Inégalité de Maclaurin

Modèle:Voir homonymes En mathématiques, les inégalités de Maclaurin forment une généralisation de l'inégalité arithmético-géométrique.

Elles sont parfois dénommées aussi "inégalités de Newton", dont elles sont une conséquence.

Énoncé

Soient Modèle:Math des nombres réels strictement positifs et, pour Modèle:Math, les moyennes Modèle:Mvar définies par

$S_k=\frac{\sum _{1⩽i_1<\cdots <i_k⩽n}{a}_{i_1}{a}_{i_2}\cdots a_{i_k}}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}\cdot$

Le numérateur de ce quotient est la fonction symétrique élémentaire de degré $k$ en les $n$ variables Modèle:Math, c'est-à-dire la somme de tous les produits de $k$ d'entre ces nombres. Le coefficient binomial au dénominateur est donc le nombre de termes du numérateur.

Alors,

$S_1⩾\sqrt{S_2}⩾\sqrt[3]{S_3}⩾\cdots ⩾\sqrt[n]{S_n},$

et ces inégalités sont strictes, sauf si tous les Modèle:Mvar sont égaux.

Exemples

L'inégalité $S_1⩾\sqrt[n]{S_n}$ est l'inégalité usuelle entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique des $n$ nombres.

Pour $n=4$, les inégalités intermédiaires sont (pour tous réels Modèle:Math)

Démonstration

Les inégalités de Maclaurin peuvent se déduire des inégalités de Newton, qui sont (en posant SModèle:Ind = 1)

$\mathrm{\forall }k=1,\dots ,n-1S_k^2⩾S_{k-1}{S}_{k+1}.$

En effet, Modèle:Retrait se simplifie en Modèle:Retrait qui équivaut à Modèle:Retrait Le cas d'égalité pour Newton fournit celui pour Maclaurin.

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Article

Articles connexes

• Inégalité de Muirhead
• Inégalités de Newton
• Moyenne d'ordre p