Sphère inscrite

Modèle:Ébauche Modèle:Infobox En géométrie, une sphère inscrite dans un polyèdre est une sphère contenue dans ce polyèdre et telle que toutes les faces du polyèdre soient tangentes à la surface de la sphère. Il s'agit d'une extension à trois dimensions du cercle inscrit.

Construction

Tout tétraèdre non dégénéré (soit formé par quatre plans non coplanaires) permet de définir une sphère, ainsi tout tétraèdre non dégénéré a une sphère inscrite et les quatre faces du tétraèdre sont tangentes à la sphère.

Dans le cas de polyèdres convexes à n faces, on peut définir la sphère inscrite comme la sphère parmi les $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4})$ sphères inscrits constructibles à partir des tous les quadruplets de faces celle qui ne traverse aucune face et qui est mécaniquement stable (qu'on ne peut bouger à l'intérieur du polyèdre).

Sphère inscrite dans un polyèdre régulier

Tous les polyèdres réguliers convexes (solide de Platon) ont une sphère inscrite qui est tangente aux centres de toutes les faces.

• Solides de Platon avec leurs sphères circonscrites (en bleu) et inscrites (en rouge)
• 
  Tétraèdre
• 
  Cube
• 
  Octaèdre
• 
  Dodécaèdre
• 
  Icosaèdre

Propriétés

Le rayon de la sphère inscrite d'un polyèdre régulier à n faces et de longueur d'arête s est de:

$r=\frac{s}{2}\cot \left(\frac{\pi }{2n}\right)\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)$

où θ désigne l'angle dièdre entre deux faces.

Voir aussi

Articles connexes

• Sphère circonscrite

Liens externes

• Modèle:Mathworld