Racine carrée de cinq

Modèle:Ébauche En mathématiques, la racine carrée de cinq, notée Modèle:Sqrt ou 5Modèle:Exp, est un nombre réel remarquable ; c'est l'unique réel positif dont le carré est égal à 5. Il vaut approximativement 2,236.

C'est un irrationnel quadratique et un entier quadratique (entier algébrique de degré 2).

Éléments introductifs

Définition, notation et prononciation

• Le nombre 5 ayant exactement deux racines carrées réelles, Modèle:Sqrt et –Modèle:Sqrt, Modèle:Sqrt devrait se prononcer « racine carrée positive de cinq », ou « racine carrée principale de cinq », mais il se prononce habituellement « racine carrée de cinq », voire « racine de cinq » pour simplifier. Une autre expression correcte, faisant référence au symbole Modèle:Sqrt, est « radical de cinq», mais elle est peu courante.
• Modèle:Sqrt se note également [[Puissance d'un nombre|5Modèle:Exp]] (notation Unicode : 5^½).
• Modèle:Sqrt s'écrit en général sqrt(5) dans les langages informatiques, pour le terme anglais "square root".

Valeur approchée

Modèle:Sqrt vaut approximativement

• 2,2 360 679 774 dans le système décimal (Modèle:OEIS),
• 10,00 111 100 dans le système binaire (Modèle:OEIS) et
• 2,3C6EF372FE94F82C dans le système hexadécimal.

Irrationalité

Modèle:Article détaillé La racine carrée de 5, comme celle de tout entier naturel qui n'est pas un carré parfait, est irrationnelle.

Développement en fraction continue

Le développement en fraction continue simple de Modèle:Sqrt est [2, Modèle:Surligner] (Modèle:OEIS).

Comme pour tout irrationnel quadratique (solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), ce développement est périodique. La période est de longueur 1.

Les réduites successives sont :Modèle:RetraitElles forment la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2,u_{n+1}=\frac{2u_n+5}{u_n+2}$.

On a : $u_n=\sqrt{5}\frac{(2+\sqrt{5}{)}^{n+1}+(2-\sqrt{5}{)}^{n+1}}{(2+\sqrt{5}{)}^{n+1}-(2-\sqrt{5}{)}^{n+1}}=\frac{\lfloor (2+\sqrt{5}{)}^{n+1}\rceil }{\lfloor \frac{(2+\sqrt{5}{)}^{n+1}}{\sqrt{5}}\rceil }$, où $\lfloor x\rceil$ est l'entier le plus proche de $x$.

Les numérateurs forment la Modèle:OEIS et les dénominateurs la Modèle:OEIS.

Calcul d'une valeur approchée

Méthodes générales

Approximation par la méthode de Héron

La méthode de Héron permet de calculer la valeur approchée d'une racine carrée avec une grande précision et en peu de calculs ; elle est applicable à la racine carrée de 5.

Prenons la partie entière de Modèle:Sqrt, Modèle:Math.

La méthode de Héron consiste à calculer les termes successifs d'une suite approchant Modèle:Sqrt par la formule de récurrence :

$x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{A}{x_n}}{2}.$

avec ici, Modèle:Math. Par itérations successives, on obtient :

• $x_1=\frac{2+\frac{5}{2}}{2}=\frac{9}{4}=u_1=2,25$
• $x_2=\frac{\frac{9}{4}+5\frac{4}{9}}{2}=u_3=\frac{161}{72}\approx 2,2361$
• $x_3=\frac{\frac{161}{72}+5\frac{72}{161}}{2}=\frac{51841}{23184}=u_7\approx 2,2360679779.$

On a .

Les numérateurs forment la Modèle:OEIS, et les dénominateurs la Modèle:OEIS.

$(x_n)$ est une sous-suite de $(u_n)$ : $x_n=u_{(2^n-1)}$ , décroissant rapidement vers Modèle:Sqrt (convergence quadratique). Une suite croissante associée est $(5/x_n)$, d'où l'encadrement : $5/x_n<\sqrt{5}<x_n$ . Pour $n=3$, cet encadrement permet déjà d'obtenir $\sqrt{5}\approx 2,23606798$.

Méthode spécifique

Par la suite de Fibonacci

La formule suivante, démontrée initialement par Paul Erdős, relie Modèle:Racine aux inverses des termes de la suite de Fibonacci dont l'indice est une puissance de 2:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{F_{2^k}}=\frac{7-\sqrt{5}}{2}$

Cela donne la formule : $\sqrt{5}=7-2\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{F_{2^k}}\right)$ qui converge très vite, puisque les 6 premiers termes donnent 13 décimales correctes et le 7Modèle:E donne les 13 suivantesModèle:,.

Lien avec le nombre d'or

La racine carrée de 5 entre dans l'expression du nombre d'or $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$

On trouve doncModèle:Retrait

Autre expression comme somme de série

En utilisant la série génératrice des coefficients binomiaux centraux, on a :

$\sqrt{5}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}{5^n}$

Expressions par radicaux infiniment imbriqués

• $1+\sqrt{5}=2\phi =2\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots }}}$ ; voir à Radical_imbriqué#Racine_carrée,
• $\sqrt{5}=\sqrt[3]{5\sqrt[3]{5\sqrt[3]{5\dots }}}$ car $\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots =\frac{1}{2}$.

Trigonométrie

Comme [[Racine carrée de deux|Modèle:Sqrt]] et [[Racine carrée de trois|Modèle:Sqrt]], la racine carrée de 5 est présente dans les formules pour les constantes trigonométriques exactes incluant des angles en degrés divisibles par 3 mais pas par 15. Les plus simples sont :

$\sin \frac{\pi }{10}=\sin 18^{\circ }=\cos \frac{2\pi }{5}=\cos 72^{\circ }=\frac{1}{4}(-1+\sqrt{5}),$

$\sin \frac{\pi }{5}=\sin 36^{\circ }=\cos \frac{3\pi }{10}=\cos 54^{\circ }=\frac{1}{4}\sqrt{2(5-\sqrt{5})},$

$\sin \frac{3\pi }{10}=\sin 54^{\circ }=\cos \frac{\pi }{5}=\cos 36^{\circ }=\frac{1}{4}(1+\sqrt{5}),$

$\sin \frac{2\pi }{5}=\sin 72^{\circ }=\cos \frac{\pi }{10}=\cos 18^{\circ }=\frac{1}{4}\sqrt{2(5+\sqrt{5})},$

$\tan \frac{\pi }{5}=\tan 36^{\circ }=\sqrt{5-2\sqrt{5}}.$

Formules de Ramanujan

La racine carrée de 5 est présente dans plusieurs formules données par Srinivasa Ramanujan impliquant des fractions continues généralisées :

$\frac{1\mid }{\mid 1}+\frac{{\mathrm{e}}^{-2\pi }\mid }{\mid 1}+\frac{{\mathrm{e}}^{-4\pi }\mid }{\mid 1}+\frac{{\mathrm{e}}^{-6\pi }\mid }{\mid 1}+\cdots =(\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}-\frac{\sqrt{5}+1}{2}){\mathrm{e}}^{2\pi /5}={\mathrm{e}}^{2\pi /5}(\sqrt{\phi \sqrt{5}}-\phi ).$

$\frac{1\mid }{\mid 1}+\frac{{\mathrm{e}}^{-2\pi \sqrt{5}}\mid }{\mid 1}+\frac{{\mathrm{e}}^{-4\pi \sqrt{5}}\mid }{\mid 1}+\frac{{\mathrm{e}}^{-6\pi \sqrt{5}}\mid }{\mid 1}+\cdots =(\frac{\sqrt{5}}{1+{[5^{3/4}(\phi -1{)}^{5/2}-1]}^{1/5}}-\phi ){\mathrm{e}}^{2\pi /\sqrt{5}}.$

$4\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x{\mathrm{e}}^{-x\sqrt{5}}}{\cosh x}\mathrm{d}x=\frac{1\mid }{\mid 1}+\frac{1^2\mid }{\mid 1}+\frac{1^2\mid }{\mid 1}+\frac{2^2\mid }{\mid 1}+\frac{2^2\mid }{\mid 1}+\frac{3^2\mid }{\mid 1}+\frac{3^2\mid }{\mid 1}+\cdots .$

Articles connexes

• Suite de Fibonacci
• Nombre de Lucas
• Théorème de Hurwitz (approximation diophantienne)
• Somme quadratique de Gauss
• Pavage en moulin à vent
• Anneau des entiers de Q(√5)
• Racine carrée d'un entier naturel
• Racine carrée de deux
• Racine carrée de trois
• Racine carrée de six
• Racine carrée de sept