Inégalité arithmético-géométrique

Preuve sans mots de l'inégalité arithmético-géométrique en deux dimensions : PR est un diamètre d'un cercle de centre O ; son rayon AO a donc pour longueur la moyenne arithmétique de a et b. Par le théorème de la moyenne géométrique, on trouve aussi que la hauteur GQ a pour longueur la moyenne géométrique de a et b. On a donc bien pour tous Modèle:Nowrap Modèle:Nowrap

En mathématiques, l'inégalité arithmético-géométrique (IAG) établit un lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. C'est un résultat classique lié à la convexité.

Énoncé

La moyenne géométrique de $n$ réels strictement positifs $x_1,\dots ,x_n$ est inférieure à leur moyenne arithmétique :

$\sqrt[n]{x_1\dots x_n}⩽\frac{x_1+\dots +x_n}{n}$,

avec égalité (si et) seulement si $x_1=x_2=\dots =x_n$.

Démonstrations

Les deux réels $\frac{x_1+\dots +x_n}{n}$ (moyenne arithmétique) et $\sqrt[n]{x_1\dots x_n}=(x_1\dots x_n{)}^{1/n}$ (moyenne géométrique) étant strictement positifs, l'inégalité à démontrer équivaut (par croissance stricte du logarithme naturel) à

$\ln ((x_1\dots x_n{)}^{1/n})⩽\ln \frac{x_1+\dots +x_n}{n},$

ou encore (d'après l'équation fonctionnelle du logarithme) à

$\frac{\ln x_1+\cdots +\ln x_n}{n}⩽\ln \frac{x_1+\cdots +x_n}{n}.$

Cette dernière inégalité n'est autre que l'inégalité de Jensen pour des isobarycentres, appliquée à la fonction logarithme, qui est concave.

Le cas d'égalité provient du fait que cette concavité est stricte.

L'inégalité arithmético-géométrique peut également être démontrée comme corollaire de l'inégalité de Muirhead, appliquée aux suites Modèle:Math et Modèle:Math.

On peut également utiliser les multiplicateurs de Lagrange en étudiant les maximums de la fonction $(x_1,\dots ,x_n)\mapsto x_1{x}_2\cdots x_n$ sur l'ensemble $\{(x_1,\dots ,x_n)\in ({ℝ}_{+}{)}^n:x_1+x_2+\cdots +x_n=1\}$.

Preuve de Pólya

George Pólya prouve l'inégalité arithmético-géométrique en utilisant l'inégalité :

$\mathrm{\forall }x\in ℝ\exp x⩾1+x.$

On considère ensuite Modèle:Math des nombres réels strictement positifs. On pose ensuite :

$A=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k,G={\left(\prod _{k=1}^n{a}_k\right)}^{\frac{1}{n}}.$

On utilise l'inégalité ci-dessus pour les nombres Modèle:Math, ce qui donne :

$\frac{a_k}{A}⩽\exp (\frac{a_k}{A}-1)$

dont le produit donne :

$\frac{\prod _{k=1}^n{a}_k}{A^n}⩽\exp (\frac{1}{A}\sum _{k=1}^n{a}_k-n)$

soit

$\frac{G^n}{A^n}⩽\exp (n-n)=1,$

ce qui permet de conclure. On remarque alors qu'on atteint l'égalité s'il y a égalité dans chacune des inégalités précédentes, donc si les Modèle:Mvar sont tous égaux (à Modèle:Mvar).

Preuve d'Aizer

Horst Aizer donne cette preuve : soit Modèle:Mvar une fonction réelle continue telle qu'il existe Modèle:Math vérifiant

$\mathrm{\forall }x>x_0,f(x)>f(x_0)\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{\forall }x<x_0,f(x)<f(x_0).$

On a alors :

$\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t⩾\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(x_0)\mathrm{d}t=(x-x_0)f(x_0).$

On applique ce résultat à Modèle:Math :

$\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{t}⩽\frac{x-x_0}{x_0}.$

On en déduit

$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\underset{x_0}{\overset{a_i}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{t}⩽\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{a_i-x_0}{x_0}.$

soit

$\ln \frac{\prod _{i=1}^n{a}_i^{\frac{1}{n}}}{x_0}⩽\frac{1}{n{x}_0}\sum _{i=1}^n{a}_i-1$

donc Modèle:Math. Considérer Modèle:Math ou Modèle:Mvar permet de conclure.

Preuve de Schlömilch

Oskar Schlömilch donne une preuve élémentaire. On considère l'identité :

$(1-z{)}^2(1+2z+3z^2+...+n{z}^{n-1})=1-(n+1)z^n+n{z}^{n+1}.$

qu'on peut obtenir en dérivant l'expression Modèle:Sfrac de deux façons différentes. Le membre de gauche est positif pour Modèle:Mvar positif. On a donc, pour Modèle:Mvar positif :

$1+n{z}^{n+1}⩾(n+1)z^n$

avec égalité en Modèle:Math. La substitution $z^{n+1}=x/y$ donne

$nx+y⩾(n+1)(x^{n}y{)}^{\frac{1}{n+1}}$

avec égalité si et seulement si Modèle:Math. On retrouve alors une inégalité arithmético-géométrique pondérée. On finit par récurrence sur Modèle:Mvar pour conclure.

Preuve matricielle

Fergus Gaines donne une preuve reposant sur une inégalité de Schur qui stipule que, pour une matrice carrée Modèle:Mvar de valeurs propres Modèle:Math :

$\sum _{k=1}^n|{\lambda }_k{|}^2\le \sum _{i,j=1}^n|a_{i,j}{|}^2,$

avec égalité si et seulement si Modèle:Mvar est normale.

Appliquée à la matrice

$M=\left(\begin{array}{ccccc}0& \sqrt{a_1}& 0& \dots & 0\\ 0& 0& \sqrt{a_2}& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & \sqrt{a_{n-1}}\\ \sqrt{a_n}& 0& 0& \dots & 0\end{array}\right)$

et en remarquant que Modèle:Math, les valeurs propres de Modèle:Mvar sont ${\lambda }_k={\mathrm{e}}^{\frac{2\mathrm{i}k\pi }{n}}{(a_1{a}_2...a_n)}^{\frac{1}{2n}}.$ L'inégalité de Schur donne directement l'inégalité arithmético-géométrique, avec égalité si et seulement si Modèle:Math, c'est-à-dire lorsque les Modèle:Mvar sont tous égaux.

Généralisations

Pondération

L'inégalité arithmético-géométrique se généralise aux moyennes pondérées arithmétique et géométrique : Modèle:Énoncé En effet, en supposant sans perte de généralité qu'aucun $x_k$ n'est nul et en notant $t_k:={\alpha }_k/\alpha$ (strictement positifs et de somme $1$), l'inégalité équivaut Modèle:Supra à

$t_1\ln x_1+\dots +t_n\ln x_n⩽\ln (t_1{x}_1+\dots +t_n{x}_n)$,

qui n'est autre que l'inégalité de Jensen générale pour la fonction (concave) logarithme, et le cas d'égalité provient de la stricte concavité.

Inégalité de Maclaurin

On peut également généraliser l'inégalité arithmético-géométrique en remarquant que la moyenne arithmétique correspond à la première fonction symétrique élémentaire, et la moyenne géométrique à la dernière. L'inégalité arithmético-géométrique se réécrit :

$\sqrt[n]{\frac{{\sigma }_n}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})}}⩽\sqrt[1]{\frac{{\sigma }_1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})}}$

Et on peut généraliser :

$\sqrt[n]{\frac{{\sigma }_n}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})}}⩽\sqrt[n-1]{\frac{{\sigma }_{n-1}}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})}}⩽\dots ⩽\sqrt[1]{\frac{{\sigma }_1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})}}$

soit

$\sqrt[n]{x_1\dots x_n}⩽\sqrt[n-1]{\frac{x_1\dots x_{n-1}+\dots +x_2\dots x_n}{n}}⩽\dots ⩽\sqrt{\frac{x_1{x}_2+\dots +x_{n-1}{x}_n}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}}⩽\frac{x_1+\dots +x_n}{n}$

Ce sont les inégalités de Maclaurin.

Majoration de l'écart

Il existe une majoration de l'écart entre les deux moyennes:

$0⩽\frac{x_1+\dots +x_n}{n}-\sqrt[n]{x_1\dots x_n}⩽\frac{1}{n}\sum _{1⩽i<j⩽n}{(\sqrt{x_i}-\sqrt{x_j})}^2$ ,

qui est une égalité pour $n=2$ : $\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}=\frac{1}{2}(\sqrt{x}-\sqrt{y}{)}^2$.

Cette inégalité est une conséquence de l'inégalité de convexité de Vasile Cîrtoaje:

$(n-2)\sum _{i=1}^{n}f(a_i)+nf\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{a}_i\right)⩾2\sum _{1⩽i<j⩽n}f\left(\frac{a_i+a_j}{2}\right)$

pour une fonction $f$ convexe, en prenant $f=\exp$ et $a_i=\ln x_i$.

Voir aussi

Lien externe

• René Adad, Moyennes arithmétique et géométrique.

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage, Modèle:Gallica
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