Moyenne quadratique

La Modèle:Terme défini (rms en anglais, pour root mean square) d'un ensemble de nombres est la racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés de ces nombres. Elle correspond au cas $p=2$ de la moyenne d'ordre p.

Par exemple, l'écart type dans une population est la moyenne quadratique des distances à la moyenne. La moyenne quadratique est supérieure ou égale à la moyenne arithmétique. Dans une série de valeurs, une valeur particulièrement élevée par rapport aux autres aura plus d'impact sur la moyenne quadratique de la série que sur la moyenne arithmétique. Son équivalent pour un signal périodique est la valeur efficace.

Notation

Soit $x=(x_i{)}_{i\in E}$ une famille finie de nombres. La moyenne quadratique de Modèle:Mvar est alors notée $\bar{x}$ (comme les moyennes de façon générale), Modèle:Math, ou encore $\sqrt{⟨x^2⟩}$ (notation d'usage courant en physique, où ⟨ ⟩ désigne la moyenne arithmétique). On trouve également fréquemment RMS, abréviation de l'anglais Modèle:Lang, littéralement « racine [du] carré moyen ».

Définition

Soit $x=(x_i{)}_{1\le i\le n}$ une famille finie de Modèle:Mvar nombres. La moyenne quadratique de Modèle:Mvar vaut alors : Modèle:Retrait

On peut également calculer une moyenne quadratique pondérée par la formule : Modèle:Retrait

En analyse fonctionnelle et en théorie de la mesure, la convergence en moyenne quadratique est définie comme la convergence d'une suite au sens de la norme de [[espace L2|Modèle:Formule]].

Usages

L'écart type dans une population est la moyenne quadratique des distances à la moyenne.

La moyenne quadratique est à utiliser lorsque l'on cherche à moyenner une quantité qui influe au carré dans un phénomène. C'est le cas, par exemple, pour la vitesse de particules dans un milieu. Chaque particule Modèle:Formule se déplace à la vitesse Modèle:Formule et produit une énergie cinétique égale à Modèle:Formule. Le milieu dégage une énergie cinétique de Modèle:Retrait On peut chercher à évaluer la vitesse Modèle:Formule qui, appliquée au même nombre de particules, donnerait la même énergie cinétique. Cette vitesse est la moyenne quadratique de toutes les vitesses.

Dans le domaine continu, on retrouve cette même préoccupation dans le calcul de la valeur efficace d'un courant électrique.

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