Tétraèdre régulier

Modèle:Infobox Polytope En géométrie, le tétraèdre régulier est un tétraèdre dont les 4 faces sont des triangles équilatéraux. Il possède 6 arêtes et 4 sommets. Il fait partie des cinq solides de Platon. Il possède une sphère circonscrite passant par ses 4 sommets et une sphère inscrite tangente à ses 4 faces.

Comme il a 3 sommets par face, et 3 faces par sommet, son symbole de Schläfli est {3,3}.

Grandeurs caractéristiques

Si Modèle:Math est la longueur d'une arête :

• sa hauteur est égale à : $H=\sqrt{\frac{2}{3}}a$ ;
• son centre est situé, par rapport à la base, à : $h=\frac{H}{4}=\frac{a}{2\sqrt{6}}$ ;
• le rayon de sa sphère circonscrite est : $R=\frac{3}{4}H=\sqrt{\frac{3}{8}}a$ ;
• le rayon de sa sphère inscrite est : $r=\frac{1}{3}R=\frac{a}{\sqrt{24}}$ ;
• son aire est : $A=\sqrt{3}{a}^2$ ;
• son volume est : $V=\frac{a^3}{6\sqrt{2}}$ ;
• son angle dièdre vaut $\arccos \left(\frac{1}{3}\right)\simeq 70,5288^{\circ }$ ;
• son angle central (c’est-à-dire celui que forment, deux à deux, les quatre segments qui partent du centre vers les quatre sommets) vaut $\arccos (-\frac{1}{3})\simeq 109^{\circ }28^{\prime }$ , double de l'angle dit « magique ».
• l'angle solide d'une face vue du sommet opposé vaut $\arccos \left(\frac{23}{27}\right)\simeq 0,55129$ stéradians ;
• Les 4 points de coordonnées $(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1)$ sont les sommets d'un tétraèdre régulier d'arête Modèle:Math centré à l'origine, issu de quatre sommets d'un cube.

Propriétés diverses

Les isométries laissant globalement invariant le tétraèdre régulier forment un groupe isomorphe au groupe symétrique [[Représentations du groupe symétrique#Représentation φ1|SModèle:Ind]] . Le sous-groupe des isométries positives est isomorphe au groupe alterné [[Groupe alterné#Groupe des rotations du tétraèdre|AModèle:Ind]].

Le tétraèdre régulier est son propre dual, c'est-à-dire qu'en joignant les centres de ses faces, on obtient un tétraèdre régulier semblable.

Il possède une coupe carrée, en prenant comme plan de coupe le plan parallèle à deux arêtes orthogonales, passant par le milieu des quatre autres arêtes.

Cette forme est utilisée pour fabriquer des dés à quatre faces et modélise certaines molécules ayant une géométrie moléculaire tétraédrique tel que le méthane.

Platon l'associait à l'élément naturel « feu ».

• 
  Tétraèdre régulier inscrit dans un cube.
• 
  Auto-dualité du tétraèdre régulier.
• 
  Composé de deux tétraèdres réguliers appelé stella octangula ou octangle étoilé.

Voir aussi

• Modèle:MathWorld
• Modèle:Lien web