Voir la source de Règle de d'Alembert

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[[Fichier:Jean d'Alembert.jpeg|vignette|Jean Le Rond d'Alembert, mathématicien français.]]

La '''règle de d'Alembert''' (ou '''critère de d'Alembert'''), doit son nom au [[mathématicien]] [[France|français]] [[Jean le Rond d'Alembert]]. C'est un [[test de convergence]] pour une [[série (mathématiques)|série]] à termes positifs.

Dans certains cas, elle permet d'établir la [[convergence absolue]] d'une série à termes complexes ou vectoriels, ou au contraire sa divergence.

== Énoncé ==

Soit {{math|(''u{{ind|n}}'')}} une [[Suite (mathématiques)|suite]] de réels strictement positifs. On note <math>\ell</math> et <math>L</math> les [[limites inférieure et supérieure]] des quotients successifs :
:<math>0\le\ell:=\liminf\frac{u_{n+1}}{u_n}\le L:=\limsup\frac{u_{n+1}}{u_n}\le+\infty</math><!--y compris +\infty-->.
* Si <math>L<1</math>, alors la série de terme général {{math|''u{{ind|n}}''}} [[Série convergente|converge]].
* Si <math>\ell>1</math>, alors la suite ne tend pas vers 0 (donc la série [[Série convergente#Condition nécessaire, divergence grossière|diverge grossièrement]]).
Si <math>\ell\le1\le L</math>, on ne peut rien conclure : c'est le cas incertain de la règle de d'Alembert.

== Remarques ==
*La règle de d'Alembert se démontre directement<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Série numérique/Séries à termes positifs#Règles de D'Alembert et de Cauchy|« Règle de D'Alembert » dans la leçon sur les séries numériques|début=Pour une démonstration, voir par exemple}}</ref>, mais peut aussi [[Règle de Cauchy#Lien avec la règle de d'Alembert|se déduire de celle de Cauchy]], grâce au [[lemme de Cesàro]].
*Dans le cas incertain <math>\ell\le1\le L</math>, on peut essayer la [[règle de Cauchy]], plus précise.
*Lorsque la suite <math>\left(\tfrac{u_{n+1}}{u_n}\right)</math> admet une limite <math>\lambda</math>, l'énoncé se simplifie car <math>\ell=\lambda=L</math>. Dans le cas incertain <math>\lambda=1</math>, on peut essayer la [[règle de Raabe-Duhamel]].
*La règle de d'Alembert peut être employée pour étudier la convergence d'une série à termes dans un [[espace vectoriel normé]] ''E'', en analysant la série {{math|∑''u{{ind|n}}''}} des normes. Si {{math|''L'' < 1}} et si ''E'' est [[Espace de Banach|complet]] (par exemple si ''E'' = ℝ ou ℂ), la série vectorielle est absolument convergente, tandis que si {{math|''ℓ'' > 1}}, elle est grossièrement divergente.

== Note==
{{Références}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Série (mathématiques)]]