Suite à divisibilité faible ou forte

En mathématiques, la notion de suite à divisibilité faible ou forte est une notion concernant une suite d'entiers $(a_n{)}_{n⩾1}$ reliant la divisibilité de ses termes à celle de ses indices.

Définitions et premiers exemples

La suite $(a_n)$ est à divisibilité faible si pour tous entiers Modèle:Mvar, Modèle:Mvar > 0, $a_{kn}$ est un multiple de $a_n$, ou, autrement dit :

$\text{si }n\mid m\text{ alors }{a}_n\mid a_m$.

Le concept peut être généralisé à des suites à valeurs dans un anneau.

En notant $n\wedge m=\mathrm{pgcd}(n,m)$, une telle suite vérifie donc pour tous Modèle:Mvar, m :

$a_{n\wedge m}\mid a_n\wedge a_m$.

Un exemple simple en est la suite $(a^n-b^n)$ avec Modèle:Mvar et Modèle:Mvar entiers, car $a^{kn}-b^{kn}=(a^n{)}^k-(b^n{)}^k$ est divisible par $a^n-b^n$ d'après la formule de Bernoulli.

La suite $(a_n)$ est à divisibilité forte si pour tous entiers Modèle:Mvar, m > 0,

$a_n\wedge a_m=|a_{n\wedge m}|$.

Dans le cas où l'application $n\mapsto a_n$ est à valeurs positives, cela signifie que cette application est un morphisme pour la loi pgcd.

Toute suite à divisibilité forte est à divisibilité faible car $n\mid m$ si et seulement si $\mathrm{pgcd}(n,m)=n$.

En plus de l'exemple trivial des suites constantes, un exemple simple est donné par les suites du type $a_n=kn,$ car $kn\wedge km=k(n\wedge m)$.

Exemples

Toute suite de Lucas du premier type Modèle:Formule est à divisibilité faible, et à divisibilité forte si et seulement si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont premiers entre eux. Une démonstration se trouve dans la page sur les suites de Lucas.

En particulier sont à divisibilité forte :

• La suite de Fibonacci $(F_n)=U(1,-1)$.
• La suite de Pell $(P_n)=U(2,-1)$.
• La suite des nombres de Mersenne $(2^n-1)=U(2,1)$.
• Plus généralement la suite des répunit en base b $(R_n^b)=U(b+1,b)$.
• Encore plus généralement la suite $\left(\frac{a^n-b^n}{a-b}\right)=U(a+b,ab)$ avec Modèle:Mvar et Modèle:Mvar entiers premiers entre eux.

Voir aussi

• Les Modèle:Lien, qui sont à divisibilité faible.
• Les fonctions arithmétiques complètement multiplicatives, qui sont des morphismes pour le produit, au lieu du pgcd.