Quadri-moment

En relativité restreinte, le quadri-moment (ou quadrivecteur impulsion ou quadri-impulsion ou quadrivecteur impulsion-énergie ou quadrivecteur énergie-impulsion) est une généralisation du moment linéaire tridimensionnel de la physique classique sous la forme d'un quadrivecteur de l'espace de Minkowski, espace-temps à 4 dimensions de la relativité restreinte.

Le quadri-moment d'une particule combine le moment tridimensionnel $\overrightarrow{p}=(p_x,p_y,p_z)$ et d'énergie $E$ :

$\left(\begin{array}{c}{p}^0\\ p^1\\ p^2\\ p^3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}E/c\\ p_x\\ p_y\\ p_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\gamma mc\\ \gamma m{v}_x\\ \gamma m{v}_y\\ \gamma m{v}_z\end{array}\right)$.

Comme tout quadrivecteur, il est covariant, c'est-à-dire que les changements de ses coordonnées lors d'un changement de référentiel inertiel se calculent à l'aide des transformations de Lorentz.

Dans une base donnée de l'espace-temps de Minkowski, ses coordonnées sont notées $(p^0;p^1;p^2;p^3)$, dans la base covariante associée, ses coordonnées sont notées $(p_0;p_1;p_2;p_3)$ et sont telles que $p_i={\eta }_{ij}.p^j$.

En relativité restreinte, l'énergie et la quantité de mouvement d'une particule sont les composantes d'un unique quadrivecteurModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn (4-vecteur). Il est surtout connu comme le quadrivecteur énergie-impulsionModèle:Note (4-vecteur énergie-impulsion). Il est noté $p$Modèle:Note.

La 4-impulsion d'une particule est un 4-vecteur tangent à la ligne d'univers de la particuleModèle:Sfn et orienté vers le futurModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn ; il est de genre temps dans le cas d'une particule massiveModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn et de genre lumière dans celui d'une particule sans masseModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn ; il est non-unitaireModèle:Sfn. La 4-impulsion totale d'un système isolé de particules est soit un 4-vecteur de genre temps orienté vers le futur, soit un 4-vecteur de genre lumière orienté vers le futurModèle:Sfn ; ce dernier cas ne se produit que pour un système isolé constitué uniquement de particules sans masse et dont les 4-impulsions sont toutes colinéairesModèle:Sfn. Les composantes de la 4-impulsion sont homogènes à une quantité de mouvementModèle:Sfn.

Le carré de la pseudonorme du quadrivecteur conduit à la Modèle:Terme définiModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn :

$E^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4$,

reliant l'énergie, la masse et l'impulsionModèle:Sfn. Lorsque la masse de la particule libre est non nulle mais que son impulsion est nulle, la relation se réduit à $E=m{c}^2$Modèle:Sfn. Lorsque la masse de la particule libre est nulle, comme c'est le cas d'un photon, la relation se réduit à $E=pc$Modèle:Sfn. La relation met en évidence qu'en relativité restreinte, la masse est une grandeur invarianteModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn et conservéeModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn mais non additiveModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn.

La 4-impulsion est une des notions introduites par Hermann MinkowskiModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn.

Dénominations

La dénomination Modèle:Citation reste usitéeModèle:Sfn. Mais, en raison notamment de sa longueurModèle:Sfn, des auteurs lui substituent celle de Modèle:CitationModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn ou de Modèle:CitationModèle:Sfn. Cela est discutable car Modèle:Citation devrait être réservé à Modèle:Citation et ainsi à Modèle:CitationModèle:Sfn.

Relation avec la quadrivitesse

Nous savions qu'en mécanique classique, la relation entre l'impulsion et la vitesse de la particule non-relativiste est la suivante :

$\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$ où $m$ correspond à la masse au repos.

Nous pouvons généraliser ce concept à quatre dimensions en introduisant la quadrivitesse. Pour une particule dotée de masse non nulle mais ayant une charge électrique nulle, le quadri-moment est donné par le produit de la masse au repos $m$ et de la quadrivitesse $u$.

En coordonnées contravariantes, on a $u=(u^0,u^1,u^2,u^3)=(\gamma .c,\gamma v_x,\gamma v_y,\gamma v_z)$, où $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c}{)}^2}}$ est le facteur de Lorentz et c est la vitesse de la lumière :

$p^{\mu }=m{u}^{\mu }$ où $\mu \in \{0,1,2,3\}$

Norme de Minkowski : p²

En calculant la norme de Minkowski d'un quadri-moment, on obtient un invariant de Lorentz égal (à un facteur égal à la vitesse de la lumière c près) au carré de la masse au repos de la particule :

$p\cdot p={\eta }_{\mu \nu }{p}^{\mu }{p}^{\nu }=\frac{E^2}{c^2}-|\overrightarrow{p}{|}^2=m^2{c}^2$

Puisque $|p{|}^2$ est un invariant de Lorentz, sa valeur reste inchangée par transformations de Lorentz, c'est-à-dire par changement de référentiel inertiel.

En utilisant la métrique de Minkowski :

${\eta }_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$.

Le tenseur métrique est en fait défini à un signe près. On trouvera dans certains ouvrages la convention ${\eta }_{\mu \nu }=(-,+,+,+)$ au lieu de la convention ${\eta }_{\mu \nu }=(+,-,-,-)$ adoptée dans cet articleModèle:Note. Les résultats physiques sont évidemment les mêmes quelle que soit la convention choisie, mais il faut prendre garde de ne pas les mélanger.

Interprétation

À l'approximation des faibles vitesses, la composante temporelle de la 4-impulsion se réduit àModèle:Sfn :

$p^{0}c=E=m{c}^2+\frac{1}{2}m{v}^2$,

où :

• $m{c}^2$ est l'énergie de masseModèle:Sfn ;
• $\frac{1}{2}mv$ est l'énergie cinétiqueModèle:Sfn.

À la même approximation, les trois composantes spatiales de la 4-impulsion se réduisent àModèle:Sfn :

$\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$,

qui est l'expression classique de la quantité de mouvementModèle:Sfn.

Vitesse observée

La 4-impulsion permet de définir la vitesse observée d'une particule à partir de la relationModèle:Sfn :

$\frac{\overrightarrow{p}}{E}=\frac{\overrightarrow{v}}{c^2}$,

soit :

$\overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{p}{c}^2}{E}$.

Conservation du quadri-moment

La conservation du quadri-moment dans un référentiel donnéModèle:Note implique deux lois de conservations pour des quantités dites classiques :

1. La quantité totale d'énergie $E=c.p^0$ est invariante.
2. Le moment linéaire classique tridimensionnel $\overrightarrow{p}$ reste invariant.

On notera au passage que la masse d'un système de particules peut être supérieure à la somme des masses des particules au repos, à cause de l'énergie cinétique. Par exemple, prenons 2 particules de quadri-moment {5 Gev, 4 Gev/c, 0, 0} et {5 Gev, -4 Gev/c, 0, 0} : elles ont chacune une masse au repos de 3 Gev/c² mais leur masse totale (soit encore la masse du système) est de 10 Gev/c². Si ces 2 particules entrent en collision et fusionnent, la masse de l'objet ainsi formé est de 10 Gev/c².

Une application pratique en physique des particules de la conservation de la masse au repos permet, à partir des quadri-moments p^A et p^B de 2 particules créées par la désintégration d'une particule plus grosse ayant un quadri-moment q, de retrouver la masse de la particule initiale. La conservation du quadrimoment donne q_μ = p^A_μ + p^B_μ, et la masse M de la particule initiale est donnée par |q|² = M²c². En mesurant l'énergie et les 3-moments des particules résultantes, on peut calculer la masse au repos du système des 2 particules qui est égal à M. Cette technique est notamment utilisée dans les recherches expérimentales sur le boson Z dans les accélérateur de particules.

Si la masse d'un objet ne change pas, le produit scalaire de Minkowski de son quadri-moment et de la quadri-accélération correspondante A^μ est nul. L'accélération est proportionnelle à la dérivée temporelle du moment divisée par la masse de la particule:

$p_{\mu }{A}^{\mu }=p_{\mu }\frac{d}{dt}\frac{{\eta }^{\mu \nu }{p}_{\nu }}{m}=\frac{1}{2m}\frac{d}{dt}|p{|}^2=\frac{1}{2m}\frac{d}{dt}(m^2{c}^2)=0$.

Moment canonique en présence d'un champ électromagnétique

Il est également utile de définir un moment "canonique" (à 4 dimensions), pour des applications en mécanique quantique relativiste : $P^{\mu }$, qui est la somme du quadri-moment et du produit de la charge électrique avec le potentiel (qui est un vecteur à 4 dimensions) :

$P^{\mu }=p^{\mu }+q{A}^{\mu }$,

où le 4-vecteur potentiel est une combinaison entre le potentiel scalaire et le potentiel vecteur du champ magnétique :

$\left(\begin{array}{c}{A}^0\\ A^1\\ A^2\\ A^3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\varphi /c\\ A_x\\ A_y\\ A_z\end{array}\right)$.

Voir aussi

Bibliographie

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• Modèle:Article.
• Modèle:Article.
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Histoire des sciences

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• Modèle:Chapitre.

Manuels d'enseignement supérieurs

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Ouvrages d'introduction

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Dictionnaires et encyclopédies

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Articles connexes

• Moment linéaire
• Quadrivecteur
• Quantité de mouvement
• Relativité restreinte
• E=mc2