Racine carrée de six

Fichier:Rectangles of area 6 and 6.25.png

Rectangles d'aire 6, comprenant ceux de côtés 2x3 et 3x2 (en noir), un carré de côté "moyenne géométrique de 2 et 3", soit racine carrée de 6 (pointillés rouges) , et un carré de côté "moyenne arithmétique de 2 et 3" (pointillés noirs) d'aire 6,25

En mathématiques, la racine carrée de six, notée Modèle:Racine ou 6Modèle:Exp, est un nombre réel remarquable ; c'est l'unique réel positif dont le carré est égal à 6. Il vaut approximativement 2,45.

6 étant le produit de 2 et 3, la racine carrée de 6 est la moyenne géométrique de 2 et 3, et le produit de la racine carrée de 2 et de la racine carrée de 3.

C'est un nombre algébrique irrationnel, un irrationnel quadratique et un entier quadratique (entier algébrique de degré 2).

Approximations rationnelles

Développement décimal

Les soixante premiers chiffres du développement décimal de Modèle:Racine sont :

2,44948974278317809819728407470589139196594748065667012843269.... , voir la Modèle:OEIS.

Modèle:Racine peut être arrondi à 2,45 avec une précision d'environ 99,98 % (différant de la valeur correcte d'environModèle:Sfrac). Il faut deux décimales supplémentaires (2,4495) pour réduire l’erreur d’environ moitié. L'approximation Modèle:Sfrac (≈ 2,449438...) est presque dix fois meilleure : bien qu'elle ait un dénominateur égal seulement à 89, elle diffère de la valeur correcte de moins de Modèle:Sfrac.

La NASA a publié plus d'un million de chiffres décimaux de la racine carrée de six^[1].

Développements en fraction continue

La méthode de Bombelli utilisant pour $a > 0$ la relation $\sqrt{6} = a + \frac{6 - a^{2}}{a + \sqrt{6}}$ permet d'obtenir le développement en fraction continue généralisée suivant : $\sqrt{6} = a + \frac{6 - a^{2}}{2 a + \frac{6 - a^{2}}{2 a + \frac{6 - a^{2}}{2 a + \dots}}} = 1 + \frac{6 - a^{2} ∣}{∣ 2 a} + \frac{6 - a^{2} ∣}{∣ 2 a} + \dots$

Prenant $a = 2$ , on obtient :

$\sqrt{6} = 2 + \frac{2}{4 + \frac{2}{4 + \frac{2}{4 + \frac{2}{4 + \dots}}}} = 1 + \frac{2 ∣}{∣ 4} + \frac{2 ∣}{∣ 4} + \dots$ ^[2].

En simplifiant par 2 un étage sur deux on obtient le développement en fraction continue simple de Modèle:Racine ^[3] :

$\sqrt{6} = [2, \overline{2, 4}] = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{2 + \frac{1}{4 + \dots}}}} .$ voir la Modèle:OEIS.

Ce développement est périodique (période de longueur 2) comme pour tout irrationnel quadratique (irrationnel solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), et le théorème de Legendre est bien vérifié.

Les huit premières réduites communes à ces deux développements sont : $u_{0} = \frac{2}{1}, u_{1} = \frac{5}{2}, \frac{22}{9}, u_{3} = \frac{49}{20}, \frac{218}{89}, \frac{485}{198}, \frac{2158}{881}, u_{7} = \frac{4801}{1960}$ .

Comme pour toute fraction continue d’un nombre irrationnel, elles constituent les meilleures approximations de Modèle:Sqrt .

Elles forment la suite $(u_{n})$ , récurrente homographique, définie par : $u_{0} = 2, u_{n + 1} = 2 + \frac{2}{2 + u_{n}} = \frac{2 u_{n} + 6}{u_{n} + 2}$ .

Les deux sous-suites $(u_{2 n}) et (u_{2 n + 1})$ sont adjacentes de limite $\sqrt{6}$ et l'on a $u_{2 n} < \sqrt{6} < u_{2 n + 1}$ .

Le rationnel $u_{n}$ est égal à $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ où $a_{n}, b_{n}$ sont les entiers définis par $(2 + \sqrt{6})^{n + 1} = a_{n} + b_{n} \sqrt{6}$ ; les suites, $(a_{n}), (b_{n})$ sont définies par $a_{0} = 2, b_{0} = 1, {\begin{matrix} a_{n + 1} = 2 a_{n} + 6 b_{n} \\ b_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n} \end{matrix}$ ^[2].

On en déduit l'expression explicite^[2] :

$\forall n ⩾ 0, u_{n} = \sqrt{6} \frac{(2 + \sqrt{6})^{n + 1} + (2 - \sqrt{6})^{n + 1}}{(2 + \sqrt{6})^{n + 1} - (2 - \sqrt{6})^{n + 1}}$

Les numérateurs réduits des $u_{n}$ sont 2, 5, 22, 49, 218, 485, 2158, 4801, 21362, 47525, 211462, … (Modèle:OEIS) et leurs dénominateurs réduits 1, 2, 9, 20, 89, 198, 881, 1960, 8721, 19402, 86329, … (Modèle:OEIS) ^[4].

Ces numérateurs notés $x$ et ces dénominateurs notés $y$ , fournissent alternativement des solutions aux équations de Pell-Fermat ^[5]

x^{2} - 6 y^{2} = - 2 a n d x^{2} - 6 y^{2} = 1

.

La méthode de Bombelli pour $a = 2$ conduit à la fraction continue généralisée : $\sqrt{6} = 3 - \frac{3}{6 - \frac{3}{6 - \frac{3}{6 - \frac{3}{6 - ⋱}}}}$ qui se simplifie en $\sqrt{6} = 3 - \frac{1}{2 - \frac{1}{6 - \frac{1}{2 - \frac{1}{6 - ⋱}}}} = [3, \overline{- 2, 6}]$ .

Méthode de Héron

Par la méthode de héron, Modèle:Racine est la limite de la suite définie par Modèle:Formule et Modèle:Formule qui converge quadratiquement (nombre de chiffres décimaux proportionnel au carré du nombre de pas).

On obtient pour $a = 2$ :

x_{0} = 2, x_{1} = \frac{5}{2} = 2, 5, x_{2} = \frac{49}{20} = 2, 45, x_{3} = \frac{4801}{1960} = 2, 449489796 . . ., x_{4} = \frac{46099201}{18819920} = 2, 449489742783179 . . ., \dots

Les numérateurs de cette suite forment la Modèle:OEIS, et ses dénominateurs la Modèle:OEIS.

La suite $(x_{n})$ est une sous-suite de la suite $(u_{n})$ des réduites de la fraction continue de √6. Plus précisément : $x_{n} = u_{(2^{n} - 1)}$ ^[2]Modèle:,^[6].

En géométrie

Fichier:Root rectangles up to 6.png

Illustration d'une construction de la racine carrée de 6.

En géométrie plane, la racine carrée de 6 peut être construite via une suite de rectangles dynamiques, comme illustré à droite ^[7]Modèle:,^[8]Modèle:,^[9]..

Fichier:Distances between double cube corners.svg

En géométrie dans l'espace, la racine carrée de 6 apparaît comme la plus grande distance entre les sommets du double cube, comme illustré à gauche. Les racines carrées de tous les entiers naturels inférieurs apparaissent comme les distances entre les autres paires de sommets du double cube (y compris les sommets des deux cubes inclus)^[9].

La longueur du côté d'un cube dont la surface extérieure est égale à 1 vaut

\frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{1}{\sqrt{6}}

. Les longueurs des arêtes d'un tétraèdre régulier (t), d'un octaèdre régulier (o) et d'un cube (c) de surfaces totales égales satisfont

\frac{t \cdot o}{c^{2}} = \sqrt{6}

^[10].

Fichier:Regular octahedron with inscribed sphere annotated.png

Un octaèdre régulier avec sa sphère inscrite, illustrant le rapport égal à racine carrée de 6 entre la longueur d'une arête et le rayon.

La longueur de l'arête d'un octaèdre régulier est égale à la racine carrée de 6 fois le rayon de la sphère inscrite (c'est-à-dire la distance entre le centre du solide et le centre de chaque face)^[11].

Fichier:Equilateral triangle with circumscribed rectangle and square.png

Un triangle équilatéral avec un rectangle circonscrit et un carré circnscrit ; le côté du carré vaut

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}

, et la diagonale du rectangle racine carrée de 7.

La racine carrée de 6 apparaît dans divers autres contextes géométriques, comme la longueur du côté

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}

du carré circonscrit à un triangle équilatéral de côté 2 (voir figure à gauche).

Trigonométrie

La racine carrée de 6, conjointement avec la racine carrée de 2 ajoutée ou soustraite, apparaît dans plusieurs valeurs trigonométriques exactes pour des angles multiples de 15 degrés (π/12 radians)^[12] :


radians	degrés	sin	cos
$\frac{π}{12}$	$1 5^{\circ}$	$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
$\frac{5 π}{12}$	$7 5^{\circ}$	$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Fichier:13th-century fifth-point arch shape.png

Arc en cinquième point du XIIIe siècle, selon l'interprétation de Branner en 1960 (Paris, Bibliothèque nationale de France, MS Fr 19093) de l'artiste picard du XIIIe siècle Villard de Honnecourt.

Dans la culture

La construction du XIIIe siècle par Villard de Honnecourt d'un « arc en cinquième point » gothique avec des arcs de cercle de rayon 5 a une hauteur égale à deux fois la racine carrée de 6, comme illustré ici^[13]Modèle:,^[14].

Références

Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références

Voir aussi

Modèle:Portail

[nasa-1] Modèle:Lien web

[:0-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 et ^2,3 Modèle:Ouvrage

[3] Modèle:Lien web

[conrad-4] Modèle:Lien web

[conrad2-5] Modèle:Lien web

[:1-6] Modèle:Lien web

[hambidge-7] Modèle:Ouvrage

[ghyka-8] Modèle:Ouvrage

[fletcher-9] 9,0 et ^9,1 Modèle:Ouvrage

[rechtman-10] Modèle:Lien web

[gould-11] Modèle:Ouvrage

[Abramowitz_and_Stegun-12] Modèle:Ouvrage

[13] Modèle:Article

[14] Modèle:Article

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

Racine carrée de six

Sommaire

Approximations rationnelles

Développement décimal

Développements en fraction continue

Méthode de Héron

En géométrie

Trigonométrie

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Références

Voir aussi

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