theorique-vol-02-theorie-des-champs-mir-1970/Landau%2C%20Lifchitz%20-%20Physique%20The%CC%81orique%20Vol%2002%20-%20The%CC%81orie%20des%20Champs%20-%20Mir%20-%201970 | accès url=libre | format électronique=pdf | consulté le=3/3/2025 | libellé=Landau et Lifchitz 1970}}.
* {{Article | langue=en | prénom=Marc | nom=Lange | titre=The most famous equation | périodique=[[The Journal of Philosophy]] | volume={{XCVIII}} | numéro=5 | date=5/2001 | pages=219-238 | oclc=7093180433 | doi=10.2307/2678382 | jstor=2678382 | s2cid=171310995 | lire en ligne=https://philosophy.unc.edu/wp-content/uploads/sites/122/2013/10/most-famous-equation.pdf | accès url=libre | format=pdf | libellé=Lange 2001}}.
* {{Article | langue=en | prénom=Kelvin J. | nom=McQueen | titre=Mass additivity and {{italique|{{langue|la|a priori}}}} entailment | périodique=[[w:en:Synthese|Synthese]] | volume=192 | date=5/2025 | pages=1373-1392 | oclc=5825490823 | doi=10.1007/s11229-014-0627-7 | arxiv=1501.07489 | s2cid=26904551 | résumé=https://link.springer.com/article/10.1007/s11229-014-0627-7#Abs1 | lire en ligne=https://openresearch-repository.anu.edu.au/server/api/core/bitstreams/4da783b6-35b9-44c8-92cc-1c2ac539abe7/content | accès url=libre | format=pdf | libellé=McQueen 2015}}.
* {{Article | langue=en | langue originale=ru | prénom=Lev B. | nom=Okun | lien auteur=Lev Okun | traducteur=[[Julian Barbour|Julian B. Barbour]] | titre=The concept of mass (mass, energy, relativity) | titre original=Понятие массы (Масса, энергия, относительность) | périodique=[[Physics-Uspekhi|Soviet Physics Uspekhi]] | volume=32 | numéro=7 | date=7/1989 | pages=629-638 | oclc=4844068583 | doi=10.1070/PU1989v032n07ABEH002739 | bibcode=1989SvPhU..32..629O | s2cid=18297197 | résumé=https://iopscience.iop.org/article/10.1070/PU1989v032n07ABEH002739/pdf#artAbst | lire en ligne=http://www.itep.ru/science/doctors/okun/publishing_eng/em_5.pdf | accès url=libre | format=pdf | libellé=Okun 1989}}.
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Rindler, Wolfgang|titre=Introduction to Special Relativity (2nd)|lieu=Oxford|éditeur=[[Oxford University Press]]|année=1991|numéro d'édition=2|format livre=poche|isbn=978-0-19-853952-0|lccn=90048748}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=André | nom=Rougé | titre=Introduction à la relativité | lieu=Palaiseau | éditeur=[[École polytechnique (France)|École polytechnique]] | date=7/2002 | réimpression={{date|3/2008}} | numéro d'édition=2 | année première édition={{date|3/2001}} | pages totales=182 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-7302-0940-9 | isbn=978-2-7302-0940-3 | ean=9782730209403 | oclc=423892061 | bnf=389548127 | sudoc=070449449 | présentation en ligne=https://portail.polytechnique.edu/editions/catalogue/physique/introduction-la-relativite | lire en ligne={{Google Livres|id=7e8uXICF494C}} | consulté le=4/3/2025 | libellé=Rougé 2002}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=P. John | nom=Shepherd | titre=A course in theoretical physics | lieu=Chichester | éditeur=[[John Wiley & Sons|Wiley]], hors {{coll.}} | date=2/2013 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XVI}}-465 | format livre={{dunité|19,6|25,4|cm}} | isbn10=1-11-848134-8 | isbn1=978-1-118-48134-9 | isbn2=978-1-11-848142-4 | ean=9781118481349 | oclc=866915906 | bnf=44654031b | doi=10.1002/9781118516911 | s2cid=123791942 | sudoc=168266431 | présentation en ligne=https://www.wiley.com/en-be/A+Course+in+Theoretical+Physics-p-9781118481349 | lire en ligne={{Google Livres|id=uXj_iKrmos8C}} | consulté le=3/3/2025 | libellé=Shepherd 2013}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Bernard F. | nom=Schutz | lien auteur=w:en:Bernard F. Schutz | titre=A first course in general relativity | lieu=Cambridge | éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]] | collection=Higher education | date=6/2022 | numéro d'édition=3 | année première édition={{date|1/1985}} | pages totales={{XV}}-497 | format livre={{dunité|18,9|24,6|cm}} | isbn10=1-108-49267-3 | isbn=978-1-108-49267-6 | ean=9781108492676 | oclc=1369143667 | bnf=47084810k | doi=10.1017/9781108610865 | bibcode=2022fcgr.book.....S | s2cid=118825869 | sudoc=263369447 | présentation en ligne=https://www.cambridge.org/highereducation/books/a-first-course-in-general-relativity/933C1A8C84420EF1349B676F0D70A065 | lire en ligne={{Google Livres|id=mn92EAAAQBAJ}} | consulté le=3/3/3/2025 | libellé=Schutz 2022}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Nicola | nom=Vittorio | titre=An overview of general relativity and space-time | lieu=Boca Raton | éditeur=[[CRC Press|CRC]] | collection=Series in astronomy and astrophysics | date=12/2022 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XV}}-255 | format livre={{dunité|15,6|23,4|cm}} | isbn10=0-367-69288-0 | isbn1=978-0-367-69288-9 | isbn2=978-0-367-68304-7 | ean=9780367692889 | oclc=1348935207 | doi=10.1201/9781003141259 | bibcode=2023ogrs.book....1V | s2cid=253070499 | sudoc=270646957 | présentation en ligne=https://www.routledge.com/An-Overview-of-General-Relativity-and-Space-Time/Vittorio/p/book/9780367683047 | lire en ligne=https://download.bibis.ir/Books/Astronomy/Physics/2022/An-Overview-of-General-Relativity-and-Space-Time-(NICOLA.-VITTORIO)_bibis.ir.pdf | accès url=libre | format électronique=pdf | consulté le=3/3/2025 | libellé=Vittorio 2022}}.

==== Histoire des sciences ====
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Olivier | nom=Darrigol | lien auteur=Olivier Darrigol | titre=Relativity principles and theories from Galileo to Einstein | lieu=Oxford et New York | éditeur=[[Oxford University Press]], hors {{coll.}} | date=3/2022 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XII}}-472 | format livre={{unité|25|cm}} | isbn10=0-19-284953-0 | isbn=978-0-19-284953-3 | ean=9780192849533 | oclc=1258675513 | sudoc=256229503 | présentation en ligne=https://global.oup.com/academic/product/relativity-principles-and-theories-from-galileo-to-einstein-9780192849533 | lire en ligne={{Google Livres|id=fvtTEAAAQBAJ}} | consulté le=19 mars 2022 | libellé=Darrigol 2022}}.
* {{Chapitre | langue=en | prénom=Scott A. | nom=Walter | titre=Breaking in the four-vectors | sous-titre=the four-dimensional movement in gravitation | auteurs ouvrage=[[Jürgen Renn]] et Matthias Schemmel (éd.) | titre ouvrage=The genesis of general relativity | tome={{III}} | titre tome=Gravitation in the twilight of classical physics : between mechanics, field theory, and astronomy | lieu=Dordrecht | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | collection=Boston studies in the philosophy of science | numéro dans collection=250 | date=2/2007 | numéro d'édition=1 | pages totales=619 | format livre={{unité|25|cm}} | isbn10=1-4020-3999-9 | isbn1=978-1-4020-3999-7 | isbn2=978-94-017-8518-1 | oclc=496603813 | bnf=409910600 | doi=10.1007/978-1-4020-4000-9 | bibcode=2007ggr..conf.....R | sudoc=113837798 | présentation en ligne=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4020-4000-9 | lire en ligne={{Google Livres|id=KYpU4AWwJ3UC}} | consulté le=19 mars 2022 | passage=193-252 <small>(</small>{{OCLC|108382579|nu=}}, {{doi|10.1007/978-1-4020-4000-9_18}}, {{lien web | description=résumé | url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4020-4000-9_18}}) | libellé=Walter 2007}}.

==== Manuels d'enseignement supérieurs ====
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Aurélien | nom1=Barrau | prénom2=Julien | lien auteur1=Aurélien Barrau | nom2=Grain | titre=Relativité générale | lieu=Malakoff |éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Sciences sup | date=8/2016 | numéro d'édition=2 | année première édition={{date-|août 2011}} | pages totales={{VIII}}-231 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-10-074737-1 | isbn=978-2-10-074737-5 | ean=9782100747375 | oclc=958388884 | bnf=45101424p | sudoc=195038134 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-generale-cours-et-exercices-corriges-0 | lire en ligne={{Google Livres|id=3erZDAAAQBAJ}} | consulté le=13 mars 2022 | libellé=Barrau et Grain 2016}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=Thierry | nom=Meyer | titre={{nobr|51 leçons}} de l'agrégation externe de sciences physiques corrigées et commentées | lieu= Paris | éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]] | collection=Références sciences | date=1/2020 | numéro d'édition=1 | pages totales=656 | format livre={{dunité|19|24|cm}} | isbn10=2-340-03667-4 | isbn=978-2-340-03667-3 | ean=9782340036673 | oclc=1141404288 | bnf=46513072z | sudoc=24216935X | présentation en ligne=https://www.editions-ellipses.fr/accueil/374-51-lecons-de-lagregation-externe-de-sciences-physiques-corrigees-et-commentees-9782340036673.html | lire en ligne={{Google Livres|id=8WDvEAAAQBAJ}} | consulté le=5/8/2024 | libellé=Meyer 2020}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=José-Philippe | nom=Pérez | champ libre=collab. Éric Anterrieu | titre=Relativité | sous-titre=fondements et applications | lieu=Paris | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]], hors {{coll.}} | date=5/2016 | réimpression={{date-|octobre 2017}} | numéro d'édition=3 | année première édition={{date-|septembre 1999}} | pages totales={{XXIII}}-439 | format livre={{dunité|17,7|24|cm}} | isbn10=2-10-074717-7 | isbn1=978-2-10-077295-7 | isbn2=978-2-10-074717-7 | ean=9782100772957 | oclc=949876980 | bnf=450330711 | sudoc=193153297 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-fondements-et-applications-avec-150-exercices-et-problemes-resolus-0 | lire en ligne={{Google Livres|id=qeA3DAAAQBAJ}} | consulté le=13 mars 2022 | libellé=Pérez 2016}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Jean-Pierre | nom1=Provost | prénom2=Bernard | nom2=Raffaelli | prénom3=Gérard | nom3=Vallée | titre=Mathématiques en physique | sous-titre=concepts et outils | lieu=Malakoff | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Sciences sup | date=1/2019 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XIV}}-366 | format livre={{dunité|17,5|25|cm}} | isbn10=2-10-079023-4 | isbn=978-2-10-079023-4 | ean=9782100790234 | oclc=1083672225 | bnf=456525979 | sudoc=233556478 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/mathematiques-en-physique-concepts-et-outils | lire en ligne={{Google Livres|id=m5yBDwAAQBAJ}} |consulté le=13 mars 2022 | libellé=Provost, Raffaelli et Vallée 2019}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Claude | nom1=Semay | prénom2=Bernard | nom2=Silvestre-Brac | titre=Relativité restreinte | sous-titre=bases et application | lieu=Malakoff | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Sciences sup | date=11/2021 | numéro d'édition=4 | année première édition={{date-|octobre 2005}} | pages totales={{X}}-309 | format livre={{dunité|17|24|m}} | isbn10=2-10-082836-3 | isbn=978-2-10-082836-4 | ean=9782100828364 | oclc=1286364270 | bnf=46915115k | sudoc=258655097 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-restreinte-bases-et-applications-cours-et-exercices-corriges-1 | lire en ligne={{Google Livres|id=wmFMEAAAQBAJ}} | consulté le=14 mars 2022 | libellé=Semay et Silvestre-Brac 2021}}.

==== Ouvrages d'introduction ====
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=Éric | nom=Gourgoulhon | lien auteur=Éric Gourgoulhon | préface=[[Thibault Damour]] | titre=Relativité restreinte | sous-titre=des particules à l'astrophysique | lieu=Les Ulis et Paris | éditeur=[[EDP Sciences]] et [[CNRS Éditions|CNRS]] | collection=Savoirs actuels | série=physique | date=5/2010 | réimpression={{date-|mars 2011}} | numéro d'édition=1 | pages totales={{XXVI}}-776 | format livre={{dunité|15,5|23|cm}} | isbn10=2-7598-0067-9 | isbn1=978-2-7598-0067-4 | isbn2=978-2-271-07018-0 | ean=9782759800674 | oclc=690639994 | bnf=414117131 | doi=10.1051/978-2-7598-0923-3 | sudoc=14466514X | présentation en ligne=https://laboutique.edpsciences.fr/produit/5/9782759809233/relativite-restreinte | lire en ligne={{Google Livres|id=aHCY6CaHtWsC}} | consulté le=14 mars 2022 | libellé=Gourgoulhon 2010}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=Michel | nom=Le Bellac | préface=[[Thibault Damour]] |titre=Les relativités | sous-titre=espace, temps, gravitation | lieu=Les Ulis | éditeur=[[EDP Sciences]] | collection=Une introduction à | date=4/2015 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XIV}}-218 | format livre={{dunité|16|24|cm}} | isbn10=2-7598-1294-4 | isbn=978-2-7598-1294-3 | ean=9782759812943 | oclc=910332402 | bnf=44362603z | sudoc=185764118 | présentation en ligne=https://laboutique.edpsciences.fr/produit/791/9782759818150/les-relativites-espace-temps-gravitation | lire en ligne={{Google Livres|id=rWx3CAAAQBAJ}} | consulté le=13 mars 2022 | libellé=Le Bellac 2015}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | langue originale=en | prénom=Cumrun | nom=Vafa | lien auteur=Cumrun Vafa | traduction=Michel Le Bellac | préface=[[Étienne Klein]] | titre=L'Univers décrypté par les énigmes | titre original=Puzzles to unravel the Universe | lieu=Les Ulis | éditeur=[[EDP Sciences]] | collection=Une introduction à | date=10/2021 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XVI}}-218 | format livre={{dunité|16|24|cm}} | isbn10=2-7598-2594-9 | isbn=978-2-7598-2594-3 | ean=9782759825943 | oclc=1282197253 | bnf=46879352c | sudoc=258258314 | présentation en ligne=https://laboutique.edpsciences.fr/produit/1210/9782759825950/l-univers-decrypte-par-les-enigmes | lire en ligne={{Google Livres|id=MLxIEAAAQBAJ}} | consulté le=14 mars 2022 | libellé=Vafa 2021}}.

==== Dictionnaires et encyclopédies ====
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Richard | nom1=Taillet | prénom2=Loïc | nom2=Villain | prénom3=Pascal | nom3=Febvre | titre=Dictionnaire de physique | lieu=Louvain-la-Neuve | éditeur=[[Groupe De Boeck|De Boeck Supérieur]], hors {{coll.}} | date=1/2018 | numéro d'édition=4 | année première édition={{date-|mai 2008}} | pages totales={{X}}-956 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-8073-0744-2 | isbn=978-2-8073-0744-5 | ean=9782807307445 | oclc=1022951339 | bnf=456469019 | sudoc=224228161 | présentation en ligne=https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807307445-dictionnaire-de-physique | lire en ligne={{Google Livres|id=pjlFDwAAQBAJ}} | consulté le=13 mars 2022 | partie={{s.v.}} quadrivecteur énergie-impulsion | passage=609-610 | libellé=Taillet, Villain et Febvre 2018}}.

=== Articles connexes ===
* [[Moment linéaire]]
* [[Quadrivecteur]]
* [[Quantité de mouvement]]
* [[Relativité restreinte]]
* [[E=mc2]]

{{Portail|physique}}

[[Catégorie:Théorie quantique des champs]]
[[Catégorie:Relativité]]