Moyenne d'ordre p

Modèle:Ébauche En mathématiques, la moyenne d'ordre p d'une famille de réels positifs, éventuellement pondérés, est une généralisation des moyennes arithmétique, géométrique et harmonique. Elle est également dite moyenne de Hölder, à cause de son lien avec la norme d'ordre p, ou norme de Hölder.

Définitions

Moyenne d'ordre p

Soit p un nombre réel non nul. On définit la moyenne d'ordre p des réels strictement positifs Modèle:Math par :

$M_p(x_1,\dots ,x_n)={\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^p\right)}^{\frac{1}{p}}$

Pour p = 0, on la pose comme étant la moyenne géométrique (ce qui correspond au cas limite de la moyenne d'ordre p lorsque p tend vers 0) :

$M_0(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$.

Les exposants infinis positif et négatif correspondent respectivement au maximum et au minimum, dans les cas classique et pondéré (ce qui correspond également au cas limite des moyennes d'ordres approchant de l'infini) :

$\begin{array}{cc}{M}_{\mathrm{\infty }}(x_1,\dots ,x_n)& =\max (x_1,\dots ,x_n)\\ M_{-\mathrm{\infty }}(x_1,\dots ,x_n)& =\min (x_1,\dots ,x_n)\end{array}$

Versions pondérées

On peut également définir les moyennes pondérées d'ordre p pour une suite de poids positifs Modèle:Mvar vérifiant $\sum m_i=1$ par  :

$\begin{array}{cc}{M}_p(x_1,\dots ,x_n)& ={\left(\sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i^p\right)}^{\frac{1}{p}}\\ M_0(x_1,\dots ,x_n)& =\prod _{i=1}^n{x}_i^{m_i}\end{array}$

Le cas classique correspond à l'équirépartition des poids : Modèle:Math.

Propriétés élémentaires et remarques

• On remarquera le lien avec la norme d'ordre p : $M_p(x_1,\cdots ,x_n)=\frac{1}{n^{1/p}}\Vert (x_1,\cdots ,x_n){\Vert }_p$.
• Comme la plupart des moyennes, la moyenne d'ordre p est une fonction homogène de degré 1 en Modèle:Math. Ainsi, si Modèle:Mvar est un réel strictement positif, la moyenne généralisée d'ordre p des nombres Modèle:Math est égale à Modèle:Mvar multiplié par la moyenne généralisée des Modèle:Math.
• Comme les moyennes quasi-arithmétiques, le calcul de la moyenne peut être séparé en sous-blocs de même taille.

$M_p(x_1,\dots ,x_{n\cdot k})=M_p(M_p(x_1,\dots ,x_k),M_p(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_p(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k}))$.

Cas particuliers

Visualisation des moyennes dans le cas n = 2 (moyennes de deux valeurs a et b) : A est la moyenne arithmétique, Q la moyenne quadratique, G la moyenne géométrique, et H la moyenne harmonique.

$M_{-\mathrm{\infty }}(x_1,\dots ,x_n)=\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{M}_p(x_1,\dots ,x_n)=\min \{x_1,\dots ,x_n\}$	minimum
$M_{-1}(x_1,\dots ,x_n)=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots +\frac{1}{x_n}}$	moyenne harmonique
$M_0(x_1,\dots ,x_n)=\underset{p\to 0}{\lim }{M}_p(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt[n]{x_1\cdot \dots \cdot x_n}$	moyenne géométrique
$M_1(x_1,\dots ,x_n)=\frac{x_1+\dots +x_n}{n}$	moyenne arithmétique
$M_2(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt{\frac{x_1^2+\dots +x_n^2}{n}}$	moyenne quadratique
$M_{+\mathrm{\infty }}(x_1,\dots ,x_n)=\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{M}_p(x_1,\dots ,x_n)=\max \{x_1,\dots ,x_n\}$	maximum

De plus $M_{1/2}(a,b)={\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\right)}^2=\frac{M_0(a,b)+M_1(a,b)}{2}$Modèle:Clr

Inégalité des moyennes généralisées

Énoncé

En général, on a Modèle:Énoncé

et il y a égalité si et seulement si x₁ = x₂ = ... = x_n.

L'inégalité est vraie pour les valeurs réelles de p et q, ainsi que pour les infinis positif et négatif.

On en déduit que pour tout réel p,

$\frac{\partial }{\partial p}{M}_p(x_1,\dots ,x_n)⩾0$

ce qui peut être montré en utilisant l'inégalité de Jensen.

En particulier, pour p dans {−1, 0, 1}, l'inégalité des moyennes généralisées implique une inégalité sur les moyennes pythagoriciennes ainsi que l'inégalité arithmético-géométrique.

Preuve

On travaillera ici sur les moyennes généralisées pondérées, et on supposera :

$\begin{array}{c}{m}_i\in [0;1]\\ \sum _{i=1}^n{m}_i=1\end{array}$

La preuve sur les moyennes généralisées s'obtiendra en prenant Modèle:Math.

Équivalence des inégalités entre les moyennes de signes opposés

Supposons qu'une inégalité entre les moyennes généralisées d'ordre p et q soit vraie :

$\sqrt[p]{\sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i^p}\ge \sqrt[q]{\sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i^q}$

Alors en particulier :

$\sqrt[p]{\sum _{i=1}^n\frac{m_i}{x_i^p}}\ge \sqrt[q]{\sum _{i=1}^n\frac{m_i}{x_i^q}}$

On prend l'inverse des nombres, ce qui change le sens de l'inégalité car les Modèle:Mvar sont positifs :

$\sqrt[-p]{\sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i^{-p}}=\sqrt[p]{\frac{1}{\sum _{i=1}^n{m}_i\frac{1}{x_i^p}}}\le \sqrt[q]{\frac{1}{\sum _{i=1}^n{m}_i\frac{1}{x_i^q}}}=\sqrt[-q]{\sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i^{-q}}$

ce qui donne le résultat pour les moyennes généralisées d'ordre −p et −q. On peut faire le calcul réciproque, montrant ainsi l'équivalence des inégalités, ce qui sera utile par la suite.

Moyenne géométrique

Pour tout q > 0, on a

$\sqrt[-q]{\sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i^{-q}}⩽\prod _{i=1}^n{x}_i^{m_i}⩽\sqrt[q]{\sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i^q}$

Inégalité entre deux moyennes pondérées

Il reste à prouver que si p < q, alors on a :

$\sqrt[p]{\sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i^p}⩽\sqrt[q]{\sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i^q}$

Si p est négatif et q positif, on peut utiliser le résultat précédent :

$\sqrt[p]{\sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i^p}⩽\prod _{i=1}^n{x}_i^{m_i}⩽\sqrt[q]{\sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i^q}$

Supposons maintenant p et q positifs. On définit la fonction f : R₊ → R₊ $f(x)=x^{\frac{q}{p}}$. f est une fonction puissance, deux fois dérivable :

$f^{″}(x)=\left(\frac{q}{p}\right)(\frac{q}{p}-1)x^{\frac{q}{p}-2}$

qui est positive sur le domaine de définition de f, car q > p, ainsi f est convexe.

Par l'inégalité de Jensen, on a :

$f\left(\sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i^p\right)⩽\sum _{i=1}^n{m}_{i}f(x_i^p)$

soit:

$\sqrt[\frac{p}{q}]{\sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i^p}\le \sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i^q$

ce qui, une fois élevé à la puissance 1/q (fonction croissante, car 1/q est positif), on obtient le résultat voulu.

Le cas de p et q négatifs se tire de ce résultat, en les remplaçant respectivement par −q et −p.

Moyenne quasi-arithmétique

La moyenne d'ordre p peut être vue comme un cas particulier des moyennes quasi-arithmétiques :

$M_f(x_1,\dots ,x_n)=f^{-1}\left(\frac{1}{n}\cdot \sum _{i=1}^{n}f(x_i)\right)$

Par exemple, la moyenne géométrique s'obtient par Modèle:Math, et la moyenne d'ordre p avec Modèle:Math.

Applications

En traitement du signal

Une moyenne d'ordre p sert de moyenne glissante non linéaire car elle fait ressortir les petites valeurs pour p petit et amplifie les grandes valeurs pour p grand.

Voir aussi

• Moyenne arithmétique
• Moyenne arithmético-géométrique
• Moyenne géométrique
• Moyenne harmonique
• Modèle:Lien
• Inégalité arithmético-géométrique
• Moyenne de Lehmer, autre moyenne faisant intervenir des puissances
• Moyenne quadratique
• Maximum régularisé
• Moyenne quasi-arithmétique
• Moyenne de Stolarsky, autre moyenne généralisée dépendant d'un indice p

Liens externes

• Modèle:Mathworld
• Examples of Generalized Mean
• A proof of the Generalized Mean on PlanetMath