Répunit

Dans le domaine des mathématiques récréatives, un répunit est un entier naturel dont l'écriture, dans une certaine base entière, ne comporte que des chiffres 1. C'est donc un cas particulier de nombre uniforme.

Ce terme est la francisation de l'anglais Modèle:Lang, contraction de l'expression Modèle:Lang (unité répétée), proposée en 1966 par Albert H. Beiler.

En français ont été proposées les appellations « nombre polymonadique », « multi-as », ou « répun » mais c'est l'anglicisme qui reste le plus utilisé.

Définition

Les répunits en base dix sont définis par :

$R_n=\frac{10^n-1}{9}\text{pour }n\ge 1.$

Plus généralement, ils sont donnés en base b, par :

$R_n^{(b)}=\frac{b^n-1}{b-1}=\sum _{k=0}^{n-1}{b}^k\text{pour }n\ge 1.$

Ainsi, le nombre Modèle:Math s'écrit comme la juxtaposition de Modèle:Math chiffres Modèle:Math.

Histoire

Bien que n'étant pas encore connus sous ce nom, les répunits en base dix ont été étudiés par de nombreux mathématiciens au cours du Modèle:S-, dans un effort pour élaborer et prédire les tendances cycliques du développement décimal périodique.

Il a été trouvé très tôt que, pour tout nombre premier p supérieur à 5, la période du développement décimal de 1/p est égale à la longueur du plus petit répunit divisible par p. Les tableaux de la période de réciprocité des nombres premiers jusqu'à Modèle:Nombre ont été publiés en 1860, et ont permis la factorisation, par des mathématiciens comme Reuschle, de tous les répunits jusqu'à R₁₆ et plus. En 1880, même R₁₇ à R₃₆ ont été factorisés et il est curieux de constater que, bien que Édouard Lucas ait montré qu'aucun nombre premier en dessous de trois millions n'avait une période égale à dix-neuf, il n'y a eu aucune tentative en vue de tester ceci jusqu'au début du Modèle:S-. Le mathématicien américain Oscar Hoppe a prouvé en 1916 que R₁₉ est premier et Lehmer et Kraïtchik ont indépendamment prouvé la primalité de R₂₃ en 1929. Des avancées dans l'étude des répunits n'ont pas eu lieu jusque dans les années 1960, quand les ordinateurs ont permis à de nombreux nouveaux facteurs de répunits d'être trouvés. Le projet Cunningham a documenté entre autres les factorisations des répunits de base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, et 12.

Exemples

Les premiers termes de la suite des répunits sont :

1, 11, 111, 1 111, 11 111, 111 111, 1 111 111 (Modèle:OEIS).

Les répunits en base 2 (répunits binaires) sont les nombres de Mersenne MModèle:Ind = 2Modèle:Exp – 1.

Propriétés

• Les répunits en base dix sont des nombres uniformes.
• Les répunits en base Modèle:Mvar forment une suite de Lucas de paramètres premiers entre eux : Modèle:Math.
• Par conséquent, leur PGCD suit la règle de divisibilité forte : Modèle:RetraitEn particulier, Modèle:Math est divisible par Modèle:Math si et seulement si Modèle:Mvar est divisible par Modèle:Mvar.

Décomposition des répunits décimaux

Les facteurs premiers colorés en Modèle:Coloré sont des "nouveaux facteurs", divisant $R_n$ mais ne divisant pas $R_k$ pour tout $k<n$ ; Modèle:OEIS.

R1 = 1 R2 = Modèle:Coloré R3 = Modèle:Coloré · Modèle:Coloré R4 = 11 · Modèle:Coloré R5 = Modèle:Coloré · Modèle:Coloré R6 = 3 · Modèle:Coloré · 11 · Modèle:Coloré · 37 R7 = Modèle:Coloré · Modèle:Coloré R8 = 11 · Modèle:Coloré · 101 · Modèle:Coloré R9 = 32 · 37 · Modèle:Coloré R10 = 11 · 41 · 271 · Modèle:Coloré

R11 = Modèle:Coloré · Modèle:Coloré R12 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · Modèle:Coloré R13 = Modèle:Coloré · Modèle:Coloré · Modèle:Coloré R14 = 11 · 239 · 4649 · Modèle:Coloré R15 = 3 · Modèle:Coloré · 37 · 41 · 271 · Modèle:Coloré R16 = 11 · Modèle:Coloré · 73 · 101 · 137 · Modèle:Coloré R17 = Modèle:Coloré · Modèle:Coloré R18 = 32 · 7 · 11 · 13 · Modèle:Coloré · 37 · Modèle:Coloré · 333667 R19 = Modèle:Coloré R20 = 11 · 41 · 101 · 271 · Modèle:Coloré · 9091 · Modèle:Coloré

R21 = 3 · 37 · Modèle:Coloré · 239 · Modèle:Coloré · 4649 · Modèle:Coloré R22 = 112 · Modèle:Coloré · Modèle:Coloré · Modèle:Coloré · 21649 · 513239 R23 = Modèle:Coloré R24 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · Modèle:Coloré R25 = 41 · 271 · Modèle:Coloré · Modèle:Coloré · Modèle:Coloré R26 = 11 · 53 · 79 · Modèle:Coloré · 265371653 · Modèle:Coloré R27 = 33 · 37 · Modèle:Coloré · 333667 · Modèle:Coloré R28 = 11 · Modèle:Coloré · 101 · 239 · Modèle:Coloré · 4649 · 909091 · Modèle:Coloré R29 = Modèle:Coloré · Modèle:Coloré · Modèle:Coloré · Modèle:Coloré · Modèle:Coloré R30 = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · Modèle:Coloré · Modèle:Coloré · 271 · Modèle:Coloré · 9091 · 2906161

Répunits premiers

Historiquement, c'est dans le cadre des mathématiques récréatives qu'a été entreprise l'étude des répunits, en tentant notamment de les factoriser. Le projet Cunningham se propose de répertorier les factorisations des répunits en base 2, 3, 5, 6, 7, 10Modèle:,, 11 et 12.

D'après la dernière propriété ci-dessus, Modèle:Math n'est premier que si Modèle:Math est premier. Mais ce n'est pas une condition suffisante, comme l'illustre ce contre-exemple en base dix :

3 est premier mais RModèle:Ind = 111 = 3 × 37 est composé.

Cependant, Modèle:Math = 7 est premier. Modèle:Math est également premier pour b égal par exemple (écrit en base dix) à 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99, 101, 105, 110, 111,… . C'est la suite Modèle:OEIS ; l'écriture en base dix de Modèle:Math est Modèle:Nombre.

Les répunits premiers sont assez rares (la probabilité qu'un nombre soit premier est a priori égale à l'inverse de son logarithme, donc proportionnelle à l'inverse de son nombre de chiffres ; voir théorème des nombres premiers). On conjecture cependant qu'il en existe une infinité.

Ce qu'il faut noter, par rapport au petit théorème de Fermat, lorsque Modèle:Math est premier : p divise Modèle:Math donc Modèle:Math est divisible par Modèle:Math. Modèle:Retrait

En base dix, on sait que RModèle:Ind est premier pour onze valeurs de n = 2, 19, 23, 317, 1031,... (Modèle:OEIS). Les six plus grands répunits en base dix premiers connus en 2022 sont RModèle:Ind, RModèle:Ind, RModèle:Ind, RModèle:Ind, RModèle:Ind et RModèle:Ind ; ce sont des nombres premiers probablesModèle:,.

La liste des nombres premiers qui sont des repunits dans au moins une base (incluant donc les nombres de Mersenne premiers) est répertoriée comme Modèle:OEIS.

Tout répunit premier est trivialement premier permutable, c'est-à-dire qu'il reste premier après toute permutation de ses chiffres dans la base considérée, puisque ceux-ci sont identiques. En base dix, après 991, les seuls premiers permutables connus sont des repunits mais ce fait n'est pas démontré dans sa généralité.

Si Modèle:Math et Modèle:Math sont premiers entre eux, au moins l'un des répunits Modèle:Math est un multiple de Modèle:Math.Modèle:Démonstration/début Raisonnons par l'absurde en supposant qu'aucun de ces Modèle:Math nombres n'est divisible par Modèle:Math. Alors (d'après le principe des tiroirs et puisqu'il n'y a que Modèle:Math [[Congruence sur les entiers|classes de congruence mod Modèle:Math]] non nulles) deux d'entre eux sont dans la même classe, c'est-à-dire qu'il existe des entiers Modèle:Math et Modèle:Math, avec Modèle:Math, tels que Modèle:Math divise Modèle:Math donc (d'après le lemme de Gauss) Modèle:Math divise Modèle:Math, ce qui contredit l'hypothèse initiale. Modèle:Démonstration/fin

Honneur

L'astéroïde Modèle:PM1 porte le nom de ces nombres.

Voir aussi

Articles connexes

• Conjecture de Feit-Thompson
• Reimerp
• Nombre de Demlo

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage

Liens externes

• Modèle:MathWorld
• Les nombres brésiliens, s'écrivant avec des chiffres tous égaux, dans Quadrature 76