Voir la source de Règle de Raabe-Duhamel

{{Ébauche|mathématiques}}
{{Voir homonymes|Raabe|Duhamel}}
En [[mathématiques]], la '''règle de Raabe-Duhamel''' est un [[théorème]] permettant d'établir la [[Série convergente|convergence]] ou la [[Série divergente|divergence]] de certaines [[série (mathématiques)|séries]] à termes [[nombre réel|réels]] strictement positifs, dans le cas où une conclusion directe est impossible avec la [[règle de d'Alembert]]. Elle tire son nom des mathématiciens [[Joseph Raabe]] et [[Jean-Marie Duhamel]].

== Énoncé ==
{{Théorème|Règle de Raabe-Duhamel<ref>{{EncycloMath|titre=Raabe criterion|id=Raabe_criterion}}.</ref>|Soit <math>\left(u_n\right)</math> une [[Suite (mathématiques)|suite]] de réels strictement positifs.
*Si (à partir d'un certain rang) <math>\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge1-\frac1n</math>, alors <math>\sum u_n</math> diverge.
*S'il existe <math>b>1</math> tel que (à partir d'un certain rang) <math>\frac{u_{n+1}}{u_n}\le1-\frac bn</math>, alors <math>\sum u_n</math> converge.
|style=display:table}}

Cette règle est un corollaire immédiat<ref name=Wikiversité>{{Note autre projet|WIkiversité|Série numérique/Exercices/Nature de séries#Exercice 6|cet exercice corrigé de la leçon Série numérique|début=Pour une démonstration, voir par exemple}}</ref> de celle de [[Ernst Kummer|Kummer]] (section ci-dessous).

Dans le cas particulier où la suite <math>\left(n\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}-1\right)\right)_n</math> admet une limite réelle - {{math|α}}, ce qui équivaut à
:<math>\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\alpha}n+o\left(\frac1n\right)</math>,
la règle de Raabe-Duhamel garantit que :
* si {{math|α < 1}}, <math>\sum u_n</math> diverge ;
* si {{math|α > 1}}, <math>\sum u_n</math> converge.
Si {{math|1=α = 1}}, l'exemple de la [[série de Bertrand]] montre que l'on ne peut pas conclure.

== Exemple ==
Soient <math>x,y>0</math>. La série de terme général
{{Retrait|<math>u_n=\frac{x\left(1+x\right)\left(2+x\right)\dots\left(n+x\right)}{y\left(1+y\right)\left(2+y\right)\dots\left(n+y\right)}</math>}}
est divergente si <math>y\le x+1</math> et convergente si <math>y>x+1</math><ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Thomas John I'Anson Bromwich]]|titre=An Introduction to the Theory of Infinite Series|année=1908|éditeur=[[Macmillan Publishers|Macmillan]]|lieu=Londres|url=https://archive.org/stream/introductiontoth00bromuoft#page/33/mode/1up|page=33}}, exemple 2.</ref>.
En effet :
{{Retrait|<math>\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{y-x}{n+1+y}</math>.}}

== Règle de Kummer ==
La règle de Kummer peut s'énoncer comme suit<ref>{{EncycloMath|titre=Kummer criterion|id=Kummer_criterion}}.</ref>{{,}}<ref>La {{Lien web|url=http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./k/kummerregle.html|titre=règle de Kummer|site=bibmath.net}}, n'est formulée que si {{math|(''k{{ind|n}}u{{ind|n}}''/''u''{{ind|''n''+1}} – ''k''{{ind|''n''+1}})}} admet une limite {{math|ρ}} : la série {{math|∑''u{{ind|n}}''}} diverge si {{math|ρ < 0}} et {{math|1=∑1/''k{{ind|n}}'' = +∞}}, et converge si {{math|ρ > 0}}.</ref> :
{{Énoncé|Soient {{math|(''u{{ind|n}}'')}} et {{math|(''k{{ind|n}}'')}} deux suites strictement positives.
*Si {{math|1=∑1/''k{{ind|n}}'' = +∞}} et si, à partir d'un certain rang, {{math|''k{{ind|n}}u{{ind|n}}''/''u''{{ind|''n''+1}} – ''k''{{ind|''n''+1}} ≤ 0}}, alors {{math|∑''u{{ind|n}}''}} diverge.
*Si {{math|[[Limites inférieure et supérieure|lim inf]] (''k{{ind|n}}u{{ind|n}}''/''u''{{ind|''n''+1}} – ''k''{{ind|''n''+1}}) > 0}}, alors {{math|∑''u{{ind|n}}''}} converge.
}}
[[Henri Padé]] a remarqué en 1908<ref>{{Ouvrage|titre=Exercices & Problèmes Maths {{2e|année}} [[Classes préparatoires mathématiques, physique|MP]]|collection=H Prépa|auteur=B. Beck|auteur2=I. Selon|auteur3=C. Feuillet|éditeur=[[Hachette Éducation]]|année=2005|url={{Google Livres|LFb4ppQ7E50C|page=264}}|page=264}}.</ref> que cette règle n'est qu'une reformulation des [[Série convergente#Principe général : règles de comparaison|règles de comparaison]] des séries à termes positifs<ref name=Wikiversité/>.

Un autre corollaire de la règle de Kummer est [[Test de convergence#Test de Bertrand|celle de Bertrand]]<ref>{{EncycloMath|titre=Bertrand criterion|id=Bertrand_criterion}}.</ref> (en prenant {{math|1=''k{{ind|n}} = n'' [[Logarithme naturel|ln]](''n'')}}), dont le critère de [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]]<ref>{{EncycloMath|titre=Gauss criterion|id=Gauss_criterion}}.</ref>{{,}}<ref>{{MathWorld|nom_url=GausssTest|titre=Gauss's Test}}.</ref> est une conséquence<!--http://www.rjm-cs.ro/Bucur-1-2015.pdf-->.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Bibliographie ==
Jean-Marie Duhamel, ''[http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1839_1_4_A17_0.pdf Nouvelle règle sur la convergence des séries]'', [[Journal de mathématiques pures et appliquées|''JMPA'']], vol. 4, 1839, p. 214-221

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Théorème d'analyse]]
[[Catégorie:Série (mathématiques)]]