Voir la source de Quadrilatère inscriptible

[[Image: Cyclic quadrilateral.svg| thumb | right | Quadrilatères inscriptibles]]
En [[géométrie]], un '''quadrilatère inscriptible''' (ou '''cyclique''' <ref name=":0">{{Lien web |format=pdf |auteur=Jean-Louis Ayme |titre=A propos de l'anticentre d'un quadrilatère |url=http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/A%20propos%20de%20l%27anticentre%20d%27un%20quadrilatere%20cyclique.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20231002164540/https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/A%20propos%20de%20l'anticentre%20d'un%20quadrilatere%20cyclique.pdf}}</ref>) est un [[quadrilatère]] dont les [[Sommet (géométrie)|sommets]] se trouvent tous sur un seul et même [[cercle]]. Les sommets sont dits [[Cocyclique|cocycliques]]. Le quadrilatère est dit ''inscrit'' dans le cercle, et le cercle, [[Cercle circonscrit|circonscrit]] au quadrilatère.

== Caractérisations ==

=== Par les médiatrices ===
Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si les quatre médiatrices des côtés sont concourantes. Le point de concours est alors le centre du cercle circonscrit et les médiatrices des diagonales passent par ce point.

=== Par les angles ===
[[Fichier:Inscriptible.png|gauche|vignette|<math>\widehat A+\widehat C=\pi</math>, <math>\widehat B+\widehat D=\pi</math>]]
[[Fichier:Inscriptible croisé.png|vignette|<math>\widehat A=\widehat C,\widehat B=\widehat D</math>]]
Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si les angles opposés sont [[angle supplémentaire|supplémentaires]]<ref>{{en}} [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/propIII22.html Proposition 22] du [[livre III des Éléments d'Euclide|livre III des ''Éléments'' d'Euclide]].</ref> (leur somme est {{math|[[π]]}} [[radian]]s, soit 180[[Degré (angle)|°]]). Ou de façon équivalente, si et seulement si chaque [[angle externe]] est égal à l'[[angle interne]] opposé. Cette propriété est en fait une variante du [[théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre]].

Un quadrilatère croisé est inscriptible si et seulement si ses angles opposés ont même mesure<ref>{{ouvrage|auteur=Jean-Louis Boursin|titre=Les Maths pour les nuls|année=2011|page=79}}.</ref>.



== Existence ==
'''Théorème de Sturm''' <ref>{{Ouvrage|auteur1=Frère Gabriel Marie|titre=Exercices de géométrie, comprenant l'exposé des méthodes géométriques et 2000 questions résolues par F. G.-M.|passage=68|réimpression=Gabay 1991|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1478207/f100.item}}</ref>{{,}}<ref name=":02">{{Ouvrage|auteur1=Mohammed AASSILA|titre=1000 challenges mathématiques, géométrie|passage=367|éditeur=Ellipses|date=2018}}</ref>: s'il existe un quadrilatère de longueurs de côtés  successifs <math>a,b,c,d</math>, c'est-à-dire si <math>a\leqslant b+c+d,b\leqslant c+d+a,c\leqslant d+a+b,d\leqslant a+b+c</math>, alors il existe un quadrilatère convexe inscriptible ayant <math>a,b,c,d</math> pour longueurs de côtés.

Cela signifie que les sommets de tout quadrilatère articulé peuvent être inscrits dans un cercle.

== Aire ==
[[Fichier:ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់.png|vignette|Quadrilatère inscriptible de côtés a, b, c et d.]]
L'[[Aire (géométrie)|aire]] {{mvar|S}} d'un quadrilatère convexe inscriptible en fonction des longueurs {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}} et {{mvar|d}} de ses côtés successifs est donnée par la [[formule de Brahmagupta]] :

: <math>S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}</math>

où {{math||§=''p'' {{=}} {{sfrac|''a'' + ''b'' + ''c'' + ''d''|2}}}} est le demi-[[périmètre]].

D'après la [[formule de Bretschneider]], un quadrilatère convexe ayant {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}} {{mvar|d}} pour suite de longueurs des côtés possède une aire maximale lorsqu'il est inscriptible.

L'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible est aussi donnée {{infra|Autres propriétés}} par :

:<math>S=\frac12(bc+ad)\sin\gamma</math>
où {{math|γ}} est l'angle entre les côtés de longueurs {{mvar|a}} et {{mvar|d}}.

== Diagonales ==

Le [[théorème de Ptolémée]] dit que le produit des longueurs {{mvar|e}} et {{mvar|f}} des deux [[diagonale]]s d'un quadrilatère convexe inscriptible est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés {{mvar|ac}} et {{mvar|bd}} :

:<math>ef = ac + bd</math>.
[[Fichier:Вписаний чотирикутник 4.png|vignette|Quadrilatère inscriptible avec ses deux diagonales de longueurs {{var|p}} et {{var|q}}, et ses triangles deux à deux semblables]]
Les deux diagonales d'un quadrilatère convexe le coupent en quatre triangles ; lorsque le quadrilatère est inscriptible, les paires de triangles opposés sont constituées chacune de deux [[triangles semblables]].

Pour un quadrilatère convexe inscriptible de sommets successifs ''A'', ''B'', ''C'', ''D'', de côtés successifs ''a = AB, b = BC, c = CD'' et ''d = DA'', et de diagonales ''e = AC'' et ''f = BD'', on a ([[Théorème de Ptolémée#Second théorème de Ptolémée|second théorème de Ptolémée]]):

<center><math>\frac ef=\frac{ad+cb}{ab+cd},\quad e^2=\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}\quad\text{et}\quad f^2=\frac{(ac+bd)(ab+dc)}{ad+bc}.</math></center>

Si le point d'intersection des diagonales divise une diagonale en segments de longueurs <math>e_1</math> et <math>e_2</math>, et divise l'autre diagonale en segments de longueurs <math>f_1</math> et <math>f_2</math>, alors <math>e_1e_2=f_1f_2</math>. (Ceci est valable parce que les deux diagonales sont des [[Cercle#Définitions|cordes d'un cercle]].)

== Cas particuliers ==

Tout [[rectangle]] est un [[Trapèze#Cas particuliers|trapèze isocèle]], c'est-à-dire un [[trapèze circonscriptible]].
Un [[Cerf-volant (géométrie)|cerf-volant]] est inscriptible si et seulement s'il a deux angles droits ([[cerf-volant droit]]).

== Autres propriétés ==

* Durant le {{s-|XIV}}, le mathématicien {{Lien|Parameshvara Nambudiri}} détermina le rayon du cercle circonscrit d'un quadrilatère inscriptible. Notons les longueurs des côtés successifs {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, {{mvar|d}}, le demi-périmètre {{mvar|p}} et l'[[#Aire|aire]] {{mvar|S}} ; le rayon {{mvar|R}} s'obtient par la formule<ref>{{Article|langue=en|nom1=Hoehn|prénom1=Larry|titre=Circumradius of a cyclic quadrilateral|périodique=[[The Mathematical Gazette]]|numéro=84|mois=Mars|année=2000|pages=69-70}}.</ref> :
:<math>R=\frac14\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}=
\frac\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{4S}</math>.

* Il n'existe pas de quadrilatère inscriptible dont l'aire est rationnelle et dont les longueurs des côtés sont rationnelles, inégales et forment une progression arithmétique ou géométrique<ref name="Buchholz">{{en}} R. H. Buchholz et J. A. MacDougall, « Heron quadrilaterals with sides in arithmetic or geometric progression », ''Bull. Austral. Math. Soc.'', vol. 59, 1999, p. 263-269 {{lire en ligne|lien=http://journals.cambridge.org/article_S0004972700032883}}.</ref>.

* Les fonctions trigonométriques de l'angle {{math|γ}} entre les côtés de longueurs {{mvar|a}} et {{mvar|d}} sont données par<ref>{{en}} A. W. Siddons et R. T. Hughes, ''Trigonometry'', Cambridge Univ. Press, 1929, {{p.|202}}.</ref> :
:<math>\cos\gamma= \frac{a^2 + d^2 - b^2 - c^2}{ad + bc}</math> ;

:<math>\sin\gamma= \frac{2S}{ad + bc}</math> ({{mvar|S}} étant l'[[#Aire|aire]]) ;

:[[Fichier:Mathot.gif|vignette]]<math>\tan \frac\gamma2= \sqrt{\frac{(p-a)(p-d)}{(p-b)(p-c)}}</math>.

* Théorème de Jules Mathot (1901) : Dans un quadrilatère convexe inscriptible, les quatre droites passant par le milieu d'un côté et perpendiculaires au côté opposé sont [[Concourant|concourantes]]. Le point de concours est le symétrique H du centre O du cercle circonscrit par rapport au centre de gravité des sommets (ou centre géométrique) G <ref name="Altshiller-Court">{{en}} Altshiller-Court, ''College Geometry'', Dover Publ., 2007.</ref>{{exp|p. 131}}{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur1=David Wells|titre=Le dictionnaire Penguin des curiosités géométriques|passage=134,135|éditeur=Eyrolles|date=1995}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur1=Mohammed AASSILA|titre=1000 challenges mathématiques, géométrie|passage=365|éditeur=Ellipses|date=2018}}</ref>.

{{Démonstration/début}}

Avec les notations A,B,C,D,I,J,K,L de la figure, soient O le centre du cercle circonscrit et G le centre de gravité des sommets. On sait que G est le milieu de la bimédiane [IK] ; si on note H le symétrique de O par rapport à G, le quadrilatère OIHG est un parallélogramme, ses diagonales se coupant en leur milieu. Or (OK) est perpendiculaire à (DC) donc également (IH) : la droite passant par I et perpendiculaire au côté opposé passe dont par H, et de même pour les trois autres.

{{Démonstration/fin}}

Ces quatre droites sont appelées "[[wiktionary:maltitude|''maltitudes'']]" en anglais (pour "midpoint-altitude"), ce que l'on peut traduire par "hauteurs médianes".

Certains auteurs considèrent la droite (OGH) comme la "[[droite d'Euler]]" du quadrilatère inscriptible <ref name=":0" />.

*Théorème japonais{{Article détaillé|Théorème japonais pour les quadrilatères inscriptibles}}
{{Théorème|nom=Théorème japonais<ref>{{article |langue=en |titre=An Application of Thebault’s Theorem |auteur=Wilfred Reyes |périodique=Forum Geometricorum |volume=2 |année=2002 |pages={{p.|183–185}} |ISSN=1534-1178 |lire en ligne=https://forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200223.pdf}}</ref>|énoncé=On considère un quadrilatère ABCD inscriptible. On note I{{ind|A}} le centre du cercle inscrit du triangle BCD, et {{math|''r''{{ind|A}}}} son rayon ; on construit de façon similaire I{{ind|B}} et {{math|''r''{{ind|B}}}} pour ACD, I{{ind|C}} et {{math|''r''{{ind|C}}}} pour ABD, I{{ind|D}} et {{math|''r''{{ind|D}}}} pour ABC. Alors :
* I{{ind|A}}I{{ind|B}}I{{ind|C}}I{{ind|D}} forme un rectangle
* {{math|''r''{{ind|A}}}} + {{math|''r''{{ind|C}}}} = {{math|''r''{{ind|B}}}} + {{math|''r''{{ind|D}}}}
}}
== Quadrilatères de Brahmagupta ==
[[Fichier:Quad brahmagupta.gif|vignette|300x300px|Exemple de quadrilatère de Brahmagupta ; l'aire est égale à 966.]]
Un '''quadrilatère de Brahmagupta'''<ref>{{article|langue=en|prénom=K.R.S.|nom=Sastry|titre=Brahmagupta quadrilaterals|journal=Forum Geometricorum|volume=2|pages=167–173|date=2002|url=https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/EM12/BrahmaguptaQuadrilaterals.pdf}}</ref>{{,}}<ref>{{Article|langue=en|auteur1=K. R. S. Sastry|titre=Brahmagupta quadrilaterals: A description|périodique=Crux Mathematicorum|volume=29|pages=39–42|date=2003|lire en ligne=https://drive.google.com/file/d/1YkzfxLbozXAKGSVkwxfLiwBOpBPu6_gL/view}}</ref>est un quadrilatère convexe inscriptible dont les longueurs des côtés, les longueurs des diagonales et l'aire sont des nombres entiers. On obtient tous les quadrilatères de Brahmagupta de longueurs de côtés {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}}, {{math|''d''}}, de longueurs de diagonales {{math|''e''}}, {{math|''f''}}, d'aire {{math||§=''S''}} et de rayon circonscrit {{math|''R''}}, en supprimant les dénominateurs des expressions suivantes impliquant des paramètres rationnels <math>t=\tan\frac {\widehat{CAD}}2=\tan\frac {\widehat{CBD}}2,u=\tan\frac A2,v=\tan\frac C2</math> :

:<math>a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]</math>
:<math>b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)</math>
:<math>c=t(1+u^2)(1+v^2)</math>
:<math>d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)</math>
:<math>e=u(1+t^2)(1+v^2)</math>
:<math>f=v(1+t^2)(1+u^2)</math>
:<math>S=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^2)][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^2)]</math>
:<math>4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).</math>

== Propriétés des quadrilatères inscriptibles qui sont également orthodiagonaux ==

[[Fichier:Maltitudes.png|vignette|300x300px]]Dans un quadrilatère [[Quadrilatère orthodiagonal|orthodiagonal]] (c'est-à-dire dont les diagonales sont perpendiculaires), les "hauteurs médianes" définies ci-dessus se coupent deux à deux sur des diagonales. Par exemple, les "hauteurs médianes" issues des milieux de [AD] et [AB] se coupent sur la diagonale issue de A.

{{Démonstration/début}}

Avec les notations A,B,C,D,I,J,K,L de la figure, soit M le milieu de la diagonale issue de A. D'après le théorème des milieux, le triangle IML a ses côtés parallèles à (BC), (CD), et (BD) . Donc les "hauteurs médianes" issues de I et L en sont deux hauteurs. Or la troisième hauteur, issue de M, n'est autre que la diagonale (AC) ( (IL) étant parallèle à (BD)). Les deux "hauteurs médianes" se coupent donc sur cette diagonale.
{{Démonstration/fin}}[[Fichier:Anticentre.png|vignette]]

Par conséquent, d'après la propriété ci-dessus, dans un quadrilatère à la fois inscriptible et [[Quadrilatère orthodiagonal|orthodiagonal]], les quatre "hauteurs médianes" concourent au point d’intersection H des diagonales, appelé l'''anticentre'' du quadrilatère inscriptible orthodiagonal <ref name=":0" />.

On retrouve ainsi le [[théorème de Brahmagupta]], affirmant que dans un quadrilatère inscriptible orthodiagonal, la perpendiculaire à n'importe quel côté passant par le point d'intersection des diagonales coupe l'autre côté en son milieu<ref name="Altshiller-Court" />{{exp|p. 137}}.

Dans un quadrilatère inscriptible [[Quadrilatère orthodiagonal|orthodiagonal ]]:

* la distance du centre O du cercle circonscrit à n'importe quel côté est égal à la moitié de la longueur du côté opposé<ref name="Altshiller-Court" />{{exp|p. 138}},

* supposons que l'intersection des diagonales divise une diagonale en segments de longueurs {{math||§=''e''<sub>1</sub>}} et {{math||§=''e''<sub>2</sub>}} et divise l'autre diagonale en segments de longueurs {{math||§=''f''<sub>1</sub>}} et {{math||§=''f''<sub>2</sub>}}. Alors<ref>{{en}} Alfred S. Posamentier et Charles T. Salkind, ''Challenging Problems in Geometry'', Dover Publ., second edition, 1996, p. 104-105, #4-23.</ref>
:<math>e_1^2 + e_2^2 + f_1^2 + f_2^2 = a^2 + c^2 = b^2 + d^2 = 4R^2</math>

où <math>R</math> est le rayon du cercle circonscrit. Cela est dû au fait que les diagonales sont des cordes perpendiculaires d'un cercle. De façon équivalente, la moyenne de {{math||§=''e''<sub>1</sub><sup>2</sup>}}, {{math||§=''e''<sub>2</sub><sup>2</sup>}}, {{math||§=''f''<sub>1</sub><sup>2</sup>}} et {{math||§=''f''<sub>2</sub><sup>2</sup>}} est égale à {{math|''R''<sup>2</sup>}}. En outre, les équations {{math||§=''a''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> {{=}} ''b''<sup>2</sup> + ''d''<sup>2</sup> {{=}} 4''R''<sup>2</sup>}} impliquent que la somme des carrés des côtés est égal à huit fois le carré du rayon du cercle circonscrit.

Le quotient du [[Périmètre#Périmètre d'un cercle|périmètre d'un cercle]] par celui d'un [[Cercle circonscrit#Rectangle|carré inscrit]] est égal à {{sfrac|[[Pi|π]]|2[[Racine carrée de deux|{{sqrt|2}}]]}} ≈ 1,110 720 ({{OEIS|A093954}}).

== Références ==
{{Traduction/Référence|en|Cyclic quadrilateral|413341784|type=note}}
<references/>

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Quadrilatère bicentrique]] (à la fois inscriptible et [[Quadrilatère circonscriptible|circonscriptible]])
* [[Théorème japonais pour les quadrilatères inscriptibles]]

=== Liens externes ===
* {{en}} ''[http://www.mathalino.com/reviewer/derivation-formulas/derivation-formula-area-cyclic-quadrilateral Derivation of Formula for the Area of Cyclic Quadrilateral]'' sur mathalino.com
* {{en}} ''[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/CyclicQuadrilateral.shtml Incenters in Cyclic Quadrilateral]'' sur ''[[Cut The Knot]]''
* {{en}} ''[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Brahmagupta2.shtml Four Concurrent Lines in a Cyclic Quadrilateral]'' sur ''Cut The Knot''
* {{MathWorld|nom_url=CyclicQuadrilateral|titre=Cyclic quadrilateral}}

{{Palette|Polygones}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Quadrilatère]]
[[Catégorie:Cercle]]