Méthode de Héron

Modèle:Confusion En mathématiques, la méthode de Héron ou méthode babylonienne est une méthode efficace d'obtention de valeurs approchées de racines carrées, c'est-à-dire de calcul d'une approximation de $\sqrt{a}$ pour $a$ positif. Autrement dit, étant donné un réel positif $a$ , il s'agit de trouver un nombre, qui, multiplié par lui-même donne un nombre proche de $a$. De manière algébrique, il s'agit de résoudre de manière approchée l'équation $x^2=a$, avec $a$ positif.

Histoire

Cette méthode porte le nom du mathématicien Héron d'Alexandrie, qui l'expose dans le tome I de son ouvrage Metrica (Les métriques), découvert seulement en 1896. Toutefois, certains calculs antérieurs, notamment égyptiens, semblent prouver que la méthode est plus ancienne.

Héron expose ainsi sa méthode dans le problème 8 du tome I des Métriques. Il détaille initialement une méthode pour calculer l'aire d'un triangle en connaissant ses trois côtés (Modèle:Cf. formule de Héron), en prenant pour exemple un triangle de côtés 7, 8 et 9 unités. Il obtient alors le nombre 720 comme résultat intermédiaire, dont il doit calculer la racine carrée pour aboutir au résultat final. Il propose alors la méthode de calcul suivante : Modèle:Citation bloc

Exposé de la méthode

Approche géométrique

Les rectangles ont même aire. Chaque rectangle a pour longueur la moyenne des dimensions du rectangle précédent.

Il est intéressant de mettre en évidence le principe géométrique sous-jacent à la méthode. Chez les mathématiciens grecsModèle:Lesquels, déterminer la racine carrée de Modèle:Math revient à trouver un carré dont l'aire soit Modèle:Math. En prenant un rectangle de côté arbitraire Modèle:Math et d'aire Modèle:Math, il est nécessaire que l'autre côté ait pour longueur Modèle:Math. Pour le rendre « plus carré » (dont le format L/ℓ est plus proche de 1), il suffit de considérer un nouveau rectangle dont la longueur est la moyenne arithmétique des deux côtés précédents soit Modèle:Retrait et dont l'aire reste Modèle:Math.

En réitérant infiniment le processus, le rectangle se transforme petit à petit en un carré de même aire. Cette constatation est à la base de la méthode de Héron.

Principe

Pour déterminer la racine carrée du nombre (positif) Modèle:Math, il convient dès lors de considérer la suite définie par récurrence, dite suite de Héron, de la façon suivante : Modèle:Retrait de premier terme $x_0>0$ choisi si possible « assez proche » de Modèle:Sqrt, en général la partie entière de Modèle:Sqrt.

La suite ainsi obtenue est une suite décroissante à partir du second terme, convergeant vers Modèle:Sqrt. Modèle:Démonstration Si le premier terme de la suite est un nombre rationnel, il est clair que tous les termes successifs seront des nombres rationnels, ce qui permet d'approcher un nombre irrationnel tel que la racine carrée de deux par une suite de rationnels.

Convergence

Il est par ailleurs facile de vérifier que la convergence est quadratique : l'écart entre chaque terme et la limite Modèle:Sqrt évolue comme le carré de l'écart précédent, en effet pour tout n > 0 :

$x_{n+1}-\sqrt{a}=\frac{(x_n-\sqrt{a}{)}^2}{2x_n},$

soit puisque $x_n⩾\sqrt{a}$ :

$|x_{n+1}-\sqrt{a}|\le \frac{{|x_n-\sqrt{a}|}^2}{2\sqrt{a}},$

ce qui correspond bien à la définition de la convergence quadratique, c’est-à-dire que le nombre de décimales exactes double à chaque itération.

L'algorithme nécessite à chaque étape de faire une division, qui elle-même requiert une suite d'opérations d'autant plus longue que la précision demandée est importante. Néanmoins, l'algorithme est robuste, il supporte bien quelques approximations (et même quelques erreurs, dont l'effet sera de retarder l'obtention du résultat mais n'empêchera pas de l'obtenir), ce qui permet de se contenter de divisions (pas trop) fausses, au moins au début.

Du fait de sa convergence rapide, la méthode de Héron permet d'obtenir une bonne approximation de la valeur de Modèle:Sqrt même après peu d'étapes de calcul.

Exemple : calcul de Modèle:Sqrt Soit $x_0=1$, il vient successivement :

$x_1=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}=1,5,$

$x_2=\frac{3/2+4/3}{2}=\frac{17}{12}=1,4166\dots ,$

$x_3=\frac{17/12+24/17}{2}=\frac{577}{408}=1,4142156\dots ,$

$x_4=\frac{577/408+816/577}{2}=\frac{665857}{470832}=1,4142135623745\dots ,$

$x_5=\frac{886731088897}{627013566048}=1,4142135623730950488016896\dots ,$

or en comparant avec une valeur approchée par d'autres méthodes (voir Racine carrée de deux pour plus de méthodes d'approximation), Modèle:Sqrt = 1,4142135623730950488016887…, on constate bien la convergence quadratique (2 décimales exactes au deuxième calcul, 5 au troisième, 11 au quatrième, 23 au cinquième…). En seulement trois étapes, la précision relative sur la valeur de Modèle:Sqrt est déjà de 10Modèle:Exp, ce qui est excellent, et de moins de 10Modèle:Exp en quatre étapes. De fait, une des principales problématiques est de choisir une « bonne » valeur pour $x_0$, idéalement l'entier dont le carré est le plus proche de Modèle:Math, ce que suggérait d'ailleurs Héron lui-même dans la partie des Metrica consacrée à cette question.

Généralisation de la méthode

Racine n-ième d'un nombre

Modèle:Article détaillé Une méthode analogue existe pour extraire la racine n-ième d'un nombre A, il convient de considérer alors la suite de terme général $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}{x}_{k+1}=\frac{1}{n}\left[(n-1)x_k+\frac{A}{x_k^{n-1}}\right]$.

L'idée géométrique sous-jacente est la même, puisque déterminer la racine n-ième d'un nombre A consiste à trouver le côté d'un hypercube dont le « volume » (hypervolume) est A. La suite considérée revient à partir d'un (hyper)parallélépipède à n dimensions dont (n-1) côtés sont égaux, le dernier étant ajusté de façon à obtenir un volume égal à A.

Lien avec la méthode de Newton

La méthode de Héron est un cas particulier de la méthode de Newton. En effet, dans la méthode de Newton, il s'agit de trouver un zéro d'une fonction f en utilisant la récurrence suivante :

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}.$

En prenant

$f(x)=x^2-a,$

la récurrence devient

$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-a}{2x_n}=\frac{x_n^2+a}{2x_n}=\frac{x_n+\frac{a}{x_n}}{2}.$

Voir aussi

• Racine carrée entière
• Extraction de racine carrée
• Méthode du goutte à goutte