Théorème de Hurwitz (approximation diophantienne)

Modèle:Voir homonymes En théorie des nombres, le théorème de Hurwitz sur les approximations diophantiennes, établi en 1891 par Adolf Hurwitz, énonce que pour tout nombre irrationnel $x$, il existe une infinité de rationnels $h/k$ tels que

$|x-\frac{h}{k}|<\frac{1}{\sqrt{5}{k}^2}$.

Précisions

• L'hypothèse d'irrationalité de $x$ est indispensable, puisque la mesure d'irrationalité d'un rationnel est égale à 1.
• L'ensemble des couples $(h,k)\in \mathbb{Z}\times {\mathbb{N}}^{*}$ vérifiant l'inégalité est infini si et seulement si le sous-ensemble de ceux pour lesquels $h$ et $k$ sont premiers entre eux l'est.
• Les rationnels $h/k$ qui vérifient l'inégalité font partie des réduites de l'irrationnel $x$ (ce résultat est établi dans l'article Fraction continue et approximation diophantienne).
• La constante Modèle:Racine est optimale : pour $x$ égal par exemple au nombre d'or, si l'on remplace, dans la formule ci-dessus, Modèle:Racine par n'importe quel nombre strictement plus grand, l'inégalité (même large) n'est vérifiée que par un ensemble fini de rationnels $h/k$. En ce sens, le nombre d'or est — de même que tout nombre qui lui est équivalent — « l' »irrationnel qui s'approche le plus mal par des fractions. C'est pourquoi l'on parle parfois de lui comme du plus irrationnel de tous les irrationnels.

Démonstration

• Optimalité de la constante Modèle:Racine.

Prenons $c=\frac{\sqrt{5}}{\alpha }$ avec $0<\alpha <1$ et $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Si $\theta =\sqrt{5}{k}^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2}-\frac{h}{k})$, alors, on souhaite avoir $|\theta |\le \alpha$. En arrangeant les termes et en élevant au carré, on trouveModèle:RetraitSi l'on considère $P(h)=h^2-hk-k^2$ comme un polynôme en $h$, on a $P(h)=0\iff h=\frac{(1\pm \sqrt{5})k}{2}$, mais, comme $h$ et $k$ sont entiers, ce n'est pas possible. Idem pour $P(k)$. Donc $|h^2-hk-k^2|\ge 1$.Modèle:Retraitsoit encore $k^2<\frac{{\alpha }^2}{5(1-\alpha )}$, ce qui donne un nombre fini de solutions pour $k$. Comme $h$ doit vérifier l'inégalité citée dans l'énoncé du théorème, cela donne un nombre fini de nombres rationnels solutions.

• Démonstration du théorème proprement dit.

Considérons une suite de Farey d'ordre N, avec $\frac{a}{b}$ et $\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}$ deux termes consécutifs tels que $\frac{a}{b}<x<\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}$. On peut vérifier que :

• • soit $b^{\prime }>\frac{b\sqrt{5}+1}{2}$
  • soit $b^{\prime }<\frac{b\sqrt{5}-1}{2}$

Si $\omega =\frac{b^{\prime }}{b}$, on a $\omega >\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ ou $\omega <\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. On peut montrer que $1+{\omega }^{-2}>\sqrt{5}{\omega }^{-1}$, d'où

$\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{b{\text{'}}^2})>\frac{1}{\omega b^2}$.

Mais d'un autre côté, $\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}-\frac{a}{b}<\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{b{\text{'}}^2})$, ce qui termine l'ébauche de démonstration.

Une autre approche consiste à montrer que dans le développement en fraction continue d'un irrationnel, sur trois réduites consécutives, il en existe une qui vérifie l'inégalité annoncée.

Généralisations

Modèle:... Modèle:Article détaillé Pour les irrationnels équivalents au nombre d'or, appelés irrationnels nobles, et pour eux seuls, la constante $\sqrt{5}$ ne peut être améliorée. Si on les exclut, on a un théorème analogue avec la constante $\sqrt{8}$, qui est optimale pour les nombres équivalents à $\sqrt{2}$. Si on les exclut à leur tour, une nouvelle constante apparait (valant $\sqrt{221}/5$) ; la suite de ces constantes, appelées « nombres de Lagrange », est la partie initiale du « spectre de Lagrange ».

Voir aussi

Articles connexes

• Nombres équivalents
• Théorème d'approximation de Dirichlet
• Théorème de Liouville (approximation diophantienne)

Liens externes

• Démonstration du théorème de Hurwitz, à partir des propriétés des suites de Farey, sur le site mathwebs.com
• Modèle:Lien web