Moyenne de Lehmer

Construction géométrique des moyennes de Lehmer de deux nombres réels, selon un résultat de Farnsworth et Orr.

En mathématiques, la moyenne de Lehmer d'une famille $(x_1,\dots ,x_n)$ de nombres réels strictement positifs, portant le nom de Derrick Henry Lehmer, est une moyenne définie par :

$L_p(x_1,\dots ,x_n)=\frac{\sum _{k=1}^n{x}_k^p}{\sum _{k=1}^n{x}_k^{p-1}},$

où Modèle:Mvar est un réel quelconque.

La moyenne de Lehmer pondérée par une famille $(m_1,\dots ,m_n)$ de poids positifs est définie par :

$L_p(x_1,\cdots ,x_n)=\frac{\sum _{k=1}^n{m}_k\cdot x_k^p}{\sum _{k=1}^n{m}_k\cdot x_k^{p-1}}.$

Elle n'est autre que la moyenne de $(x_1,\dots ,x_n)$ pondérée par la famille $(m_1{x}_1^{p-1},\dots ,m_n{x}_n^{p-1})$.

La moyenne de Lehmer propose une alternative à la moyenne de Hölder habituelle pour relier le minimum et le maximum en passant par la moyenne harmonique et la moyenne arithmétique.

Propriétés

Comparaison entre la moyenne de Lehmer $\frac{1+2^p}{1+2^{p-1}}$ de 1 et 2 (en rouge), avec leur moyenne de Hölder${\left(\frac{1+2^p}{2}\right)}^{1/p}$ (en bleu).

La moyenne de Lehmer d'ordre Modèle:Mvar + 1 d'un Modèle:Mvar-uplet de nombres positifs est supérieure ou égale à la [[Moyenne d'ordre p|moyenne (de Hölder) d'ordre Modèle:Mvar]] si et seulement si Modèle:Mvar est supérieur ou égal à 1, et inversement :

$\{\begin{array}{cc}\mathrm{\forall }(x_1,\cdots ,x_n)\in {ℝ}_{+}^{*n},L_{p+1}(x_1,\cdots ,x_n)⩾M_p(x_1,\cdots ,x_n)& ⟺p⩾1,\\ \mathrm{\forall }(x_1,\cdots ,x_n)\in {ℝ}_{+}^{*n},L_{p+1}(x_1,\cdots ,x_n)⩽M_p(x_1,\cdots ,x_n)& ⟺p⩽1.\end{array}$

La moyenne de Lehmer ne respecte pas l'inégalité de Minkowski pour tout ordre:

$\{\begin{array}{cc}\mathrm{\forall }(x_1,\cdots ,x_n),(y_1,\cdots ,y_n)\in {ℝ}_{+}^{*n},L_p(x_1+y_1,\cdots ,x_n+y_n)⩽L_p(x_1,\cdots ,x_n)+L_p(y_1,\cdots ,y_n)& ⟺1⩽p⩽2,\\ \mathrm{\forall }(x_1,\cdots ,x_n),(y_1,\cdots ,y_n)\in {ℝ}_{+}^{*n},L_p(x_1+y_1,\cdots ,x_n+y_n)⩾L_p(x_1,\cdots ,x_n)+L_p(y_1,\cdots ,y_n)& ⟺0⩽p⩽1.\end{array}$

La dérivée de $p\mapsto L_p(x_1,\cdots ,x_n)$

$\frac{\partial }{\partial p}{L}_p(x_1,\cdots ,x_n)=\frac{(\sum _{j=1}^n\sum _{k=j+1}^n[x_j-x_k]\cdot [\ln (x_j)-\ln (x_k)]\cdot {[x_j\cdot x_k]}^{p-1})}{{\left(\sum _{k=1}^n{x}_k^{p-1}\right)}^2},$

étant positive, cette fonction est croissante ; on a donc l’implication

$p⩽q⟹L_p(x_1,\cdots ,x_n)⩽L_q(x_1,\cdots ,x_n)$

La dérivée de la moyenne pondérée de Lehmer est :

$\frac{\partial L_p(x_1,\cdots ,x_n)}{\partial p}=\frac{(\sum m{x}^{p-1})(\sum m{x}^p\ln x)-(\sum m{x}^p)(\sum m{x}^{p-1}\ln x)}{(\sum m{x}^{p-1}{)}^2}$

Cas particuliers

• $\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{L}_p(x_1,\cdots ,x_n)$ est le minimum de $(x_1,\cdots ,x_n)$.
• $L_0(x_1,\cdots ,x_n)$ est la moyenne harmonique.
• $L_{\frac{1}{2}}(x_1,x_2)$ est la moyenne géométrique de $x_1$ et $x_2$.
• $L_1(x_1,\cdots ,x_n)$ est la moyenne arithmétique.
• $L_2(x_1,\cdots ,x_n)$ est la moyenne contre-harmonique.
• $\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{L}_p(x_1,\cdots ,x_n)$ est le maximum de $(x_1,\cdots ,x_n)$.

Voir aussi

• Moyenne
• Moyenne d'ordre p
• Moyenne de Gini

Liens externes

• Modèle:Mathworld