Racine carrée de sept

 

Fichier:Rectangle that bounds equilateral triangle.png

Le rectangle circonscrivant un triangle équilatéral de côté 2, ou un hexagone régulier de côté 1, a une diagonale de longueur Modèle:Racine.

La racine carrée de 7 est le nombre réel positif qui, multiplié par lui-même, donne le nombre premier 7. On l'appelle plus précisément racine carrée principale de 7, pour le distinguer du nombre négatif ayant la même propriété. Il se note Modèle:Racine ou 7Modèle:Exp.

C'est un nombre algébrique irrationnel. Ses soixante premières décimales sont :

2,64575131106459059050161575363926042571025918308245018036833....

ce qui peut être arrondi à 2,646 avec une précision d'environ 99,99 % . La valeur approchée Modèle:Sfrac (≈ 2,645833...) est meilleure malgré un dénominateur de seulement 48.

Plus d’un million de décimales de la racine carrée de sept ont été publiés.

Géométrie

Fichier:Root rectangles up to 6.png

Ces rectangles illustrent une construction à la règle et au compas de Modèle:Racine comme diagonale d'un rectangle de longueur Modèle:Racine et de largeur 1.

En géométrie plane, la racine carrée de 7 peut être construite à la règle et au compas via la suite de rectangles illustrée ci-contre Modèle:,Modèle:,.

Le rectangle englobant minimal d'un triangle équilatéral de longueur d'arête 2 a une diagonale de longueur Modèle:Racine.

Le nombre 7 étant le plus petit entier >0 qui n'est pas somme de trois carrés (voir le théorème des trois carrés) , Modèle:Racine est la plus petite racine carrée d'un entier naturel qui ne peut pas être la distance entre deux points quelconques d'un réseau cubique entier (ou de manière équivalente, la longueur de la diagonale d'un parallélépipède rectangle de longueurs de côtés entières). Modèle:Racine est le nombre suivant de ce type.

Approximations rationnelles

Développements décimaux

Fichier:1797 square root of 7.png

Explication de la méthode d'extraction de la racine carrée de 7 à 7 décimales et plus, d'après Hawney, 1797.

Les méthodes d'extraction des décimales des racines carrées utilisent la racine carrée de 7 comme exemple ou exercice dans les manuels scolaires depuis des centaines d'années. Nombres de chiffres après la virgule obtenus : 5 en 1773 et 1852, 3 en 1835 , 6 en 1808 et 7 en 1797 . Une obtention de décimales par la méthode de Newton a été illustrée en 1922, concluant que Modèle:Racine vaut 2,646 « au millième près » .

Développements en fraction continue

Fraction continue simple

Pour obtenir une famille de bonnes approximations rationnelles, la racine carrée de 7 peut être exprimée sous forme de fraction continue simple :

$[2;1,1,1,4,1,1,1,4,\dots ]=2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\dots }}}}}$, les coefficients formant la Modèle:OEIS.

Les réduites successives de cette fraction continue sont :

$u_0=\frac{2}{1},\frac{3}{1},\frac{5}{2},u_3=\frac{8}{3},\frac{37}{14},\frac{45}{17},\frac{82}{31},u_7=\frac{127}{48},\frac{590}{223},\frac{717}{271},\frac{1307}{494},u_{11}=\frac{2024}{765},\dots ,u_{15}=\frac{32257}{12192},\dots$

Leurs numérateurs forment la Modèle:OEIS, et les dénominateurs la Modèle:OEIS.

La suite $(u_n)$ vérifie la relation de récurrence homographique $u_{n+4}=2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+u_n))))=\frac{8u_n+21}{3u_n+8}$.

Chaque réduite est une meilleure approximation rationnelle de Modèle:Racine ; en d'autres termes, elle est plus proche de Modèle:Racine que n’importe quel rationnel de dénominateur plus petit. Le nombre de décimales correctes augmente linéairement à raison de moins d'un chiffre par pas :

$\frac{2}{1}=2,0;\frac{3}{1}=3,0;\frac{5}{2}=2,5;\frac{8}{3}=2,66\dots ;\frac{37}{14}=2,6429...;\frac{45}{17}=2,64705...;\frac{82}{31}=2,64516...;\frac{127}{48}=2,645833...;\dots$

Les termes $u_{4k+3}$ sont égaux à $\frac{a_k}{b_k}$ où $a_k,b_k$ sont les entiers définis par $(8+3\sqrt{7}{)}^{k+1}=a_k+b_k\sqrt{7}$ ,

et les couples $(a_k,b_k):(8,3),(127,48),\text{etc.}$ sont les solutions de l'équation de Pell-Fermat :

$x^2-7y^2=1$.

Fraction continue généralisée

La méthode de Bombelli utilisant pour $a>0$ la relation $\sqrt{7}=a+\frac{7-a^2}{a+\sqrt{7}}$ permet d'obtenir le développement en fraction continue généralisée :$\sqrt{7}=a+\frac{7-a^2}{2a+\frac{7-a^2}{2a+\frac{7-a^2}{2a+\frac{7-a^2}{2a+\dots }}}}=1+\frac{7-a^2\mid }{\mid 2a}+\frac{7-a^2\mid }{\mid 2a}+\cdots$.

Pour $a=2$ on obtient $\sqrt{7}=2+\frac{3}{4+\frac{3}{4+\ddots }}$dont les réduites sont $v_0=2,v_1=\frac{11}{4},\frac{50}{19},v_3=\frac{233}{88},\dots$

Le rationnel $v_n$ est égal à $\frac{c_n}{d_n}$ où $c_n,d_n$ sont les entiers définis par $(2+\sqrt{7}{)}^{n+1}=c_n+d_n\sqrt{7}$ .

Pour $a=3$, $\sqrt{7}=3-\frac{2}{6-\frac{2}{6-\frac{2}{6-\ddots }}}$ qui se simplifie en $\sqrt{7}=3-\frac{1}{3-\frac{1}{6-\frac{1}{3-\ddots }}}=[3;-3,-6,-3,-6,\dots ]$.

Ses réduites successives, $3,\frac{8}{3},\frac{45}{17},\dots$ forment la sous-suite $(u_{2n+1})$ de $(u_n)$.

Méthode de Héron

Par la méthode de héron, Modèle:Racine est la limite de la suite définie par Modèle:Formule et Modèle:Formule; La suite converge quadratiquement (nombre de chiffres décimaux proportionnel au carré du nombre de pas).

Pour $a=3$, on obtient

$x_0=3,x_1=\frac{8}{3}=2,66...,x_2=\frac{127}{48}=2,6458...,x_3=\frac{32257}{12192}=2,645751312...,x_4=\frac{2081028097}{786554688}=2,645751311064591...,\dots$

On a $x_n=u_{2^{n+1}-1}$, et comme $2^{n+1}-1=4(2^{n-1}-1)+3$, tous les termes sauf le premier fournissent une solution à l’équation de Pell-Fermat ci-dessus.

Pour $a=2$, on obtient

$x{\text{'}}_0=2,x{\text{'}}_1=\frac{11}{4}=2,75,x_2=\frac{233}{88}=2,64...,x_3=\frac{108497}{41008}=2,64575...,\dots$

On a cette fois $x{\text{'}}_n=v_{2^n-1}$.

En dehors des mathématiques

Fichier:Dollar reverse with root 7 rectangle on large inner rectangle.png

Numérisation du billet de 1 dollar américain.

Au revers du billet d'un dollar américain actuel, le rectangle intérieur est le rectangle ayant une diagonale de 6 pouces et un rapport longueur/largeur égal à Modèle:Racine ; il est donc de largeur Modèle:Sfrac ≈ 2,121 pouces et de longueur Modèle:Sfrac ≈ 5,612 pouces.

Voir également

• Racine carrée
• Racine carrée d'un entier naturel
• Racine carrée de 2
• Racine carrée de 3
• Racine carrée de 5
• Racine carrée de 6
• Formules trigonométriques en kπ/7