Inégalités de Newton

En mathématiques, les inégalités de Newton découvertes par le mathématicien Isaac Newton relient entre elles les fonctions symétriques élémentaires.

Soient Modèle:Math des nombres réels strictement positifs et, pour Modèle:Math, les moyennes symétriques Modèle:Mvar définies par

$S_k=\frac{\sum _{1⩽i_1<\cdots <i_k⩽n}{a}_{i_1}{a}_{i_2}\cdots a_{i_k}}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}\cdot$

Les numérateurs de ces expressions sont les fonctions symétriques élémentaires en les

$n$

variables Modèle:Math. Le coefficient binomial au dénominateur est le nombre de termes du numérateur conformément à la définition d'une moyenne arithmétique.

$S_1$

est la moyenne arithmétique, et

$\sqrt[n]{S_n}$

la moyenne géométrique.

Alors, les inégalités de Newton s'écrivent, pour $1⩽k⩽n-1$ et en posant $S_0=1$ :

$S_{k-1}{S}_{k+1}⩽S_k^2.$

Ces inégalités sont strictes, sauf si tous les Modèle:Mvar sont égaux.

Par exemple, pour $n=3$, les inégalités de Newton s'écrivent $3(ab+bc+ca)⩽(a+b+c{)}^2$ et $3abc(a+b+c)⩽(ab+bc+ca{)}^2$.

Articles connexes

• Inégalités de Maclaurin qui en sont une conséquence.

Références

• Modèle:Ouvrage
• Mathématiques de la matrice DS Bernstein : Théorie, faits et formules (2009, Princeton) p.   55
• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Article

Modèle:Portail