Racine carrée d'un entier naturel

En mathématiques, la^{[alpha 1]} racine carrée d'un entier naturel $N$ est le nombre réel positif ou nul qui, multiplié par lui-même, donne cet entier. Elle se note $\sqrt{N}$ ou $N^{1 / 2}$ . La racine carrée d'un entier positif est positive, la racine carrée de zéro est nulle.

La racine carrée de $N$ est un nombre algébrique, entier ou bien irrationnel.

Construction géométrique

En géométrie plane, $\sqrt{N}$ peut par exemple être construit à la règle et au compas via la suite de rectangles illustrée ci-contre^[1]Modèle:,^[2]Modèle:,^[3], ou via la spirale de Théodore.

Irrationalité

Si un entier $N$ est carré d'un nombre rationnel, alors $\sqrt{N}$ est un entier. On peut le déduire de la proposition 8 du livre VIII des Éléments d'Euclide^[4]. Des preuves usuelles font appel au lemme d'Euclide, au lemme de Gauss ou même au théorème fondamental de l'arithmétique^[5]. Mais d'autres, plus astucieuses, n'utilisent que des connaissances arithmétiques minimales, comme celle de Richard Dedekind^[6] ou la suivante, essentiellement due à Theodor Estermann^[7]Modèle:,^[8] :

Soit

N

un entier naturel dont la racine carrée est un rationnel, que l'on écrit sous la forme

\frac{a}{b}

avec

b

le plus petit possible (c'est-à-dire que

b

est le plus petit entier strictement positif dont le produit par

\sqrt{N}

est entier), et soit

n

la partie entière de

\sqrt{N}

. Alors, l'entier

r : = a - n b

vérifie :

0 ⩽ r < b

et

r \sqrt{N}

est entier. Par minimalité de

b

,

r = 0

donc

\sqrt{N} = n

.

Une démonstration plus classique, mais qui se généralise aux racines n-ièmes d'un entier naturelModèle:Sfnp, et même aux entiers algébriques Modèle:Sfnp, repose sur le lemme d'Euclide :

Supposons que

\sqrt{N}

est rationnel, c'est-à-dire qu'il existe Modèle:Mvar et Modèle:Mvar tels que

a^{2} = N b^{2}

. Quitte à diviser par leur pgcd, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar peuvent être supposés premiers entre eux. Un diviseur premier de

b

diviserait

a^{2}

donc diviserait

a

d'après le lemme d'Euclide, donc

b = 1

(tout nombre supérieur à 2 possède un diviseur premier) et Modèle:Mvar est un carré parfaitModèle:Sfnp.

Développement dans une base

Si $N$ n'est pas un carré parfait, $\sqrt{N}$ est irrationnel et son développement en base $b ⩾ 2$ est non périodique. Émile Borel a conjecturé en 1909, puis en 1950 que ce développement est normal, comme pour tout irrationnel algébrique^[9], à savoir que tout bloc de chiffres consécutifs (par exemple 010) apparaît avec la même fréquence limite que n'importe lequel des blocs de même longueur. À ce jour, on ne sait en fait même pas démontrer qu'un chiffre donné apparaît une infinité de fois dans le développement^[10].

Développements en fraction continue

Fraction continue simple

Comme pour tout irrationnel quadratique (solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), le développement en fraction continue simple de $\sqrt{N}$ , avec $N$ non carré, est périodique. Et plus précisément, d'après le théorème de Legendre, ce développement a la forme : $\sqrt{N} = [a_{0}, \overline{a_{1}, a_{2}, a_{3} \dots, a_{p}}] = [a_{0}, \overline{a_{1}, a_{2}, a_{3} \dots, a_{3}, a_{2}, a_{1}, 2 a_{0}}]$ : la période, de longueur $p$ , forme un palindrome de longueur $p - 1$ suivi du double de la partie entièreModèle:Sfnp Modèle:,^[11]. Voici des exemples :


$N$	2	3	5	6	7	8	10
Développement de $\sqrt{N}$	$\sqrt{2} = [1, \overline{2}]$	$\sqrt{3} = [1, \overline{1, 2}]$	$\sqrt{5} = [2, \overline{4}]$	$\sqrt{6} = [2, \overline{2, 4}]$	$\sqrt{7} = [2, \overline{1, 1, 1, 4}]$	$\sqrt{8} = [2, \overline{1, 4}]$	$\sqrt{10} = [3, \overline{6}]$
Page wikipedia	Racine de 2	Racine de 3	Racine de 5	Racine de 6	Racine de 7
Suite des numérateurs réduits des réduites	Modèle:OEIS2C	Modèle:OEIS2C	Modèle:OEIS2C	Modèle:OEIS2C	Modèle:OEIS2C	Modèle:OEIS2C	Modèle:OEIS2C
Suite des dénominateurs	Modèle:OEIS2C	Modèle:OEIS2C	Modèle:OEIS2C	Modèle:OEIS2C	Modèle:OEIS2C	Modèle:OEIS2C	Modèle:OEIS2C


$N$	11	12	13	19	29
Développement de $\sqrt{N}$	$\sqrt{11} = [3, \overline{3, 6}]$	$\sqrt{12} = [3, \overline{2, 6}]$	$\sqrt{13} = [3, \overline{1, 1, 1, 1, 6}]$	$\sqrt{19} = [4, \overline{2, 1, 3, 1, 2, 8}]$	$\sqrt{29} = [5, \overline{2, 1, 1, 2, 10}]$
Suite des numérateurs réduits des réduites	Modèle:OEIS2C	Modèle:OEIS2C	Modèle:OEIS2C	Modèle:OEIS2C	Modèle:OEIS2C
Suite des dénominateurs	Modèle:OEIS2C	Modèle:OEIS2C	Modèle:OEIS2C	Modèle:OEIS2C	Modèle:OEIS2C

La liste des développements en fraction continue des racines carrées des nombres de 2 à 165 est donnée dans Modèle:Harvard. La liste des longueurs des périodes de ces développements est la Modèle:OEIS.

La suite des réduites, définie par $u_{n} = [a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}]$ est une suite récurrente homographique définie par $u_{k} = [a_{0}, \dots, a_{k}]$ pour $0 ⩽ k ⩽ p - 1$ et $u_{n + p} = [a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots a_{p - 1}, a_{0} + u_{n}]$ .

Écrivant la réduite $u_{n}$ de $\sqrt{N}$ sous forme irréductible $\frac{h_{n}}{k_{n}}$ , les entiers $h_{p n - 1} et k_{p n - 1}$ sont définis par $h_{p n - 1} + k_{p n - 1} \sqrt{N} = (h_{p - 1} + k_{p - 1} \sqrt{N})^{n}$ Modèle:Sfnp. De plus, si $p$ est impair, $h_{p n - 1}^{2} - N k_{p n - 1}^{2} = (- 1)^{n}$ et si $p$ est pair, $h_{p n - 1}^{2} - N k_{p n - 1}^{2} = 1$ Modèle:Sfnp, voir l'article sur l'équation de Pell-Fermat.

Cas particuliers :

la période est de longueur 1 pour $N = a^{2} + 1$ : $\sqrt{a^{2} + 1} = [a, \overline{2 a}]$ ; les réduites sont définies par $u_{0} = a, u_{n + 1} = a + \frac{1}{a + u_{n}} = \frac{a u_{n} + a^{2} + 1}{u_{n} + a}$ et $h_{n} + k_{n} \sqrt{N} = (a + \sqrt{N})^{n + 1}$ ;
la période est de longueur 2 pour $N = a^{2} + \frac{2 a}{b}$ , $b$ diviseur strict de $2 a$ : $\sqrt{a^{2} + \frac{2 a}{b}} = [a, \overline{b, 2 a}]$ .

Les entiers $N$ tels que la période du développement de $\sqrt{N}$ est de longueur 1 ou 2 sont : 2, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 15, 17, 18, 20,..., cf. la Modèle:OEIS.

Fraction continue généralisée

La méthode de Bombelli utilisant pour $a > 0$ la relation $\sqrt{N} = a + \frac{N - a^{2}}{a + \sqrt{N}}$ permet d'obtenir le développement en fraction continue généralisée suivant : $\sqrt{N} = a + \frac{N - a^{2}}{2 a + \frac{N - a^{2}}{2 a + \frac{N - a^{2}}{2 a + ⋱}}} = a + \frac{N - a^{2} ∣}{∣ 2 a} + \frac{N - a^{2} ∣}{∣ 2 a} + \dots$ .

Les réduites forment la suite $(v_{n})$ définie par $v_{0} = a, v_{n + 1} = a + \frac{N - a^{2}}{a + v_{n}} = \frac{N + a v_{n}}{a + v_{n}}$ ^[12].

Si $N = a^{2} + 1$ , ce développement donne le développement en fraction continue simple : $\sqrt{a^{2} + 1} = a + \frac{1}{2 a + \frac{1}{2 a + ⋱}} = [a, \overline{2 a}]$ .

Méthode de Héron

Par la méthode de Héron, Modèle:Racine est la limite de la suite définie par Modèle:Formule et Modèle:Formule qui a une vitesse de convergence quadratique (le nombre de chiffres exacts est à peu près doublé à chaque itération).

La suite $(x_{n})$ est une sous-suite de la suite $(v_{n})$ des réduites du développement de Bombelli ci-dessus initialisée au même réel $a$ . Précisément : $x_{n} = v_{2^{n} - 1}$ ^[12].

La suite $(x_{n})$ initialisée à $x_{0} = u_{p - 1} = [a_{0}, a_{1}, \dots, a_{p - 1}]$ est une sous-suite de la suite $(u_{n})$ des réduites du développement en fraction continue simple. Précisément, $x_{n} = u_{(p \cdot 2^{n} - 1)}$ Modèle:Sfnp.

Notes et références

Notes

Modèle:Références

Références

Modèle:Références

Voir aussi

Bibliographie

Articles connexes

Modèle:Portail

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↑ Modèle:Ouvrage
↑ Modèle:Ouvrage.
↑ Modèle:Ouvrage.
↑ Modèle:En Euclid's Elements, Book VIII, Proposition 8, par David E. Joyce.
↑ Modèle:Lien web.
↑ Modèle:Lien web.
↑ Modèle:Lien web.
↑ Modèle:Article.
↑ Modèle:Article.
↑ Modèle:Ouvrage.
↑ Modèle:Ouvrage.
↑ ^12,0 et ^12,1 Modèle:Lien web.

[hambidge2-2] Modèle:Ouvrage

[ghyka2-3] Modèle:Ouvrage.

[fletcher2-4] Modèle:Ouvrage.

[5] Modèle:En Euclid's Elements, Book VIII, Proposition 8, par David E. Joyce.

[6] Modèle:Lien web.

[7] Modèle:Lien web.

[8] Modèle:Lien web.

[9] Modèle:Article.

[10] Modèle:Article.

[:22-11] Modèle:Ouvrage.

[12] Modèle:Ouvrage.

[:1-13] 12,0 et ^12,1 Modèle:Lien web.

[alpha 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

Racine carrée d'un entier naturel

Sommaire

Construction géométrique

Irrationalité

Développement dans une base

Développements en fraction continue

Fraction continue simple

Fraction continue généralisée

Méthode de Héron

Notes et références

Notes

Références

Voir aussi

Bibliographie

Articles connexes

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Fraction continue simple

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