Voir la source de Racine carrée de six

[[Fichier:Rectangles_of_area_6_and_6.25.png|vignette| Rectangles d'aire 6, comprenant ceux de côtés 2x3 et 3x2 (en noir), un carré de côté "moyenne géométrique de 2 et 3", soit racine carrée de 6 (pointillés rouges) , et un carré de côté "moyenne arithmétique de 2 et 3" (pointillés noirs) d'aire 6,25]]En [[mathématiques]], la '''[[racine carrée]] de six''', notée  {{racine|6}} ou 6{{exp|1/2}}, est un [[nombre réel]] [[Nombre remarquable|remarquable]] ; c'est l'unique réel positif dont le carré est égal à 6. Il vaut [[Valeur approchée|approximativement]] 2,45.

6 étant le produit de 2 et 3, la racine carrée de 6 est la [[moyenne géométrique]] de 2 et 3, et le produit de la [[Racine carrée de deux|racine carrée de 2]] et de la [[Racine carrée de trois|racine carrée de 3]].

C'est un [[nombre algébrique]] [[Nombre irrationnel|irrationnel]], un [[irrationnel quadratique]] et un [[entier quadratique]] ([[entier algébrique]] de degré 2).

== Approximations rationnelles ==

=== Développement décimal ===
Les soixante premiers chiffres du [[développement décimal]] de {{racine|6}} sont :

: 2,44948974278317809819728407470589139196594748065667012843269.... , voir la {{OEIS|A010464}}.

{{racine|6}} peut être arrondi à 2,45 avec une précision d'environ 99,98 %  (différant de la valeur correcte d'environ{{Sfrac|1|2 000}}). Il faut deux décimales supplémentaires (2,4495) pour réduire l’erreur d’environ moitié. L'approximation {{Sfrac|218|89}} (≈ 2,449438...) est presque dix fois meilleure : bien qu'elle ait un [[Fraction (mathématiques)|dénominateur]] égal seulement à 89, elle diffère de la valeur correcte de moins de {{Sfrac|1|20 000}}.

[[National Aeronautics and Space Administration|La NASA]] a publié plus d'un million de chiffres décimaux de la racine carrée de six<ref name="nasa">{{Lien web |auteur=Robert Nemiroff |auteur2=Jerry Bonnell |titre=the first 1 million digits of the square root of 6 |url=https://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/sqrt6.1mil |série=nasa.gov |consulté le=17 mars 2022}}</ref>.

=== Développements en fraction continue ===
La [[Raphaël Bombelli#Méthode de calcul des racines carrées|méthode de Bombelli]] utilisant pour <math>a>0</math> la relation <math>\sqrt6=a+\frac{6-a^2}{a+\sqrt6}</math> permet d'obtenir le développement en [[fraction continue généralisée]] suivant : <math>\sqrt6=\ a + \frac{6-a^2}{2a + \frac{6-a^2}{2a + \frac{6-a^2}{2a + \ldots}}}=
1 + \frac{6-a^2 \mid}{\mid 2a} + \frac{6-a^2 \mid}{\mid 2a} +\cdots</math>

Prenant <math>a=2</math>, on obtient :

<math>\sqrt6=\ 2 + \frac{2}{4 + \frac{2}{4 + \frac{2}{4 + \frac{2}{4 + \ldots}}}}=
1 + \frac{2 \mid}{\mid 4} + \frac{2 \mid}{\mid 4} +\cdots </math><ref name=":0">{{Ouvrage|auteur1=F. Jaboeuf|titre=Les fractions continues|éditeur=Irem de Montpellier|année=septembre 1985|passage=27-29, 45}}</ref>.

En simplifiant par 2 un étage sur deux on obtient le [[Fraction continue|développement en fraction continue]] simple de {{racine|6}} <ref>{{lien web |auteur=Serge Mehl |titre=Développement d'un nombre en fraction continue |sous-titre=Développement périodique et irrationalité |url=http://serge.mehl.free.fr/anx/fraction_cont.html#conv |site=ChronoMath}}</ref> :

<math> \sqrt6=[2, \overline{2,4}] = 2 + \cfrac 1 {2 + \cfrac 1 {4 + \cfrac 1 {2 + \cfrac 1 {4 + \dots}}}}. </math> voir la {{OEIS|A040003}}.

Ce développement est périodique (période de longueur 2) comme pour tout [[irrationnel quadratique]] (irrationnel solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), et le [[Fraction continue d'un irrationnel quadratique#Palindrome|théorème de Legendre]] est bien vérifié.

Les huit premières [[Fraction continue#Réduites d'une fraction continue|réduites]] communes à ces deux développements sont :<math>u_0=\frac{2}{1}, u_1=\frac{5}{2}, \frac{22}{9}, u_3=\frac{49}{20}, \frac{218}{89}, \frac{485}{198}, \frac{2158}{881}, u_7=\frac{4801}{1960}</math>.

Comme pour toute ''fraction continue'' d’un nombre irrationnel, elles constituent les [[Fraction continue et approximation diophantienne#Théorème de meilleure approximation rationnelle|''meilleures'' approximations]] de {{sqrt|6}} .

Elles forment la suite <math>(u_n)</math>, [[Limites de référence#Suites homographiques|récurrente homographique]], définie par : <math>\ u_0 = 2, \ u_{n+1} =2+\frac2{2+u_n}= \frac{2u_n+6}{u_n+2}</math>.

Les deux sous-suites <math>(u_{2n})\text{ et }(u_{2n+1})</math> sont [[Suites adjacentes|adjacentes]] de limite <math>\sqrt6</math> et l'on a <math>u_{2n}<\sqrt6<u_{2n+1}</math>.

Le rationnel <math>u_n</math> est égal à <math>\frac{a_n}{b_n}</math> où <math>a_n,b_n</math> sont les entiers définis par <math>(2+\sqrt6)^{n+1}=a_n+b_n\sqrt6</math> ; les suites, <math>(a_n),(b_n)</math> sont définies par <math>a_0=2,b_0=1,\begin{cases} a_{n+1}=2a_n+6b_n  \\ b_{n+1}=a_n+2b_n \end{cases}</math><ref name=":0" />.

On en déduit l'expression explicite<ref name=":0" /> :

* <math>\forall \ n \geqslant 0, \ u_n = \sqrt6 \frac{(2+\sqrt6)^{n+1}+(2-\sqrt6)^{n+1}}
{(2+\sqrt6)^{n+1}-(2-\sqrt6)^{n+1}}</math>

Les numérateurs ''réduits'' des <math>u_n</math> sont 2, 5, 22, 49, 218, 485, 2158, 4801, 21362, 47525, 211462, … ({{OEIS|id=A041006}})  et leurs dénominateurs réduits 1, 2, 9, 20, 89, 198, 881, 1960, 8721, 19402, 86329, … ({{OEIS|id=A041007}}) <ref name="conrad">{{Lien web |auteur=Conrad |prénom=Keith |titre=Pell's Equation II |url=https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ugradnumthy/pelleqn2.pdf |série=uconn.edu |consulté le=17 mars 2022 |extrait=The continued fraction of √6 is [2; {{surligner|2, 4}}], and the table of convergents below suggests (and it is true) that every other convergent provides a solution to {{math |''x''<sup>2</sup> − 6''y''<sup>2</sup> {{=}} 1}}.}}</ref>.

Ces numérateurs notés <math>x</math> et ces dénominateurs notés <math>y</math>, fournissent alternativement des solutions aux [[Équation de Pell-Fermat|équations de Pell-Fermat]] <ref name="conrad2">{{lien web|prénom=Keith |nom=Conrad |titre=Pell's Equation II |url=https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ugradnumthy/pelleqn2.pdf |website=uconn.edu |consulté le=17 mars 2022 |extrait=The continued fraction of √6 is [2; {{surligner|2, 4}}], and the table of convergents below suggests (and it is true) that every other convergent provides a solution to {{math |''x''<sup>2</sup> − 6''y''<sup>2</sup> {{=}} 1}}.}}</ref>

: <math>x^2 - 6y^2 = -2\quad \mathrm{and} \quad x^2 - 6y^2 = 1</math>.
La [[Raphaël Bombelli#Méthode de calcul des racines carrées|méthode de Bombelli]] pour <math>a=2</math> conduit à la [[fraction continue généralisée]] : <math>\sqrt6=\ 3 - \frac{3}{6 - \frac{3}{6 - \frac{3}{6 - \frac{3}{6 - \ddots}}}}  </math> qui se simplifie en <math>\sqrt6=\ 3 - \frac{1}{2 - \frac{1}{6 - \frac{1}{2 - \frac{1}{6 - \ddots}}}}=[3,\overline{-2,6}]  </math>.

=== Méthode de Héron ===
Par la [[Méthode de Héron|méthode de héron]], {{Racine|6}} est la limite de la suite définie par {{Formule||§=''x''<sub>0</sub> {{=}} ''a'' > 0}} et  {{Formule||§=''x''<sub>''n''+1</sub> {{=}} {{sfrac|1|2}}{{big|{{big|(}}}}''x''<sub>''n''</sub> + {{sfrac|6|''x''<sub>''n''</sub>}}{{big|{{big|)}}}}}} qui [[Vitesse de convergence des suites|converge quadratiquement]] (nombre de chiffres décimaux proportionnel au carré du nombre de pas).

On obtient pour <math>a=2</math> :

: <math> x_0 = 2, \quad x_1 = \frac{5}{2} = 2,5, \quad x_2 = \frac{49}{20} =2,45, 
\quad x_3 = \frac{4801}{1960} = 2,449489796..., \quad x_4 = \frac{46099201}{18819920} = 2,449489742783179..., \quad \dots</math>
Les numérateurs de cette suite forment la {{OEIS|id=A244014}}, et ses dénominateurs la {{OEIS|id=A244015}}.

La suite <math>(x_n)</math> est une [[sous-suite]] de la suite <math>(u_n)</math> des réduites de la fraction continue de √6. Plus précisément : <math> x_n = u_{(2^n-1)}</math><ref name=":0" />{{,}}<ref name=":1">{{Lien web |titre=Comparaison des suites de Héron et de Bombelli |url=http://docs.irem.univ-paris-diderot.fr/up/MATH_Histoire/comparaison_heron_bombelli.pdf |site=docs.irem.univ-paris-diderot.fr}}</ref>.

== En géométrie ==
[[Fichier:Root_rectangles_up_to_6.png|vignette| Illustration d'une construction de la racine carrée de 6.]]
En [[Géométrie euclidienne|géométrie plane]], la racine carrée de 6 peut être construite via une suite de [[Rectangle|rectangles]] dynamiques, comme illustré à droite <ref name="hambidge">{{Ouvrage|nom1=Jay Hambidge|titre=Dynamic Symmetry: The Greek Vase|lieu=Whitefish, MT|éditeur=Reprint of original Yale University Press|année=1920|année première édition=1920|pages totales=[https://archive.org/details/bub_gb_Qq4gAAAAMAAJ/page/n29 19]–29|isbn=0-7661-7679-7|lire en ligne=https://archive.org/details/bub_gb_Qq4gAAAAMAAJ|extrait=Dynamic Symmetry root rectangles.}}</ref>{{,}}<ref name="ghyka">{{Ouvrage|nom1=Matila Ghyka|titre=The Geometry of Art and Life|éditeur=Courier Dover Publications|année=1977|pages totales=[https://archive.org/details/geometryofartlif00mati/page/126 126–127]|isbn=9780486235424|lire en ligne=https://archive.org/details/geometryofartlif00mati|accès url=inscription}}</ref>{{,}}<ref name="fletcher">{{Ouvrage|prénom1=Rachel|nom1=Fletcher|titre=Infinite Measure: Learning to Design in Geometric Harmony with Art, Architecture, and Nature|éditeur=George F Thompson Publishing|date=2013|isbn=978-1-938086-02-1|lire en ligne=https://infinitemeasure.com/publications/infinite-measure/}}</ref>..
[[Fichier:Distances between double cube corners.svg|gauche|vignette]]
En [[géométrie dans l'espace]], la racine carrée de 6 apparaît comme la plus grande distance entre les sommets du double cube, comme illustré à gauche. Les racines carrées de tous les [[Entier naturel|entiers naturels]] inférieurs apparaissent comme les distances entre les autres paires de sommets du double cube (y compris les sommets des deux cubes inclus)<ref name="fletcher" />.

La longueur du côté d'un cube dont la surface extérieure est égale à 1 vaut <math>\frac{\sqrt{6}}{6}=\frac1\sqrt6 </math>. Les longueurs des arêtes d'un [[tétraèdre régulier]] (t), d'un [[octaèdre régulier]] (o) et d'un [[cube]] (c) de surfaces totales égales satisfont  <math>\frac{t\cdot o}{c^2} = \sqrt{6}</math><ref name="rechtman">{{Lien web |auteur=Rechtman |prénom=Ana |titre=Un défi par semaine Avril 2016, 3e défi (Solution du 2e défi d'Avril) |url=https://images.math.cnrs.fr/Avril-2016-3e-defi.html |série=Images des Mathématiques |consulté le=23 mars 2022}}</ref>.[[Fichier:Regular_octahedron_with_inscribed_sphere_annotated.png|vignette|Un octaèdre régulier avec sa sphère inscrite, illustrant le rapport égal à racine carrée de 6 entre la longueur d'une arête et le rayon.]]La longueur de l'arête d'un [[octaèdre régulier]] est égale à la racine carrée de 6 fois le rayon de la [[sphère inscrite]] (c'est-à-dire la distance entre le centre du solide et le centre de chaque face)<ref name="gould">{{Ouvrage|nom1=S. C. & L. M. Gould|titre=The Bizarre Notes and Queries in History, Folk-lore, Mathematics, Mysticism, Art, Science, Etc, Volumes 7-8|lieu=Manchester, N. H.|année=1890|passage=342|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=WywAAAAAYAAJ&pg=PA342|consulté le=19 mars 2022|extrait="In the [[octahedron]] whose diameter is 2, the linear edge equals the square root of 6."}}</ref>.[[Fichier:Equilateral_triangle_with_circumscribed_rectangle_and_square.png|gauche|vignette| Un triangle équilatéral avec un rectangle circonscrit et un carré circnscrit ; le côté du carré vaut <math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}</math> , et la diagonale du rectangle [[Racine carrée de sept|racine carrée de 7]].]]La racine carrée de 6 apparaît dans divers autres contextes géométriques, comme la longueur du côté <math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}</math>du carré circonscrit à un [[triangle équilatéral]] de côté 2 (voir figure à gauche).








== Trigonométrie ==
La racine carrée de 6, conjointement avec la [[racine carrée de 2]] ajoutée ou soustraite, apparaît dans plusieurs valeurs trigonométriques exactes pour des angles multiples de 15 degrés (π/12 radians)<ref name="Abramowitz and Stegun">{{Ouvrage|titre=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables|lieu=New York|éditeur=[[Dover Publications]]|année=1972|passage=74|isbn=978-0-486-61272-0|lire en ligne=https://archive.org/details/handbookofmathe000abra|editor-first=Irene A.}}</ref> :
{| class="wikitable"
|+
!radians
!degrés
!sin
!cos
|-
|<math>\frac{\pi}{12}</math>
|<math>15^\circ</math>
|<math>\frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} } {4}</math>
|<math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>
|-
|<math>\frac{5\pi}{12}</math>
|<math>75^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {4}</math>
|<math>\frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2}} {4}</math>
|}
[[Fichier:13th-century_fifth-point_arch_shape.png|vignette| Arc en cinquième point du XIIIe siècle, selon l'interprétation de Branner en 1960 (Paris, Bibliothèque nationale de France, MS Fr 19093) de l'artiste [[Picardie (province)|picard]] du XIIIe siècle Villard de Honnecourt.]]
== Dans la culture ==
La construction du XIIIe siècle [[Villard de Honnecourt|par Villard de Honnecourt]] d'un « arc en cinquième point » gothique avec des arcs de cercle de rayon 5 a une hauteur égale à deux fois la racine carrée de 6, comme illustré ici<ref>{{Article|auteur1=Branner|prénom1=Robert|titre=Villard de Honnecourt, Archimedes, and Chartres|périodique=Journal of the Society of Architectural Historians|volume=19|numéro=3|pages=91–96|date=1960|doi=10.2307/988023|jstor=988023|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/988023|consulté le=25 mars 2022}}</ref>{{,}}<ref>{{Article|auteur1=Shelby|prénom1=Lon R.|titre=Setting Out the Keystones of Pointed Arches: A Note on Medieval 'Baugeometrie'|périodique=Technology and Culture|volume=10|numéro=4|pages=537–548|année=1969|doi=10.2307/3101574|jstor=3101574|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/3101574|consulté le=25 mars 2022}}</ref>.

== Références ==
{{Traduction/Référence|lang1=en|art1=Square root of 6|id1=1202305819}}
{{Références}}

== Voir aussi ==

* [[Racine carrée]]
* [[Racine carrée d'un entier naturel]]
* [[Racine carrée de deux|Racine carrée de 2]]
* [[Racine carrée de trois|Racine carrée de 3]]
* [[Racine carrée de cinq|Racine carrée de 5]]
* [[Racine carrée de sept|Racine carrée de 7]]

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Constante mathématique]]
[[Catégorie:Racine carrée|6]]
[[Catégorie:Pages avec des traductions non relues]]