Voir la source de Racine carrée de trois

{| border="1" style="float: right; border-collapse: collapse;"
| colspan="2" align="center" | [[Liste de nombres]] - [[Nombre irrationnel|Nombres irrationnels]]<br />[[Racine carrée de deux|{{sqrt|2}}]] - [[Nombre d'or|φ]] - '''{{sqrt|3}}''' - [[Racine carrée de cinq|{{sqrt|5}}]] - [[E (nombre)|e]] - [[Pi|π]]
|-
| colspan="2"|[[File:Equilateral triangle with side 2.svg|vignette|<center>La hauteur d'un triangle équilatéral de côté 2 est <math>\sqrt 3</math></center>]]
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| [[Système binaire|Binaire]]
| 1.1011101101100111101...
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| [[Système décimal|Décimal]]
| 1.7320508075688772935...
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| [[Hexadécimal]]
| 1.BB67AE8584CAA73B...
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| [[Fraction continue]]
| <math>1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \ldots}}}}</math>
|}

En [[mathématiques]], la '''[[racine carrée]] de trois''' est le [[nombre réel]] positif dont le [[Carré (algèbre)|carré]] est {{math|3}} exactement. Notée <math>\sqrt3</math> ou {{math|3{{exp|1/2}}}}, elle vaut [[Valeur approchée|approximativement]] {{nombre|1.732}}. Le rationnel {{sfrac|97|56}} en est une approximation [[Valeur approchée#Définitions|par excès]] à <math>10^{-4}</math> près.

== Définition, notation et énonciation ==
* Il existe deux [[Nombre réel|nombres réels]] [[Opposé (mathématiques)|'''opposés''']] dont le carré est {{math|3}} ; autrement dit : {{math|3}} possède deux racines carrées, opposées. Par convention, la notation <math>\sqrt3</math> désigne la racine carrée positive de {{math|3}}, et nécessairement, <math>-\sqrt3</math> désigne la racine carrée négative de {{math|3}}. Mais <math>\sqrt3</math> se lit simplement ''racine carrée de trois'', voire plus simplement ''racine de trois''. Dans le [[Corps (mathématiques)|corps]] des [[Nombre complexe|nombres complexes]], la notation <math>\sqrt3</math> désigne la [[Détermination d'une fonction multivaluée#Racine carrée complexe|détermination principale]] de la racine carrée prise au point {{math|3}}. Le symbole <math>\sqrt{\quad}</math> ou <math>\surd</math> s’appelle un ''radical''.
* <math>\sqrt3</math> se note également <math>3^{\frac12}</math>, qui se lit ''trois puissance un demi''.
* Dans les [[Langage informatique|langages informatiques]], <math>\sqrt3</math> s'écrit en général <code>sqrt(3)</code>, par exemple <code>Math.sqrt(3)</code>en [[JavaScript]].

== Irrationalité ==
{{Article détaillé|Racine_carrée_d'un_entier_naturel#Irrationalité {{!}} Irrationnalité de la racine carrée d'un entier non carré}}
La racine carrée de 3 est [[nombre irrationnel|irrationnelle]], comme celle de tout entier naturel qui n'est pas un [[carré parfait]] (voir l'article détaillé pour des démonstrations).

Au {{-s-|V}}, [[Théodore de Cyrène]] aurait démontré des résultats d'[[incommensurabilité]] correspondant à l'irrationnalité des racines carrées des entiers de 3 à 17<ref>{{ouvrage|lang=en|auteur=[[Wilbur Knorr]]|titre=The Evolution of the Euclidean Elements |sous-titre=A Study of the Theory of Incommensurable Magnitudes and Its Significance for Early Greek Geometry |lieu=Dordrecht |éditeur=D. Reidel Publishing Co. |année=1975 |isbn=90 27705097}}, {{p.|64}}.</ref>{{,}}<ref>C'est la raison qu'invoque Eric Weinstein pour donner le nom de ''constante de Théodore'' à {{sqrt|3}}, voir {{MathWorld|nom_url=TheodorussConstant|titre=Theodorus' Constant}} avec bibliographie et liens vers l'OEIS pour son développement en [[système décimal]], en [[système binaire]], et en [[fraction continue]].</ref>.

== Développement décimal ==
<math>\sqrt3 = 1{,}732~050~8 \cdots</math> ; ses décimales forment la {{OEIS|id=A002194}}.

Dix milliards de décimales ont été calculées en 2013<ref>{{Lien web |langue=en |auteur=Komsta, Łukasz |titre=Computations |url=http://www.komsta.net/digits/2roots/}}</ref>.

On [[conjecture]] que, comme tout irrationnel algébrique, <math>\sqrt3</math> est un [[nombre normal]], à savoir que toute suite finie de décimales consécutives (ou ''séquence'') apparaît avec la même fréquence limite que toute séquence de même longueur<ref>{{article|langue=en|auteur1=David H. Bailey|auteur2=Richard E. Crandall|titre=On the random character of fundamental constant expansions.|périodique=Experimental mathematics|volume=10|numéro=2|passage=175-190|année=2001|lire en ligne=https://www.davidhbailey.com/dhbpapers/bcrandom.pdf}}, p. 175</ref>.

== Développements en fraction continue ==
[[Fichier:Reduites_rac_3.gif|vignette|350x350px|Construction de la suite homographique <math>(u_n)</math> ; les termes d'indice pair croissent vers {{sqrt|3}}, ceux d'indice impair décroissent vers {{sqrt|3}}.]]
La [[Raphaël Bombelli#Méthode de calcul des racines carrées|méthode de Bombelli]] utilisant pour <math>a>0</math> la relation <math>\sqrt3=a+\frac{3-a^2}{a+\sqrt3}</math> permet d'obtenir le développement en [[fraction continue généralisée]] : <math>\sqrt3=\ a + \frac{3-a^2}{2a + \frac{3-a^2}{2a + \frac{3-a^2}{2a + \frac{3-a^2}{2a + \ldots}}}}=
1 + \frac{3-a^2 \mid}{\mid 2a} + \frac{3-a^2 \mid}{\mid 2a} +\cdots</math>

Pour <math>a=1</math>, on obtient :

<math>\sqrt3=\ 1 + \frac{2}{2 + \frac{2}{2 + \frac{2}{2 + \frac{2}{2 + \ldots}}}}=
1 + \frac{2 \mid}{\mid 2} + \frac{2 \mid}{\mid 2} +\cdots</math><ref name=":0">{{Ouvrage|auteur1=F. Jaboeuf|titre=Les fractions continues|éditeur=Irem de Montpellier|année=septembre 1985|passage=27-29, 45}}</ref>.

En simplifiant par 2 un étage sur deux on obtient le [[Fraction continue|développement en fraction continue]] simple de {{sqrt|3}} ({{OEIS|id=A040001}}) :

<math>\sqrt3=\ 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \ldots}}}} = [1,1,2,1,2,\dots] = [1,\overline{1,2}]</math>.

Ce développement est bien périodique (période de longueur 2) comme pour tout [[irrationnel quadratique]] (irrationnel solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), et le [[Fraction continue d'un irrationnel quadratique#Palindrome|théorème de Legendre]] est bien vérifié.

Les neuf premières [[Fraction continue#Réduites d'une fraction continue|réduites]] communes à ces deux développements sont :<math>\ u_0 = 1, \ 2, \ \frac53, \ \frac74, \ \frac{19}{11}, \ \frac{26}{15}, \ \frac{71}{41}, \ \bold{\frac{97}{56}}, \ u_8 = \frac{265}{153}.</math>

Comme pour toute ''fraction continue'' d’un nombre irrationnel, elles constituent les [[Fraction continue et approximation diophantienne#Théorème de meilleure approximation rationnelle|''meilleures'' approximations]] de {{sqrt|3}}.

Elles forment la suite <math>(u_n)</math>, [[Limites de référence#Suites homographiques|récurrente homographique]], définie par : <math>\ u_0 = 1, \ u_{n+1} =1+\frac2{1+u_n}= \frac{u_n+3}{u_n+1}</math>.

Les deux sous-suites <math>(u_{2n})\text{ et }(u_{2n+1})</math> sont [[Suites adjacentes|adjacentes]] de limite <math>\sqrt3</math> et l'on a <math>u_{2n}<\sqrt3<u_{2n+1}</math>.

On en déduit l'encadrement : <math>\ u_8 = \frac{265}{153} < \sqrt3 < \frac{1351}{780} = u_{11}</math> qui était connu d'Archimède<ref>{{Ouvrage|auteur1=David Wells|titre=Le dictionnaire Penguin des nombres curieux|éditeur=Eyrolles|date=1995|passage=41}}</ref>{{,}}<ref>{{Article|langue=en|auteur1=Wilbur R. Knorr|titre=Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation|périodique=Archive for History of Exact Sciences|numéro=15 (2)|pages=121|date=June 1976|lire en ligne=http://users.uoa.gr/~apgiannop/Sources/Knorr-Archimedes-circle.pdf}}</ref>; pour fixer les idées : <math>\ u_8 \approx 1{,}732~026 \ ; u_{11} \approx 1{,}732~051</math>.

Le rationnel <math>u_n</math> est égal à <math>\frac{a_n}{b_n}</math> où <math>a_n,b_n</math> sont les entiers définis par <math>(1+\sqrt3)^{n+1}=a_n+b_n\sqrt3</math>, les suites, <math>(a_n),(b_n)</math> étant définies par <math>a_0=b_0=1,\begin{cases} a_{n+1}=a_n+3b_n  \\ b_{n+1}=a_n+b_n \end{cases}</math><ref name=":0" />.

On en déduit les expressions explicites<ref name=":0" /> :

* <math>\forall \ n \geqslant 0, \ u_n = \sqrt3 \frac{(1+\sqrt3)^{n+1}+(1-\sqrt3)^{n+1}}{(1+\sqrt3)^{n+1}-(1-\sqrt3)^{n+1}}</math> 
* <math>\forall \ n \geqslant 2, \ u_n = \frac{\left \lfloor (1+\sqrt3)^{n+1} \right \rceil}{\left \lfloor \frac{(1+\sqrt3)^{n+1}}{\sqrt3} \right \rceil}</math>, où <math>\left \lfloor x \right \rceil</math> signifie l'[[Partie entière et partie fractionnaire#Arrondi entier et arrondi à une précision donnée|entier le plus proche]] de <math>x</math>.

Les numérateurs réduits des <math>u_n</math> forment la {{OEIS|id=A002531}}, et les dénominateurs réduits la {{OEIS|id=A002530}}.

La [[Raphaël Bombelli#Méthode de calcul des racines carrées|méthode de Bombelli]] pour <math>a=2</math> conduit à la [[fraction continue généralisée]] : <math>\sqrt3=2 - \cfrac{1}{4 - \cfrac{1}{4 - \cfrac{1}{4 - \ddots}}}=[2, \overline{-4, 4}] </math> dont la suite des réduites est la sous-suite <math>(u_{2n+1})</math> de <math>(u_n)</math>{{refnec}} .

== Suite de Héron ==
La [[méthode de Héron]] fournit une suite, dite suite de Héron<ref name=":1">{{Lien web |titre=Comparaison des suites de Héron et de Bombelli |url=http://docs.irem.univ-paris-diderot.fr/up/MATH_Histoire/comparaison_heron_bombelli.pdf |site=docs.irem.univ-paris-diderot.fr}}</ref>, qui converge vers la racine carrée d'un nombre réel positif <math>a</math>. Quand {{math|§=''a'' = 3}} cette suite, convergeant vers {{sqrt|3}}, est définie par : <math>\ v_0 = 1, \ v_{n+1} = \frac{v_n+\frac3{v_n}}{2}</math>.

Ses premiers termes sont : <math>\ 1, \ 2, \ \frac74, \ v_3 = \frac{97}{56}=u_7\approx 1{,}7321</math> (approximation à 10<sup>-4</sup> près de {{sqrt|3}}).

Les numérateurs de cette suite forment la {{OEIS|id=A002812}}, et ses dénominateurs la {{OEIS|id=A071579}}.

La suite <math>(v_n)</math> est une [[sous-suite]] de la suite <math>(u_n)</math> des réduites de la [[#Développements en fraction continue|fraction continue de {{sqrt|3}}]]. Plus précisément : <math>\ v_n = u_{(2^n-1)}</math><ref name=":0" />{{,}}<ref name=":1" /> .

La suite <math>(v_n)</math>, pour <math> n \geqslant 1</math>, décroît rapidement vers {{sqrt|3}} ([[convergence quadratique]]).

La suite associée <math>\left(\frac3{v_n}\right)</math> converge en croissant vers {{sqrt|3}} d'où l’encadrement pour tout <math>n\geqslant 1</math> :

: <math>\frac3{v_n} < \sqrt3 < v_n</math>.

== Méthode de Halley ==
La [[méthode de Halley]] fournit une suite qui croit encore plus rapidement vers [[#Développements en fraction continue|{{sqrt|3}}]] (convergence cubique), définie par : <math>\ w_0 = 1, \ w_{n+1} = \frac{w_n(w_n^2+9)}{3(w_n^2+1)}</math>.

Ses premiers termes sont : <math>\ 1,  \ \frac53, \ w_2 = \frac{265}{153} =u_8\approx 1{,}7320</math>.

Les numérateurs de cette suite forment la {{OEIS|id=A238799}}.

La suite <math>(w_n)</math> est une [[sous-suite]] de la suite <math>(u_n)</math> des réduites de la [[#Développements en fraction continue|fraction continue de {{sqrt|3}}]]. Plus précisément : <math>\ w_n = u_{(3^n-1)}</math> .

== Expression comme somme de série ==
<math>\sqrt3 = \sum_{n=0}^\infty \frac{\binom{2n}{n}}{6^n}</math> ; voir [[Coefficient binomial central#Série génératrice|Coefficient binomial central, Série génératrice]].

== Expressions par radicaux infiniment imbriqués ==
* <math>1+\sqrt3 = \sqrt{2+2\sqrt{2+2\sqrt{2+\cdots}}}</math> ; voir [[Radical imbriqué#Racine carrée|Radical imbriqué, Racine carrée]].
* <math>\sqrt3 = \sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\cdots}}} \ , \ </math> car <math>\ \frac13+\frac1{3^2}+\frac1{3^3}+\cdots = \frac12</math>.

== En trigonométrie ==
<math>\sqrt3</math> admet plusieurs [[Fonction trigonométrique|expressions trigonométriques]] :
: <math>\sqrt3 = \tan\frac{\pi}3 = \cot\frac{\pi}6 = 2\sin\frac{\pi}3 = 2\cos\frac{\pi}6 = \ 2 - \tan\frac{\pi}{12}, \quad</math> où <math>\frac{\pi}3, \frac{\pi}6,</math> et <math>\frac{\pi}{12}</math> sont des angles exprimés en [[radian]]s <math>\left( \frac{\pi}{12} \ \mathrm{rad} = 15^\circ \right).</math>

== En algèbre ==
<math>\sqrt3</math>  est un [[Élément algébrique|nombre algébrique]] de [[Polynôme minimal (théorie des corps)|polynôme minimal]]  <math>X^2-3</math>, donc un [[entier quadratique]] ([[entier algébrique]] de degré 2).

Les [[Racine de l'unité|racines cubiques de l'unité]] sont : <math>\ 1, \ \frac{-1+{\rm i}\sqrt3}2 \ </math> et <math>\ \frac{-1-{\rm i}\sqrt3}2.</math>

== En géométrie ==
* La diagonale d'un [[cube]] de côté {{math|1}} vaut <math>\sqrt3</math>.
* La hauteur d'un [[triangle équilatéral]] de côté {{math|1}} vaut <math>\sqrt3/2</math> . Ceci donne un moyen de construction de <math>\sqrt3</math> à la règle et au compas. Cette propriété entraîne les suivantes :
** l'aire d'un triangle équilatéral de côté {{math|1}} vaut <math>\sqrt3/4</math> ; l'aire d'un [[tétraèdre]] régulier de côté {{math|1}} vaut donc <math>\sqrt3</math> ;
** la distance entre deux côtés opposés d'un [[Hexagone|hexagone régulier]] de côté {{math|1}} vaut <math>\sqrt3</math> ;
** <math>\sqrt3</math> est le rapport des longueurs des diagonales d'un [[losange]] d'angles {{math|60°}} et {{math|120°}} ;
** <math>\sqrt3</math> est le rapport entre la longueur et la largeur de la figure [[Vesica piscis]].

<gallery widths="180" heights="180">
Fichier:Square root of 3 in cube.svg|Diagonale d'un cube unité.
Fichier:30-60-90.svg|Proportions entre le côté d'un triangle équilatéral et sa hauteur.
Fichier:Cotes relatives hexagone regulier cote 1.svg|Hexagone avec ses cotes relatives.
Fichier:Vesica piscis 2.png|[[Vesica piscis]] avec son losange {{math|60°-120°}} inscrit : <math>\ CD/AB = \sqrt3</math>.
</gallery>

Le [[Rectangle#Mesures|rectangle de format (rapport longueur sur largeur)]] <math>\sqrt 3</math> est étudié dans le cadre de la ''{{lien|langue=en|trad=dynamic symmetry|fr=symétrie dynamique}}''. {{lien|Jay Hambridge}} en fait l'objet de la leçon 8 de son ouvrage ''Elements of Dynamic Symmetry''<ref>{{ouvrage|langue=en|auteur=Jay Hambridge|titre=Elements of Dynamic Symmetry|année= 1967
 |lire en ligne= https://archive.org/details/ElementsOfDynamicSymmetryHambidge/page/n67/mode/1up |éditeur=Dover publications }} - p 48 et suivantes (republication d'un ouvrage de 1926)</ref> et lui donne le nom de ''root-three rectangle''. {{lien|langue=de|trad=Lacey D. Caskey|fr=Lacey Davis Caskey}} analyse leur présence dans la silhouette de vases grecs<ref>{{ouvrage| auteur= | titre=Geometry of Greek Vases |lire en ligne=https://archive.org/details/cu31924030679280 | année = 1922}}, pp. 65-68, 170 et suivantes</ref>, tandis que Rachel Fletcher la recherche dans l'œuvre d'[[Andrea Palladio]]<ref>{{article|langue=en |auteur=Rachel Fletcher |titre=Dynamic Root Rectangles Part Three:Root-Three Rectangles, Palladian applications |périodique=Nexus Network Journal| volume=10|numéro=2|passage=343-374|doi=10.1007/s00004-008-0075-0|lire en ligne = https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s00004-008-0075-0.pdf |année=2008}}</ref>. {{lien|langue=de|Wolfgang von Wersin}} en fait le 11{{e}} des 12 rectangles remarquables (les orthogones) qu'il étudie dans son ouvrage ''Das Buch vom Rechteck: Gesetz und Gestik des Räumlichen''. Il lui donne le nom de ''Sixton''<ref>{{ouvrage|langue=de|auteur=Wolfgang von Wersin|titre=Das Buch vom Rechteck: Gesetz und Gestik des Räumlichen|année= | éditeur= | page=41}}</ref>. Ce rectangle se construit à partir de la moitié d'un triangle équilatéral et a même aire que celui-ci. Une autre construction possible consiste à partir d'un carré, à construire un rectangle de format <math>\sqrt 2 </math> (format A4), servant à construire le rectangle final{{sfn|Hambridge|1967|p=48}}, il se partage aisément en trois rectangles de même format <math>\sqrt 3</math>{{sfn|Hambridge|1967|p=49}} et se trouve naturellement inscrit dans un hexagone<ref>{{lien web|langue=en|auteur= Hans E Andersson | titre = A Closer Look at Root Rectangles |url= https://www.heamedia.com/Documents/Geometry/A_Closer_Look_at_Root_Rectangles.html |site= Heamedia.com}}</ref>.

<gallery widths="180" heights="180">
Fichier:Root3rectangleConstruction(b).svg|Construction d'un rectangle de format <math>\sqrt3</math>.
Fichier:Root3rectangleTrisection.svg|Découpe du rectangle en trois rectangles de mêmes proportions.
Fichier:Root3RectangleHexagon.svg|Rectangle de format <math>\sqrt3</math> inscrit dans un hexagone.
</gallery>

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Square root of 3}}

* [[Somme quadratique de Gauss]]
* [[Racine carrée d'un entier naturel]]
* [[Racine carrée de deux]]
* [[Racine carrée de cinq]]
* [[Racine carrée de six]]
* [[Racine carrée de sept]]
{{Portail|nombre}}

[[Catégorie:Racine carrée|3]]
[[Catégorie:Constante mathématique]]
[[Catégorie:3 (nombre)]]