Moyenne géométrique

En mathématiques, la moyenne géométrique est un type de moyenne.

Définition élémentaire

La moyenne géométrique de deux nombres positifs Modèle:Math et Modèle:Math est le nombre positif Modèle:Math tel que :

$\frac{a}{c}=\frac{c}{b}$.

Cette égalité étant une proportion, ceci justifie l'autre appellation « moyenne proportionnelle » de la moyenne géométrique.

Interprétation géométrique

La moyenne géométrique des côtés d'un rectangle est donnée par un carré de même aire. Elle est construite par un cercle tangent aux deux cercles définis par les côtés du rectangle et les séparant.

Géométriquement, ce nombre Modèle:Math est le côté d'un carré dont la surface est la même que celle du rectangle de côtés Modèle:Math et Modèle:Math, puisque dans ce cas :

$c^2=ab.$

On peut calculer directement la moyenne géométrique de deux nombres en prenant la racine carrée de l'expression précédente :

$c=\sqrt{ab}=(ab{)}^{1/2}.$

Généralisation

Cas discret

Sous cette dernière forme, on voit que le logarithme (en base quelconque) transforme l'expression en une moyenne arithmétique : $\log c=\frac{\log a+\log b}{2}$ (à condition que Modèle:Math et Modèle:Math ne soient pas nuls, le logarithme n'étant pas défini en 0).

D'où la généralisation : la moyenne géométrique d'une série statistique quantitative positive non nulle est définie telle que son logarithme est la moyenne arithmétique des logarithmes des valeurs de la série.

Sa formulation peut se faire comme suit :

$\log \overline{x}=\frac{\log x_1+\log x_2+\dots +\log x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\log x_i.$

On en déduit :

$\overline{x}=\sqrt[n]{x_1\times x_2\times \dots \times x_n}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}.$

Pour une série statistique dont le nombre total d’occurrences est infini ou inconnu, mais dont le nombre de valeurs positives non nulles possibles est fini et leurs fréquences respectives dans la série sont connues, la formulation mathématique devient :

$\log \overline{x}=\frac{f_1\log x_1+f_2\log x_2+\dots +f_n\log x_n}{f_1+f_2+\dots +f_n}=\frac{\sum _{i=1}^n{f}_i\log x_i}{\sum _{i=1}^n{f}_i},\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\sum _{i=1}^n{f}_i=1.$

On en déduit (en utilisant par exemple le logarithme népérien) :

$\overline{x}=\exp \left(\frac{f_1\ln x_1+f_2\ln x_2+\dots +f_n\ln x_n}{f_1+f_2+\dots +f_n}\right)=\exp \left(\frac{\sum _{i=1}^n{f}_i\ln x_i}{\sum _{i=1}^n{f}_i}\right),$

d’où :

$\overline{x}={x_1}^{f_1}\times {x_2}^{f_2}\times \dots \times {x_n}^{f_n}=\prod _{i=1}^n{x_i}^{f_i}.$

Cas continu

La moyenne géométrique d'une distribution Modèle:Math d'une variable continue à valeur dans un intervalle scalaire fini Modèle:Math est la généralisation à la limite de la formule statistique discrète précédente :

$\log {\overline{f}}_{x_0}^{x_1}=\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}\log (x)f(x)\mathrm{d}x,$

d’où :

${\overline{f}}_{x_0}^{x_1}=\exp (\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}\ln (x)f(x)\mathrm{d}x)\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=1.$

Sa dimension n'est pas une fréquence, mais est celle de sa variable continue.

Si la distribution Modèle:Math est définie sur toutes les valeurs réelles de sa variable continue, la moyenne géométrique de la distribution est :

$\overline{f}=\exp (\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\ln (x)f(x)\mathrm{d}x)\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=1.$

Liens avec les autres moyennes pythagoriciennes

La moyenne géométrique de deux nombres positifs est la moyenne arithmético-harmonique de ces deux nombres dans le sens où cette moyenne est définie sur le modèle de la moyenne arithmético-géométrique. Plus précisément, en considérant x et y positifs, et en définissant les suites :

$a_0=x,b_0=y,\mathrm{\forall }n\in N,a_{n+1}=\frac{a_n+h_n}{2},h_{n+1}=\frac{2}{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{h_n}}$

Alors :

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{h}_n=\sqrt{xy}.$

Intérêt

Pour les statisticiens, la moyenne géométrique (antilogarithme de la moyenne des logarithmes de chacune des observations) est moins sensible que la moyenne arithmétique aux valeurs les plus élevées d'une série de données. Elle donne, par conséquent, une autre et meilleure estimation de la tendance centrale des données dans le cas d’une distribution à longue traîne à l’extrémité supérieure de la courbe (type de distribution fréquente dans les mesures sanitaires ou environnementales par exemple de toxiques dans l'organisme, le sang ou l'environnement, où certains individus ou groupes vulnérables ou exposés à des cas particuliers sont plus affectés).

Liens externes

• Modèle:Mathworld
• Modèle:Mathworld

Voir aussi

• Moyenne géométrique pondérée
• Moyenne quadratique : fondée sur la moyenne arithmétique des carrés.
• Moyenne : présentation des autres moyennes
• Statistique : la moyenne arithmétique est un estimateur sans biais de l'espérance.
• Inégalité arithmético-géométrique