Voir la source de Répunit

Dans le domaine des [[mathématiques récréatives]], un '''répunit''' est un [[entier naturel]] dont l'écriture, dans une certaine [[base (arithmétique)|base]] entière, ne comporte que des chiffres 1. C'est donc un cas particulier de [[nombre uniforme]].

Ce terme est la [[francisation]] de l'anglais {{lang|en|''repunit''}}, [[Coalescence (linguistique)|contraction]] de l'expression ''{{lang|en|'''rep'''eated '''unit'''}}'' (unité répétée), proposée en 1966 par [[Albert H. Beiler]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Albert H. Beiler|titre=Recreations in the Theory of Numbers|sous-titre=The Queen of Mathematics Entertains|éditeur=[[Dover Publications]]|année=1966|année première édition=1964|pages totales=349|isbn=978-0-486-21096-4|lire en ligne={{Google Livres|fJTifbYNOzUC|page=83}}|numéro chapitre=11}}.</ref>.

En français ont été proposées les appellations « '''nombre polymonadique<ref>{{Lien web|url=https://archive.wikiwix.com/cache/index2.php?url=http%3A%2F%2Fcapesa.ensae.fr%2Fdoc%2Fannales%2F2006%2FISEEco2006c.pdf%2Findex.html#&|titre=Corrigé d'une épreuve du concours ISE de 2006}}.</ref>''' », « '''multi-as'''<ref>{{Article|auteur1=J. Moreau de Saint-Martin |champ libre=multi-as proposé à la suite de M. D. Indjoudjian, dans la revue ''[[École polytechnique (France)#Les promotions jaune et rouge|La Jaune et la Rouge]]''|titre=À la recherche des multi-as carrés |périodique=[[Quadrature (revue)|Quadrature]]|numéro=26 |date=octobre 1996 |pages=25-27 }}.</ref> », ou « '''répun'''<ref>{{Article|auteur=Richard Choulet|titre=Quelques remarques sur les répuns|url=https://www.apmep.fr/IMG/pdf/AAA06038.pdf|périodique=Bulletin de l'[[APMEP]]|numéro=464|date=mai 2006|p.=407-412}}.</ref> » mais c'est l'anglicisme qui reste le plus utilisé.

== Définition ==
Les répunits en [[base dix]] sont définis par :
:<math>R_n= \frac{10^n-1}{9}\qquad\mbox{pour }n\ge1.</math>

Plus généralement, ils sont donnés en base ''b'', par :
:<math>R_n^{(b)}=\frac{b^n-1}{b-1}=\sum_{k=0}^{n-1}b^k\qquad\mbox{pour }n\ge1.</math>
Ainsi, le nombre {{math|''R''{{su2|b=''n''|p=(''b'')}}}} s'écrit comme la juxtaposition de {{math|''n''}} chiffres {{math|1}}.

== Histoire ==
Bien que n'étant pas encore connus sous ce nom, les répunits en base dix ont été étudiés par de nombreux mathématiciens au cours du {{S-|XIX}}, dans un effort pour élaborer et prédire les tendances cycliques du [[développement décimal périodique]]<ref name=Dickson>{{Dickson1}}, vol. 1, 1999, {{p.|164-167}}.</ref>.

Il a été trouvé très tôt que, pour tout nombre premier ''p'' supérieur à 5, la [[Développement décimal périodique|période]] du développement décimal de 1/''p'' est égale à la longueur du plus petit répunit divisible par ''p''. Les tableaux de la période de réciprocité des nombres premiers jusqu'à {{nombre|60000}} ont été publiés en 1860, et ont permis la [[Décomposition en produit de facteurs premiers|factorisation]], par des mathématiciens comme Reuschle, de tous les répunits jusqu'à R<sub>16</sub> et plus. En 1880, même R<sub>17</sub> à R<sub>36</sub> ont été factorisés<ref name=Dickson/> et il est curieux de constater que, bien que [[Édouard Lucas]] ait montré qu'aucun nombre premier en dessous de trois millions n'avait une période égale à dix-neuf, il n'y a eu aucune tentative en vue de tester ceci jusqu'au début du {{S-|XX}}. Le mathématicien américain Oscar Hoppe a prouvé en 1916 que R<sub>19</sub> est premier<ref>{{Article|lang=en|auteur=Richard L. Francis|titre=Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers|revue={{Lien|The College Mathematics Journal}}|vol=19|numéro=3|année=1988|p.=240-246}}.</ref> et Lehmer et Kraïtchik ont indépendamment prouvé la primalité de R<sub>23</sub> en 1929.
Des avancées dans l'étude des répunits n'ont pas eu lieu jusque dans les années 1960, quand les ordinateurs ont permis à de nombreux nouveaux facteurs de répunits d'être trouvés.
Le [[projet Cunningham]] a documenté entre autres les factorisations des répunits de base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, et 12.

== Exemples ==
<!--Faut-il considérer 0 comme le répunit R_0, comme dans A002275 ?-->
Les premiers termes de la [[Suite (mathématiques)|suite]] des répunits sont :

:[[1 (nombre)|1]], [[11 (nombre)|11]], [[111 (nombre)|111]], 1&nbsp;111, 11&nbsp;111, 111&nbsp;111, 1&nbsp;111&nbsp;111 ({{OEIS|id=A002275}}).

Les répunits en [[base 2]] (répunits binaires) sont les [[nombre de Mersenne|nombres de Mersenne]] ''M{{ind|n}}'' = 2{{exp|''n''}} – 1.

== Propriétés ==
* Les répunits en base dix sont des [[Nombre uniforme|nombres uniformes]].
*Les répunits en base {{mvar|b}} forment une [[suite de Lucas]] de paramètres [[premiers entre eux]] : {{math|1=''R''{{su2|b=''n''|p=(''b'')}} = ''U{{ind|n}}''(''b'' + 1, ''b'')}}.
*Par conséquent<ref>Mais pour un raisonnement direct, voir par exemple le devoir sur Wikiversité ([[#Voir aussi|lien en bas de page]]).</ref>, leur [[PGCD]] suit la règle de [[Suite à divisibilité faible ou forte|divisibilité forte]] : {{Retrait|<math>{\rm pgcd}(R_m^{(b)},R_n^{(b)})=R_{{\rm pgcd}(m,n)}^{(b)}</math>.}}En particulier, {{math|''R''{{su2|b=''n''|p=(''b'')}}}} est [[divisible]] par {{math|''R''{{su2|b=''m''|p=(''b'')}}}} si et seulement si {{mvar|n}} est divisible par {{mvar|m}}.

== Décomposition des répunits décimaux ==
Les facteurs premiers colorés en {{Coloré|red|rouge}} sont des "nouveaux facteurs", divisant <math>R_n</math> mais ne divisant pas <math>R_k</math> pour tout <math>k<n</math> ; {{OEIS|A102380}}<ref>Pour plus d'informations, voir {{Lien web|lang=en|url=http://stdkmd.net/nrr/repunit/|titre=Factorization of 11...11 (Repunit)|site=Studio Kamada 日本語に}}.</ref>.
{|
|
{|
|''R''<sub>1</sub> =
|1
|-
|''R''<sub>2</sub> =
|{{Coloré|red|11}}
|-
|''R''<sub>3</sub> =
|{{Coloré|red|3}} · {{Coloré|red|37}}
|-
|''R''<sub>4</sub> =
|11 · {{Coloré|red|101}}
|-
|''R''<sub>5</sub> =
|{{Coloré|red|41}} · {{Coloré|red|271}}
|-
|''R''<sub>6</sub> =
|3 · {{Coloré|red|7}} · 11 · {{Coloré|red|13}} · 37
|-
|''R''<sub>7</sub> =
|{{Coloré|red|239}} · {{Coloré|red|4649}}
|-
|''R''<sub>8</sub> =
|11 · {{Coloré|red|73}} · 101 · {{Coloré|red|137}}
|-
|''R''<sub>9</sub> =
|3<sup>2</sup> · 37 · {{Coloré|red|333667}}
|-
|''R''<sub>10</sub> =
|11 · 41 · 271 · {{Coloré|red|9091}}
|}
|
{|
|''R''<sub>11</sub> =
|{{Coloré|red|21649}} · {{Coloré|red|513239}}
|-
|''R''<sub>12</sub> =
|3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · {{Coloré|red|9901}}
|-
|''R''<sub>13</sub> =
|{{Coloré|red|53}} · {{Coloré|red|79}} · {{Coloré|red|265371653}}
|-
|''R''<sub>14</sub> =
|11 · 239 · 4649 · {{Coloré|red|909091}}
|-
|''R''<sub>15</sub> =
|3 · {{Coloré|red|31}} · 37 · 41 · 271 · {{Coloré|red|2906161}}
|-
|''R''<sub>16</sub> =
|11 · {{Coloré|red|17}} · 73 · 101 · 137 · {{Coloré|red|5882353}}
|-
|''R''<sub>17</sub> =
|{{Coloré|red|2071723}} · {{Coloré|red|5363222357}}
|-
|''R''<sub>18</sub> =
|3<sup>2</sup> · 7 · 11 · 13 · {{Coloré|red|19}} · 37 · {{Coloré|red|52579}} · 333667
|-
|''R''<sub>19</sub> =
|{{Coloré|red|{{loop|19|1}}}}
|-
|''R''<sub>20</sub> =
|11 · 41 · 101 · 271 · {{Coloré|red|3541}} · 9091 · {{Coloré|red|27961}}
|}
|
{|
|''R''<sub>21</sub> =
|3 · 37 · {{Coloré|red|43}} · 239 · {{Coloré|red|1933}} · 4649 · {{Coloré|red|10838689}}
|-
|''R''<sub>22</sub> =
|11<sup>2</sup> · {{Coloré|red|23}} · {{Coloré|red|4093}} · {{Coloré|red|8779}} · 21649 · 513239
|-
|''R''<sub>23</sub> =
|{{Coloré|red|{{loop|23|1}}}}
|-
|''R''<sub>24</sub> =
|3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · {{Coloré|red|99990001}}
|-
|''R''<sub>25</sub> =
|41 · 271 · {{Coloré|red|21401}} · {{Coloré|red|25601}} · {{Coloré|red|182521213001}}
|-
|''R''<sub>26</sub> =
|11 · 53 · 79 · {{Coloré|red|859}} · 265371653 · {{Coloré|red|1058313049}}
|-
|''R''<sub>27</sub> =
|3<sup>3</sup> · 37 · {{Coloré|red|757}} · 333667 · {{Coloré|red|440334654777631}}
|-
|''R''<sub>28</sub> =
|11 · {{Coloré|red|29}} · 101 · 239 · {{Coloré|red|281}} · 4649 · 909091 · {{Coloré|red|121499449}}
|-
|''R''<sub>29</sub> =
|{{Coloré|red|3191}} · {{Coloré|red|16763}} · {{Coloré|red|43037}} · {{Coloré|red|62003}} · {{Coloré|red|77843839397}}
|-
|''R''<sub>30</sub> =
|3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · {{Coloré|red|211}} · {{Coloré|red|241}} · 271 · {{Coloré|red|2161}} · 9091 · 2906161
|}
|}

== Répunits premiers ==
Historiquement, c'est dans le cadre des [[mathématiques récréatives]] qu'a été entreprise l'étude des répunits, en tentant notamment de les [[décomposition en produit de facteurs premiers|factoriser]]. Le projet Cunningham se propose de répertorier les factorisations des répunits en base 2<ref>{{Lien web|lang=en|url=http://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/third/pmain901|titre=Factorizations of 2^n-1, n odd, n<1200|site=cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun}}.</ref>, 3, 5, 6, 7, 10<ref>{{Lien web|lang=en|auteur=Yousuke Koide|titre=Factorizations of Repunit Numbers|url=http://www.h4.dion.ne.jp/~rep/|année=2015}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|lang=en|url=http://www.worldofnumbers.com/repunits.htm|titre=Repunits and their prime factors|site=worldofnumbers.com}}.</ref>, 11 et 12.

D'après la dernière propriété ci-dessus, {{math|''R''{{su2|b=''n''|p=(''b'')}}}} n'est [[nombre premier|premier]] que si {{math|''n''}} est premier. Mais ce n'est pas une condition suffisante, comme l'illustre ce [[contre-exemple]] en base dix :
:3 est premier mais ''R''{{ind|3}} = 111 = 3 × 37 est [[nombre composé|composé]]<ref>Explications complémentaires dans {{en}} [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Repunit Repunit] sur ''The [[Prime Pages]]'' par Chris Caldwell.</ref>.
Cependant, {{math|''R''{{su2|b=3|p=(2)}}}} = [[7 (nombre)|7]] est premier. {{math|''R''{{su2|b=3|p=(''b'')}}}} est également premier pour ''b'' égal par exemple (écrit en base dix) à 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99, 101, 105, 110, 111,… . C'est la suite {{OEIS|A002384}} ; l'écriture en base dix de {{math|''R''{{su2|b=3|p=(111)}}}} est {{nombre|12433}}.

Les répunits premiers sont assez rares (la probabilité qu'un nombre soit premier est ''a priori'' égale à l'inverse de son logarithme, donc proportionnelle à l'inverse de son nombre de chiffres ; voir [[théorème des nombres premiers]]). On [[conjecture]] cependant qu'il en existe une infinité<ref name="PlS526">{{Article |langue=français |auteur=[[Jean-Paul Delahaye]] |titre=Des nombres premiers robustes ou délicats |périodique=[[Pour la Science]] |numéro=526 |mois=août |année=2021 |date= |lire en ligne=https://www.pourlascience.fr/sr/logique-calcul/des-nombres-premiers-robustes-ou-delicats-22187.php |passage=80-85 }}.</ref>.

Ce qu'il faut noter, par rapport au [[petit théorème de Fermat]], lorsque {{math|''p''}} est premier :
''p'' divise {{math|''R''{{su2|b=''p''|p=(''b'')}} – 1}}
donc {{math|''b''{{exp|''R''{{su2|b=''p''|p=(''b'')}} – 1}} – 1}} est divisible par {{math|''R''{{su2|b=''p''|p=(''b'')}}}}.
{{retrait|<math>b^{R_p^{(b)}} \equiv b \pmod{R_p^{(b)}}</math> lorsque ''p'' est premier.}}

En base dix, on sait que ''R{{ind|n}}'' est premier pour onze valeurs de ''n'' = 2,&nbsp;19,&nbsp;23, 317, 1031,... ({{OEIS|id=A004023}}). Les six plus grands répunits en base dix premiers connus en 2022 sont ''R''{{ind|49 081}}, ''R''{{ind|86 453}}, ''R''{{ind|109 297}}, ''R''{{ind|270 343}}, ''R''{{ind|5 794 777}} et ''R''{{ind|8 177 207}} ; ce sont des [[Nombre premier probable|nombres premiers probables]]<ref name = "PlS526"/>{{,}}<ref>{{Lien web|lang=en
  | url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=57|titre=Repunit|site=primes.utm.edu/top20
  }}.</ref>.

La liste des nombres premiers qui sont des repunits dans au moins une base (incluant donc les nombres de Mersenne premiers) est répertoriée comme {{OEIS|A085104}}.

Tout répunit premier est trivialement [[nombre premier permutable|premier permutable]], c'est-à-dire qu'il reste premier après toute [[permutation]] de ses chiffres dans la base considérée, puisque ceux-ci sont identiques. En base dix, après 991, les seuls premiers permutables connus sont des repunits mais ce fait n'est pas démontré dans sa généralité<ref name = "PlS526"/>. 

Si {{math|''n''}} et {{math|''b''}} sont [[premiers entre eux]], au moins l'un des répunits {{math|''R''{{su2|b=1|p=(''b'')}}, … , ''R''{{su2|b=''n''|p=(''b'')}}}} est un multiple de {{math|''n''}}.{{Démonstration/début}}
[[Raisonnement par l'absurde|Raisonnons par l'absurde]] en supposant qu'aucun de ces {{math|''n''}} nombres n'est divisible par {{math|''n''}}. Alors (d'après le [[principe des tiroirs]] et puisqu'il n'y a que {{math|''n'' – 1}} [[Congruence sur les entiers|classes de congruence mod {{math|''n''}}]] non nulles) deux d'entre eux sont dans la même classe, c'est-à-dire qu'il existe des entiers {{math|''i''}} et {{math|''j''}}, avec {{math|1 ≤ ''i'' < ''j'' ≤ ''n''}}, tels que {{math|''n''}} divise {{math|1=''R''{{su2|b=''j''|p=(''b'')}} – ''R''{{su2|b=''i''|p=(''b'')}} = ''R''{{su2|b=''j – i''|p=(''b'')}} × ''b{{exp|i}}''}} donc (d'après le [[Lemme d'Euclide|lemme de Gauss]]) {{math|''n''}} divise {{math|''R''{{su2|b=''j – i''|p=(''b'')}}}}, ce qui contredit l'hypothèse initiale.
{{Démonstration/fin}}

== Honneur ==
L'[[astéroïde]] {{PM1|11111|Repunit}} porte le nom de ces nombres<ref>[http://www.minorplanetcenter.net/db_search/show_object?object_id=11111 (11111) Repunit = 1997 EC35 = 1995 WL], [[Centre des planètes mineures]], consulté le {{date|22 août 2024}}.</ref>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Repunit|927970143|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|v=Arithmétique/Devoir/Nombres polymonadiques|wikiversity titre=Devoir corrigé : Nombres polymonadiques}}
=== Articles connexes ===
* [[Conjecture de Feit-Thompson]]
* [[Reimerp]]
* [[Nombre de Demlo]]

=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Paulo Ribenboim]]|titre=The New Book of Prime Number Records|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=1996|pages totales=541|isbn=978-0-387-94457-9}}.
* {{Ouvrage|auteur1=[[Michel Demazure]]|titre=Cours d'algèbre. Primalité Divisibilité. Codes|éditeur=Cassini|année=2008|référence simplifiée=Référence:Cours d'algèbre (Demazure)}}
{{commentaire biblio|Ce livre contient de nombreux  algorithmes écrits en [[Ruby]], en particulier des [[test de primalité|tests de primalité]] pour les répunits}}

=== Liens externes ===

* {{MathWorld|nom_url=Repunit|titre=Repunit}}
* [[oeis:A085104|Les nombres brésiliens]], s'écrivant avec des chiffres tous égaux, dans Quadrature 76
{{Palette|Classes de nombres premiers}}
{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Mathématiques récréatives]]
[[Catégorie:Nombre premier]]
[[Catégorie:Éponyme d'un objet céleste]]