Théorème des trois carrés

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Modèle:Ébauche En mathématiques et plus précisément en arithmétique modulaire, le théorème des trois carrés s'énonce de la manière suivante :

Modèle:Énoncé

Les premiers entiers naturels qui ne sont pas somme de trois carrés sont donc :

7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71 ... Modèle:OEIS.

Dit autrement, les racines carrées de ces nombres sont les longueurs interdites des diagonales d'un parallélépipède rectangle à côtés entiers.

Les premiers entiers naturels qui sont somme de trois carrés sont donc : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, ... Modèle:OEIS

Histoire

N. Beguelin découvre en 1774[1] que chaque entier positif qui n'est ni de la forme 8n + 7, ni de la forme 4n, est somme de 3 carrés, sans pour autant fournir de preuve satisfaisante[2]. Cette assertion est clairement équivalente[3] à la partie "si" de l'assertion (1) ci-dessus, dont Adrien-Marie Legendre, en 1797 ou 1798[4], donne une preuve défectueuse[5]. En 1801, Carl Friedrich Gauss donne la première preuve correcte et complète de ce théorème[6], en comptant même les solutions de l'écriture d'un entier en somme de trois carrés, ce qui généralise un autre résultat de Legendre[7], dont la preuve laissait également à désirer[8].

Avec le théorème des quatre carrés de Lagrange (conjecturé par Bachet), qui devient d'ailleurs un corollaire du théorème des trois carrés[9], et le théorème des deux carrés d'Euler (conjecturé par Girard et Fermat), le problème de Waring pour k = 2 est entièrement résolu.

Démonstrations

Le sens « seulement si » de l'équivalence est simplement dû au fait que modulo 8, tout carré est congru à 0, 1 ou 4. Pour la réciproque, les trois outils principaux de la preuve, due à Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1850[10]Modèle:,[11] et devenue classique[9], sont

Cette réciproque peut également se déduire du théorème de Davenport-Cassels[12], qui permet même de montrer que dès qu'un entier est somme de trois carrés de rationnels, il est somme de trois carrés d'entiers.

Sommes de trois carrés non nuls

Les premiers entiers naturels qui sont sommes de trois carrés non nuls sont : 3, 6, 9, 11, 12, 14, 17, 18, 19, 21, 22, 24, 26, 27, 29, 30,... : Modèle:OEIS.

Il a été démontré que les entiers naturels qui sont sommes de trois carrés mais qui ne sont pas somme de trois carrés non nuls sont les nombres de la forme 4i.k où i est un entier naturel et k∈{0,1,2,5,10,13,25,37,58,85,130,?}, où ? désigne un entier inconnu qui s'il existe est >5.1010[13]. Les premiers de ces entiers sont 0,1,2,4,5,8=4⋅2,10,13,16=42,20=4⋅5,25,32=42⋅2,37,40=4⋅10,52=4⋅13,58,64=43,80=42⋅5,85,100=4⋅25

Notes et références

Modèle:Références

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

Modèle:Article

Liens externes

Modèle:Portail

  1. ↑ « Démonstration du théorème de Bachet, et analyse des nombres en triangulaires & en quarrés », Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin (1774, publ. 1776), Modèle:P..
  2. ↑ Modèle:Dickson1, vol. II, p. 15 (Carnegie Institute of Washington 1919; AMS Chelsea Publ., 1992, reprint).
  3. ↑ A. L. Cauchy, « Démonstration du théorème général de Fermat sur les nombres polygones », Mém. Sci. Math. Phys. de l'Institut de France, (1) 14 (1813-1815), Modèle:P. et suiv., Œuvres complètes, série 2, tome 6, p. 320 et suiv. : voir Modèle:P..
  4. ↑ A.-M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres, Paris, An VI (1797-1798), Modèle:P..
  5. ↑ Modèle:Harvsp, ne remarque pas les défauts de cette preuve, mais voir l'analyse précise de Modèle:Dis.ar, Addition aux Nos 288-293, Modèle:Lire sur Wikisource et les commentaires de Modèle:Weil1, Modèle:Google Livres ou Modèle:Ouvrage.
  6. ↑ Modèle:Harvsp, Modèle:Lire sur Wikisource.
  7. ↑ A.-M. Legendre, « Recherches d'analyse indéterminée », Hist. et Mém. Acad. Roy. Sci. Paris, 1785, Modèle:P. : Modèle:P..
  8. ↑ Modèle:Harvsp.
  9. ↑ 9,0 et 9,1 Voir par exemple vol. I, partie III, chap. 4 de : Modèle:De E. Landau, Vorlesungen über Zahlentheorie, New York, Chelsea, 1927.
  10. ↑ Modèle:Article.
  11. ↑ Modèle:Article.
  12. ↑ Pour une autre démonstration, voir par exemple Modèle:Article.
  13. ↑ Modèle:Article
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