Racine carrée de trois

Liste de nombres - Nombres irrationnels [[Racine carrée de deux\|Modèle:Sqrt]] - φ - Modèle:Sqrt - [[Racine carrée de cinq\|Modèle:Sqrt]] - e - π
La hauteur d'un triangle équilatéral de côté 2 est $\sqrt{3}$
Binaire	1.1011101101100111101...
Décimal	1.7320508075688772935...
Hexadécimal	1.BB67AE8584CAA73B...
Fraction continue	$1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \dots}}}}$

En mathématiques, la racine carrée de trois est le nombre réel positif dont le carré est Modèle:Math exactement. Notée $\sqrt{3}$ ou Modèle:Math, elle vaut approximativement Modèle:Nombre. Le rationnel Modèle:Sfrac en est une approximation par excès à $1 0^{- 4}$ près.

Définition, notation et énonciation

Il existe deux nombres réels opposés dont le carré est Modèle:Math ; autrement dit : Modèle:Math possède deux racines carrées, opposées. Par convention, la notation $\sqrt{3}$ désigne la racine carrée positive de Modèle:Math, et nécessairement, $- \sqrt{3}$ désigne la racine carrée négative de Modèle:Math. Mais $\sqrt{3}$ se lit simplement racine carrée de trois, voire plus simplement racine de trois. Dans le corps des nombres complexes, la notation $\sqrt{3}$ désigne la détermination principale de la racine carrée prise au point Modèle:Math. Le symbole $\sqrt{}$ ou $\sqrt$ s’appelle un radical.
$\sqrt{3}$ se note également $3^{\frac{1}{2}}$ , qui se lit trois puissance un demi.
Dans les langages informatiques, $\sqrt{3}$ s'écrit en général sqrt(3), par exemple Math.sqrt(3)en JavaScript.

Irrationalité

Modèle:Article détaillé La racine carrée de 3 est irrationnelle, comme celle de tout entier naturel qui n'est pas un carré parfait (voir l'article détaillé pour des démonstrations).

Au Modèle:-s-, Théodore de Cyrène aurait démontré des résultats d'incommensurabilité correspondant à l'irrationnalité des racines carrées des entiers de 3 à 17^[1]Modèle:,^[2].

Développement décimal

$\sqrt{3} = 1, 732 050 8 \dots$ ; ses décimales forment la Modèle:OEIS.

Dix milliards de décimales ont été calculées en 2013^[3].

On conjecture que, comme tout irrationnel algébrique, $\sqrt{3}$ est un nombre normal, à savoir que toute suite finie de décimales consécutives (ou séquence) apparaît avec la même fréquence limite que toute séquence de même longueur^[4].

Développements en fraction continue

La méthode de Bombelli utilisant pour $a > 0$ la relation $\sqrt{3} = a + \frac{3 - a^{2}}{a + \sqrt{3}}$ permet d'obtenir le développement en fraction continue généralisée : $\sqrt{3} = a + \frac{3 - a^{2}}{2 a + \frac{3 - a^{2}}{2 a + \frac{3 - a^{2}}{2 a + \frac{3 - a^{2}}{2 a + \dots}}}} = 1 + \frac{3 - a^{2} ∣}{∣ 2 a} + \frac{3 - a^{2} ∣}{∣ 2 a} + \dots$

Pour $a = 1$ , on obtient :

$\sqrt{3} = 1 + \frac{2}{2 + \frac{2}{2 + \frac{2}{2 + \frac{2}{2 + \dots}}}} = 1 + \frac{2 ∣}{∣ 2} + \frac{2 ∣}{∣ 2} + \dots$ ^[5].

En simplifiant par 2 un étage sur deux on obtient le développement en fraction continue simple de Modèle:Sqrt (Modèle:OEIS) :

$\sqrt{3} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \dots}}}} = [1, 1, 2, 1, 2, \dots] = [1, \overline{1, 2}]$ .

Ce développement est bien périodique (période de longueur 2) comme pour tout irrationnel quadratique (irrationnel solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), et le théorème de Legendre est bien vérifié.

Les neuf premières réduites communes à ces deux développements sont : $u_{0} = 1, 2, \frac{5}{3}, \frac{7}{4}, \frac{19}{11}, \frac{26}{15}, \frac{71}{41}, \frac{97}{56}, u_{8} = \frac{265}{153} .$

Comme pour toute fraction continue d’un nombre irrationnel, elles constituent les meilleures approximations de Modèle:Sqrt.

Elles forment la suite $(u_{n})$ , récurrente homographique, définie par : $u_{0} = 1, u_{n + 1} = 1 + \frac{2}{1 + u_{n}} = \frac{u_{n} + 3}{u_{n} + 1}$ .

Les deux sous-suites $(u_{2 n}) et (u_{2 n + 1})$ sont adjacentes de limite $\sqrt{3}$ et l'on a $u_{2 n} < \sqrt{3} < u_{2 n + 1}$ .

On en déduit l'encadrement : $u_{8} = \frac{265}{153} < \sqrt{3} < \frac{1351}{780} = u_{11}$ qui était connu d'Archimède^[6]Modèle:,^[7]; pour fixer les idées : $u_{8} \approx 1, 732 026; u_{11} \approx 1, 732 051$ .

Le rationnel $u_{n}$ est égal à $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ où $a_{n}, b_{n}$ sont les entiers définis par $(1 + \sqrt{3})^{n + 1} = a_{n} + b_{n} \sqrt{3}$ , les suites, $(a_{n}), (b_{n})$ étant définies par $a_{0} = b_{0} = 1, {\begin{matrix} a_{n + 1} = a_{n} + 3 b_{n} \\ b_{n + 1} = a_{n} + b_{n} \end{matrix}$ ^[5].

On en déduit les expressions explicites^[5] :

$\forall n ⩾ 0, u_{n} = \sqrt{3} \frac{(1 + \sqrt{3})^{n + 1} + (1 - \sqrt{3})^{n + 1}}{(1 + \sqrt{3})^{n + 1} - (1 - \sqrt{3})^{n + 1}}$
$\forall n ⩾ 2, u_{n} = \frac{⌊ (1 + \sqrt{3})^{n + 1} ⌉}{⌊ \frac{(1 + \sqrt{3})^{n + 1}}{\sqrt{3}} ⌉}$ , où $⌊ x ⌉$ signifie l'entier le plus proche de $x$ .

Les numérateurs réduits des $u_{n}$ forment la Modèle:OEIS, et les dénominateurs réduits la Modèle:OEIS.

La méthode de Bombelli pour $a = 2$ conduit à la fraction continue généralisée : $\sqrt{3} = 2 - \frac{1}{4 - \frac{1}{4 - \frac{1}{4 - ⋱}}} = [2, \overline{- 4, 4}]$ dont la suite des réduites est la sous-suite $(u_{2 n + 1})$ de $(u_{n})$ Modèle:Refnec .

Suite de Héron

La méthode de Héron fournit une suite, dite suite de Héron^[8], qui converge vers la racine carrée d'un nombre réel positif $a$ . Quand Modèle:Math cette suite, convergeant vers Modèle:Sqrt, est définie par : $v_{0} = 1, v_{n + 1} = \frac{v_{n} + \frac{3}{v_{n}}}{2}$ .

Ses premiers termes sont : $1, 2, \frac{7}{4}, v_{3} = \frac{97}{56} = u_{7} \approx 1, 7321$ (approximation à 10^-4 près de Modèle:Sqrt).

Les numérateurs de cette suite forment la Modèle:OEIS, et ses dénominateurs la Modèle:OEIS.

La suite $(v_{n})$ est une sous-suite de la suite $(u_{n})$ des réduites de la [[#Développements en fraction continue|fraction continue de Modèle:Sqrt]]. Plus précisément : $v_{n} = u_{(2^{n} - 1)}$ ^[5]Modèle:,^[8] .

La suite $(v_{n})$ , pour $n ⩾ 1$ , décroît rapidement vers Modèle:Sqrt (convergence quadratique).

La suite associée $(\frac{3}{v_{n}})$ converge en croissant vers Modèle:Sqrt d'où l’encadrement pour tout $n ⩾ 1$ :

\frac{3}{v_{n}} < \sqrt{3} < v_{n}

.

Méthode de Halley

La méthode de Halley fournit une suite qui croit encore plus rapidement vers [[#Développements en fraction continue|Modèle:Sqrt]] (convergence cubique), définie par : $w_{0} = 1, w_{n + 1} = \frac{w_{n} (w_{n}^{2} + 9)}{3 (w_{n}^{2} + 1)}$ .

Ses premiers termes sont : $1, \frac{5}{3}, w_{2} = \frac{265}{153} = u_{8} \approx 1, 7320$ .

Les numérateurs de cette suite forment la Modèle:OEIS.

La suite $(w_{n})$ est une sous-suite de la suite $(u_{n})$ des réduites de la [[#Développements en fraction continue|fraction continue de Modèle:Sqrt]]. Plus précisément : $w_{n} = u_{(3^{n} - 1)}$ .

Expression comme somme de série

$\sqrt{3} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(\binom{2 n}{n})}{6^{n}}$ ; voir Coefficient binomial central, Série génératrice.

Expressions par radicaux infiniment imbriqués

$1 + \sqrt{3} = \sqrt{2 + 2 \sqrt{2 + 2 \sqrt{2 + \dots}}}$ ; voir Radical imbriqué, Racine carrée.
$\sqrt{3} = \sqrt[3]{3 \sqrt[3]{3 \sqrt[3]{3 \dots}}},$ car $\frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + \dots = \frac{1}{2}$ .

En trigonométrie

$\sqrt{3}$ admet plusieurs expressions trigonométriques :

\sqrt{3} = \tan \frac{π}{3} = \cot \frac{π}{6} = 2 \sin \frac{π}{3} = 2 \cos \frac{π}{6} = 2 - \tan \frac{π}{12},

où

\frac{π}{3}, \frac{π}{6},

et

\frac{π}{12}

sont des angles exprimés en radians

(\frac{π}{12} r a d = 1 5^{\circ}) .

En algèbre

$\sqrt{3}$ est un nombre algébrique de polynôme minimal $X^{2} - 3$ , donc un entier quadratique (entier algébrique de degré 2).

Les racines cubiques de l'unité sont : $1, \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$ et $\frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2} .$

En géométrie

La diagonale d'un cube de côté Modèle:Math vaut $\sqrt{3}$ .
La hauteur d'un triangle équilatéral de côté Modèle:Math vaut 3/2 . Ceci donne un moyen de construction de 3 à la règle et au compas. Cette propriété entraîne les suivantes :
- l'aire d'un triangle équilatéral de côté Modèle:Math vaut $\sqrt{3} / 4$ ; l'aire d'un tétraèdre régulier de côté Modèle:Math vaut donc $\sqrt{3}$ ;
- la distance entre deux côtés opposés d'un hexagone régulier de côté Modèle:Math vaut $\sqrt{3}$ ;
- $\sqrt{3}$ est le rapport des longueurs des diagonales d'un losange d'angles Modèle:Math et Modèle:Math ;
- $\sqrt{3}$ est le rapport entre la longueur et la largeur de la figure Vesica piscis.

Diagonale d'un cube unité.
Proportions entre le côté d'un triangle équilatéral et sa hauteur.
Hexagone avec ses cotes relatives.
Vesica piscis avec son losange Modèle:Math inscrit : $C D / A B = \sqrt{3}$ .

Le rectangle de format (rapport longueur sur largeur) $\sqrt{3}$ est étudié dans le cadre de la Modèle:Lien. Modèle:Lien en fait l'objet de la leçon 8 de son ouvrage Elements of Dynamic Symmetry^[9] et lui donne le nom de root-three rectangle. Modèle:Lien analyse leur présence dans la silhouette de vases grecs^[10], tandis que Rachel Fletcher la recherche dans l'œuvre d'Andrea Palladio^[11]. Modèle:Lien en fait le 11Modèle:E des 12 rectangles remarquables (les orthogones) qu'il étudie dans son ouvrage Das Buch vom Rechteck: Gesetz und Gestik des Räumlichen. Il lui donne le nom de Sixton^[12]. Ce rectangle se construit à partir de la moitié d'un triangle équilatéral et a même aire que celui-ci. Une autre construction possible consiste à partir d'un carré, à construire un rectangle de format $\sqrt{2}$ (format A4), servant à construire le rectangle finalModèle:Sfn, il se partage aisément en trois rectangles de même format $\sqrt{3}$ Modèle:Sfn et se trouve naturellement inscrit dans un hexagone^[13].

Construction d'un rectangle de format $\sqrt{3}$ .
Découpe du rectangle en trois rectangles de mêmes proportions.
Rectangle de format $\sqrt{3}$ inscrit dans un hexagone.

Notes et références

Modèle:Références

Voir aussi

Modèle:Autres projets

Modèle:Portail

↑ Modèle:Ouvrage, Modèle:P..
↑ C'est la raison qu'invoque Eric Weinstein pour donner le nom de constante de Théodore à Modèle:Sqrt, voir Modèle:MathWorld avec bibliographie et liens vers l'OEIS pour son développement en système décimal, en système binaire, et en fraction continue.
↑ Modèle:Lien web
↑ Modèle:Article, p. 175
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 et ^5,3 Modèle:Ouvrage
↑ Modèle:Ouvrage
↑ Modèle:Article
↑ ^8,0 et ^8,1 Modèle:Lien web
↑ Modèle:Ouvrage - p 48 et suivantes (republication d'un ouvrage de 1926)
↑ Modèle:Ouvrage, pp. 65-68, 170 et suivantes
↑ Modèle:Article
↑ Modèle:Ouvrage
↑ Modèle:Lien web

[1] Modèle:Ouvrage, Modèle:P..

[2] C'est la raison qu'invoque Eric Weinstein pour donner le nom de constante de Théodore à Modèle:Sqrt, voir Modèle:MathWorld avec bibliographie et liens vers l'OEIS pour son développement en système décimal, en système binaire, et en fraction continue.

[3] Modèle:Lien web

[4] Modèle:Article, p. 175

[:0-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 et ^5,3 Modèle:Ouvrage

[6] Modèle:Ouvrage

[7] Modèle:Article

[:1-8] 8,0 et ^8,1 Modèle:Lien web

[9] Modèle:Ouvrage - p 48 et suivantes (republication d'un ouvrage de 1926)

[10] Modèle:Ouvrage, pp. 65-68, 170 et suivantes

[11] Modèle:Article

[12] Modèle:Ouvrage

[13] Modèle:Lien web

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Racine carrée de trois

Sommaire

Définition, notation et énonciation

Irrationalité

Développement décimal

Développements en fraction continue

Suite de Héron

Méthode de Halley

Expression comme somme de série

Expressions par radicaux infiniment imbriqués

En trigonométrie

En algèbre

En géométrie

Notes et références

Voir aussi

Menu de navigation

Racine carrée de trois

Définition, notation et énonciation

Irrationalité

Développement décimal

Développements en fraction continue

Suite de Héron

Méthode de Halley

Expression comme somme de série

Expressions par radicaux infiniment imbriqués

En trigonométrie

En algèbre

En géométrie

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