Voir la source de Racine carrée d'un entier naturel

En [[mathématiques]], la<ref group=alpha>On peut noter que dans le [[Corps commutatif|corps]] des [[nombre réel|nombres réels]], un [[entier naturel]] <math>N</math> non nul est le carré de ''deux'' réels opposés. Celui des deux qui est positif est noté <math>\sqrt N</math>, et c'est lui que l'on appelle ''la'' racine carrée de <math>N</math> – l'autre est son opposé, <math>-\sqrt N</math> (négatif). Tous deux peuvent être appelés racines carrées de <math>N</math> mais ce n'est pas usuel parce qu'il n'y a une façon standard (pour ne pas dire canonique) d'en choisir un – celui qui est positif.</ref> '''racine carrée d'un entier naturel''' <math>N</math> est le [[nombre réel]] [[Nombre positif|positif]] ou [[zéro|nul]] qui, multiplié par lui-même, donne cet entier. Elle se note <math>\sqrt N</math> ou <math>N^{1/2}</math>. La racine carrée d'un entier positif est positive, la racine carrée de [[zéro]] est nulle.

La racine carrée de <math>N</math> est un [[nombre algébrique]], [[entier naturel|entier]] ou bien [[nombre irrationnel|irrationnel]].

== Construction géométrique ==
[[Fichier:Root_rectangles_up_to_6.png|vignette|300x300px|Ces rectangles illustrent une construction à la règle et au compas de <math>\sqrt N</math> pour <math>N</math> allant de 2 à 7.]]
En [[Géométrie euclidienne|géométrie plane]], <math>\sqrt N</math> peut par exemple être [[Construction à la règle et au compas|construit à la règle et au compas]] via la suite de [[Rectangle|rectangles]] illustrée ci-contre<ref name="hambidge2">{{Ouvrage|prénom1=Jay|nom1=Hambidge|titre=Dynamic Symmetry: The Greek Vase|lieu=Whitefish, MT|éditeur=Kessinger Publishing|année=1920|passage=19-29|pages totales=192|isbn=0-7661-7679-7|lire en ligne=https://archive.org/details/bub_gb_Qq4gAAAAMAAJ/page/n29|extrait=Dynamic Symmetry root rectangles.}}</ref>{{,}}<ref name="ghyka2">{{Ouvrage|prénom1=Matila|nom1=Ghyka|titre=The Geometry of Art and Life|éditeur=Courier Dover Publications|année=1977|pages totales=206|passage=126-128]|isbn=9780486235424|lire en ligne=https://archive.org/details/geometryofartlif00mati/page/126|accès url=inscription}}.</ref>{{,}}<ref name="fletcher2">{{Ouvrage|prénom1=Rachel|nom1=Fletcher|titre=Infinite Measure: Learning to Design in Geometric Harmony with Art, Architecture, and Nature|éditeur=George F Thompson Publishing|date=2013|isbn=978-1-938086-02-1|lire en ligne=https://infinitemeasure.com/publications/infinite-measure/}}.</ref>, ou via la [[spirale de Théodore]].

== Irrationalité ==
Si un entier <math>N</math> est carré d'un [[nombre rationnel]], alors <math>\sqrt{N}</math> est un entier. On peut le déduire de la proposition 8 du [[Livre VIII des Éléments d'Euclide|livre VIII]] des ''[[Éléments d'Euclide|Éléments]]'' d'[[Euclide]]<ref>{{en}} [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVIII/propVIII8.html Euclid's Elements, Book VIII, Proposition 8], par David E. Joyce.</ref>. Des preuves usuelles font appel au [[lemme d'Euclide]], au [[Lemme d'Euclide|lemme de Gauss]] ou même au [[théorème fondamental de l'arithmétique]]<ref>{{Lien web |prénom1=Jérôme |nom1=von Buhren |titre=L'irrationalité d’une racine carrée et d'un quotient de logarithmes |url=http://vonbuhren.free.fr/Prepa/Problemes/Irrationalite_racine_carree_quotient_logarithmes.pdf}}.</ref>. Mais d'autres, plus astucieuses, n'utilisent que des connaissances [[arithmétique]]s minimales, comme celle de [[Richard Dedekind]]<ref>{{Lien web|lang=en|titre=Square root of 2 is irrational|url=http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml|site=[[Cut The Knot]]}}.</ref> ou la suivante, essentiellement due à [[Theodor Estermann]]<ref>{{Lien web|lang=en|auteur=Attila Máté|url=http://www.sci.brooklyn.cuny.edu/~mate/misc/sqrt.pdf|titre=Irrationality of square roots|site=[[Brooklyn College]]}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|lang=en|auteur=Harley Flanders|url={{Google Livres|_g5TvMCJQB4C<!--ou s0g6tQEACAAJ-->|page=109}}|titre=Math bite: irrationality of {{sqrt|''m''}}|revue=[[Mathematics Magazine|Math. Mag.]]|vol=72|année=1999|p.=235}}.</ref> :

:Soit <math>N</math> un entier naturel dont la racine carrée est un rationnel, que l'on écrit sous la forme <math>\frac{a}{b}</math> avec <math> b</math> le plus petit possible (c'est-à-dire que <math>b</math> est le plus petit entier strictement positif  dont le produit par <math>\sqrt N</math> est entier), et soit <math>n</math> la [[partie entière]] de <math>\sqrt N</math>. Alors, l'entier <math>r :=  a-nb</math> vérifie : <math>0 \leqslant r <b </math> et <math>r\sqrt N </math> est entier. Par minimalité de <math>b</math>, <math>r=0</math>  donc <math>\sqrt N=n</math>.

Une démonstration plus classique, mais qui se généralise aux racines ''n''-ièmes d'un entier naturel{{Sfnp|Guinot|1992|p=95}}, et même aux [[entier algébrique|entiers algébriques]]{{Sfnp|Guinot|1992|p=95-96}}, repose sur le [[lemme d'Euclide]] :
:Supposons que <math display="inline">\sqrt{N}</math> est rationnel, c'est-à-dire qu'il existe {{mvar|a}} et {{mvar|b}} tels que <math display="inline">a^2=Nb^2</math>. Quitte à diviser par leur [[Plus grand commun diviseur de nombres entiers|pgcd]], {{mvar|a}} et {{mvar|b}} peuvent être supposés premiers entre eux. Un diviseur premier de <math display="inline">b</math> diviserait <math display="inline">a^2</math> donc diviserait <math display="inline">a</math> d'après le [[lemme d'Euclide]], donc <math display="inline">b=1</math> (tout nombre supérieur à 2 possède un diviseur premier) et {{mvar|N}} est un carré parfait{{Sfnp|Guinot|1992|p=94}}.

== Développement dans une base ==
Si <math>N</math> n'est pas un [[carré parfait]], <math>\sqrt N</math> est [[Nombre irrationnel|irrationnel]] et son [[Base (arithmétique)#Développement en base entière|développement en base]] <math>b\geqslant2</math> est non périodique. [[Émile Borel]] a [[Conjecture|conjecturé]] en 1909, puis en 1950 que ce développement est [[Nombre normal#Propriétés et exemples|normal]], comme pour tout irrationnel [[Nombre algébrique|algébrique]]<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Davar|nom1=Khoshnevisan|titre=Normal numbers are normal|revue=[[Clay Mathematics Institute|CMI]] Annual Report|p.=15, 27-31|année=2006|url=http://www.claymath.org/library/annual_report/ar2006/06report_normalnumbers.pdf}}.</ref>, à savoir que tout bloc de chiffres consécutifs (par exemple 010) apparaît avec la même fréquence limite que n'importe lequel des blocs de même longueur. À ce jour, on ne sait en fait même pas démontrer qu'un chiffre donné apparaît une infinité de fois dans le développement<ref name=":22">{{Ouvrage|prénom1=Jean-Paul|nom1=Delahaye|lien auteur1=Jean-Paul Delahaye|titre=Nombre pi : malgré les progrès des sciences, il reste une énigme|éditeur=[[Groupe Le Monde|Le Monde]] / Belin|année=2024|passage=52-55}}.</ref>.

== Développements en fraction continue ==
=== Fraction continue simple ===
Comme pour tout [[irrationnel quadratique]] (solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), le développement en fraction continue simple de <math>\sqrt N</math>, avec <math>N</math> non carré, est périodique. Et plus précisément, d'après le [[Fraction continue d'un irrationnel quadratique#Palindrome|théorème de Legendre]], ce développement a la forme : <math>\sqrt N = [a_0, \overline{a_1, a_2, a_3 \cdots,a_p}]=[a_0, \overline{a_1, a_2, a_3 \cdots,a_3,a_2,a_1, 2a_0}]</math> : la période, de longueur <math>p</math>, forme un [[palindrome]] de longueur <math>p-1</math> suivi du double de la partie entière{{Sfnp|Guinot|1996|p=101}}{{,}}<ref>{{Ouvrage|prénom1=Jean|nom1=Trignan|titre=Introduction aux problèmes d'approximation|sous-titre=fractions continues, différences finies|éditeur=Éditions du Choix|année=1994|passage=58|isbn=978-2-909028-16-3}}.</ref>. Voici des exemples :
{| class="wikitable"
|+
!<math>N</math>
!2
!3
!5
!6
!7
!8
!10
|-
|Développement de <math>\sqrt N</math>
|<math>\sqrt2=[1,\overline2]</math>
|<math>\sqrt3=[1,\overline{1,2}]</math>
|<math>\sqrt5=[2,\overline{4}]</math>
|<math>\sqrt6=[2,\overline{2,4}]</math>
|<math>\sqrt7=[2, \overline{1, 1, 1, 4}]</math>
|<math>\sqrt8=[2,\overline{1,4}]</math>
|<math>\sqrt{10}=[3, \overline{6}]</math>
|-
|Page wikipedia
|[[Racine de 2]]
|[[Racine carrée de trois|Racine de 3]]
|[[Racine carrée de 5|Racine de 5]]
|[[Racine carrée de six|Racine de 6]]
|[[Racine carrée de sept|Racine de 7]]
|
|
|-
|Suite des numérateurs réduits des réduites
|{{OEIS2C|A001333}}
|{{OEIS2C|A002531}}
|{{OEIS2C|A001077}}
|{{OEIS2C|A041006}}
|{{OEIS2C|A041008}}
|{{OEIS2C|A041010}}
|{{OEIS2C|A005667}}
|-
|Suite des dénominateurs
|{{OEIS2C|A000129}}
|{{OEIS2C|A002530}}
|{{OEIS2C|A001076}}
|{{OEIS2C|A041007}}
|{{OEIS2C|A041009}}
|{{OEIS2C|A041011}}
|{{OEIS2C|A005668}}
|}
{| class="wikitable"
|+
!<math>N</math>
!11
!12
!13
!19
!29
|-
|Développement de <math>\sqrt N</math>
|<math>\sqrt{11}=[3,\overline{3,6}]</math>
|<math>\sqrt{12}=[3,\overline{2,6}]</math>
|<math>\sqrt{13}=[3, \overline{1, 1, 1,1,6}]</math>
|<math>\sqrt{19}=[4, \overline{2,1,3,1,2,8}]</math>
|<math>\sqrt{29}=[5, \overline{2,1,1,2,10}]</math>
|-
|Suite des numérateurs réduits des réduites
|{{OEIS2C|A041014}}
|{{OEIS2C|A041016}}
|{{OEIS2C|A041018}}
|{{OEIS2C|A041028}}
|{{OEIS2C|A041046}}
|-
|Suite des dénominateurs
|{{OEIS2C|A041015}}
|{{OEIS2C|A041017}}
|{{OEIS2C|A041019}}
|{{OEIS2C|A041029}}
|{{OEIS2C|A041047}}
|}
La liste des développements en fraction continue des racines carrées des nombres de 2 à 165 est donnée dans {{Harvard|Guinot|1996|p=101}}. La liste des longueurs des périodes de ces développements est la {{OEIS|A003285}}.

La suite des réduites, définie par <math>u_n=[a_0,a_1,\cdots,a_n]</math> est une [[Limites de référence#Suites homographiques|suite récurrente homographique]] définie par <math>u_k=[a_0,\cdots,a_k]</math> pour <math>0\leqslant k\leqslant p-1</math> et <math>u_{n+p}=[a_0,a_1, a_2, \cdots a_{p-1}, a_0+u_n]</math>.

Écrivant la réduite <math>u_n</math> de <math>\sqrt N</math> sous forme irréductible <math>\frac{h_n}{k_n}</math>, les entiers  <math>h_{pn-1}\text{ et }k_{pn-1}</math> sont définis par <math>h_{pn-1}+k_{pn-1}\sqrt N=(h_{p-1}+k_{p-1}\sqrt N)^n</math>{{Sfnp|Jaboeuf|1985|p=24-28}}. De plus, si <math>p</math> est impair, <math>h_{pn-1}^2-Nk_{pn-1}^2=(-1)^n</math> et si <math>p</math> est pair, <math>h_{pn-1}^2-Nk_{pn-1}^2=1</math>{{Sfnp|Jaboeuf|1985|p=24-28}}, voir l'article sur l'[[Équation de Pell-Fermat#Fraction continue|équation de Pell-Fermat]].

Cas particuliers :
* la période est de longueur 1 pour <math>N=a^2+1</math> :  <math>\sqrt{a^2+1}=[a,\overline{2a}] </math> ; les réduites sont définies par <math>u_0=a,u_{n+1}=a+\frac1{a+u_n}=\frac{au_n+a^2+1}{u_n+a}</math> et <math>h_{n}+k_{n}\sqrt N=(a+\sqrt N)^{n+1} </math> ;
* la période est de longueur 2 pour <math>N=a^2+\frac{2a}b</math>, <math>b</math> diviseur strict de <math>2a</math> : <math>\sqrt{a^2+\frac{2a}b}=[a,\overline{b,2a}] </math>.

Les entiers <math>N</math> tels que la période du développement de <math>\sqrt N</math> est de longueur 1 ou 2 sont : 2, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 15, 17, 18, 20,..., cf. la {{OEIS|A320773}}.

=== Fraction continue généralisée ===
La [[Raphaël Bombelli#Méthode de calcul des racines carrées|méthode de Bombelli]] utilisant pour <math>a>0</math> la relation <math>\sqrt N=a+\frac{N-a^2}{a+\sqrt N}</math> permet d'obtenir le développement en [[Fraction continue généralisée|fraction continue généralisée suivant]] :<math>\sqrt N=\ a + \frac{N-a^2}{2a + \frac{N-a^2}{2a + \frac{N-a^2}{2a + \ddots}}}=
a + \frac{N-a^2 \mid}{\mid 2a} + \frac{N-a^2 \mid}{\mid 2a} +\cdots</math>.

Les réduites forment la suite <math>(v_n)</math> définie par <math>v_0=a,v_{n+1}=a+\frac{N-a^2}{a+v_n}=\frac{N+av_n}{a+v_n}</math><ref name=":1">{{Lien web |prénom1=Florence|nom1=Gabarra|prénom2=Cécile|nom2=Julaud-Goisnard|titre=Comparaison des suites de Héron et de Bombelli |url=http://docs.irem.univ-paris-diderot.fr/up/MATH_Histoire/comparaison_heron_bombelli.pdf |site=IREM de Paris}}.</ref>.

Si <math>N=a^2+1</math> , ce développement donne le développement en fraction continue simple : <math>\sqrt {a^2+1}=\ a + \frac1{2a + \frac1 {2a + \ddots}}=[a,\overline{2a}]</math>.

=== Méthode de Héron ===
Par la [[méthode de Héron]], {{Racine|''N''}} est la limite de la suite définie par {{Formule||§=''x''<sub>0</sub> {{=}} ''a'' > 0}} et  {{Formule||§=''x''<sub>''n''+1</sub> {{=}} {{sfrac|1|2}}{{big|{{big|(}}}}''x''<sub>''n''</sub> + {{sfrac|''N''|''x''<sub>''n''</sub>}}{{big|{{big|)}}}}}} qui a une [[Vitesse de convergence des suites|vitesse de convergence quadratique]] (le nombre de chiffres exacts est à peu près doublé à chaque itération).

La suite <math>(x_n)</math> est une [[sous-suite]] de la suite <math>(v_n)</math> des réduites du développement de Bombelli ci-dessus initialisée au même réel <math>a</math>. Précisément : <math>x_n=v_{2^{n}-1}</math><ref name=":1" />.

La suite <math>(x_n)</math> initialisée à <math>x_0=u_{p-1}=[a_0,a_1,\cdots,a_{p-1}]</math> est une sous-suite de la suite <math>(u_n) </math> des réduites du développement en fraction continue simple. Précisément, <math>x_n=u_{(p\cdot2^n-1)}</math>{{Sfnp|Jaboeuf|1985|p=24-28}}.

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références| groupe=alpha}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|auteur1=Marc Guinot|titre=Arithmétique pour amateurs |sous-titre=Pythagore, Euclide et toute la clique|tome=1|lieu=Lyon|éditeur=Aléas|année=1992|pages totales=180|isbn=2-908016-21-4}}
* {{Ouvrage|auteur1=Marc Guinot|titre=Arithmétique pour amateurs |sous-titre=une époque de transition, Lagrange et Legendre|tome=4|lieu=Lyon|éditeur=Aléas|année=1996|pages totales=327}}
* {{Ouvrage|auteur1=François Jaboeuf|titre=Les Fractions continues|lieu=Montpellier|éditeur=IREM de Montpellier|année=1985}}

=== Articles connexes ===
* [[Racine carrée]]
* [[Histoire de la racine carrée]]
* [[Racine carrée de deux|Racine carrée de 2]]
* [[Racine carrée de trois|Racine carrée de 3]]
* [[Racine carrée de cinq|Racine carrée de 5]]
* [[Racine carrée de six|Racine carrée de 6]]
* [[Racine carrée de sept|Racine carrée de 7]]
* [[Fraction continue d'un irrationnel quadratique]]

{{Portail|nombre}}

[[Catégorie:Racine carrée]]
[[Catégorie:Constante mathématique]]