Suite de Pell

Construction graphique de la suite d'entiers de Pell

En mathématiques, la suite de Pell et la suite de Pell-Lucas sont respectivement les suites d'entiers U(2, –1) et V(2, –1), cas particulier de suites de Lucas.

La première est aussi la 2-suite de Fibonacci.

Leurs termes sont dénommés respectivement nombres de Pell et nombres de Pell-Lucas.

Définitions

La suite de Pell $(P_n)$ et la suite de Pell-Lucas $(Q_n)$ sont définies par récurrence linéaire double :

$P_n=\{\begin{array}{cc}0& \text{pour }n=0,\\ 1& \text{pour }n=1,\\ 2P_{n-1}+P_{n-2}& \text{pour }n\ge 2\end{array}\mathrm{e}\mathrm{t}{Q}_n=\{\begin{array}{cc}2& \text{pour }n=0,\\ 2& \text{pour }n=1,\\ 2Q_{n-1}+Q_{n-2}& \text{pour }n\ge 2.\end{array}$

Autrement dit : on commence par 0 et 1 pour la première suite et par 2 et 2 pour la seconde, et dans chacune des deux suites, on produit le terme suivant en additionnant deux fois le dernier à l'avant-dernier.

On peut aussi écrire : $P_n=F_n(2)$ et $Q_n=L_n(2)$ où $F_n$ et $L_n$ sont respectivement les polynômes de Fibonacci et de Lucas d'indice $n$.

Quelques valeurs

Les dix premiers nombres de Pell sont 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408 et 985 et les dix premiers nombres de Pell-Lucas sont 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1 154 et 2 786 (pour les Modèle:Nombre premiers, voir les suites Modèle:OEIS2C et Modèle:OEIS2C de l'OEIS).

Les $Q_n$ étant tous pairs, c'est parfois plutôt les $Q_n/2$ qu'on appelle nombres de Pell-Lucas.

La sous-suite des termes premiers de la suite de Pell est formée des nombres

2, 5, 29, 5 741Modèle:Etc. (pour les 23 premiers termes, voir Modèle:OEIS2C)

et les indices correspondants (nécessairement premiers) sont

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191Modèle:Etc. (pour les 31 premiers, voir Modèle:OEIS2C).

Terme général

Les termes généraux de ces deux suites sont donnés respectivement par les formules  :

$P_n=U_n(2,-1)=\frac{(1+\sqrt{2}{)}^n-(1-\sqrt{2}{)}^n}{2\sqrt{2}}\mathrm{e}\mathrm{t}{Q}_n=V_n(2,-1)=(1+\sqrt{2}{)}^n+(1-\sqrt{2}{)}^n.$

Lien avec le nombre d'argent

Les puissances successives du nombre d'argent 1 + Modèle:Sqrt sont donc voisines des nombres de Pell-Lucas quand $n$ est grand, et leurs quotients par $2\sqrt{2}$ voisins des nombres de Pell.

Par exemple :

$(1+\sqrt{2}{)}^2\simeq 5,8\simeq 6=Q_2,$

$(1+\sqrt{2}{)}^4\simeq 33,97\simeq 34=Q_4,$

$(1+\sqrt{2}{)}^8\simeq 1153,999\simeq 1154=Q_8$

Plus précisément,

• $P_n=\lfloor \frac{(1+\sqrt{2}{)}^n}{2\sqrt{2}}\rceil$ pour tout $n$, où $\lfloor .\rceil$ désigne l 'entier le plus proche,

• $Q_n=\lceil (1+\sqrt{2}{)}^n\rceil$ pour tout $n⩾2$, où $\lceil .\rceil$ désigne la partie entière supérieure.

Voir aussi

• Suite de Fibonacci et suite de Lucas, deux autres cas particuliers de suites de Lucas
• Nombres de Delannoy dont les sommes diagonales donnent les nombres de Pell
• Nombres triangulaires carrés