Voir la source de Radical imbriqué

En [[mathématiques]], en particulier en [[algèbre]], les '''radicaux imbriqués'''  (ou '''radicaux emboités''') sont des expressions contenant des [[Racine d'un nombre|racines]] d'expressions contenant elles-mêmes des racines.

Par exemple <math>\sqrt{5-2\sqrt5}</math> qui apparaît dans l'étude du [[Pentagone régulier convexe|pentagone régulier]]<ref group="N">La racine <math>\sqrt{5-2\sqrt5}</math> contient sous son radical l'expression {{math|2{{sqrt|5}}}} qui contient la racine {{sqrt|5}}.</ref>, ou d'autres plus complexes telles que <math>\sqrt[3]{2+\sqrt3+\sqrt[3]4}</math>.

== Désimbrication de radicaux ==
=== Problème général ===
On peut désimbriquer certains radicaux imbriqués. Par exemple :
:<math>\sqrt[3]{\sqrt[3]2- 1} = \frac{1 - \sqrt[3]2+ \sqrt[3]4}{\sqrt[3]9}</math>.

Mais la désimbrication de radicaux est généralement considérée comme un problème difficile.

Dans certains cas, des radicaux de puissances plus hautes peuvent être nécessaires pour enlever l'imbrication de certaines classes de radicaux imbriqués<ref>{{Article|lang=en|auteur=Susan Landau|titre=How to Tangle with a Nested Radical|revue=[[The Mathematical Intelligencer]]|vol=16|p.=49-55|année=1994|doi=10.1007/bf03024284|url=https://www.researchgate.net/profile/Susan_Landau/publication/2634471_How_to_Tangle_with_a_Nested_Radical/links/02bfe510fbd90b6bef000000/How-to-Tangle-with-a-Nested-Radical.pdf}}.</ref>.

=== Un cas simple ===
Un cas particulier abordable est celui où un [[Nombre réel|réel]] représenté par deux [[Racine carrée|racines carrées]] imbriquées s'exprime comme une somme ou différence de deux racines carrées. Par exemple :
:<math>\sqrt{3+\sqrt8}=1+\sqrt2</math> ;
:<math>\sqrt{5-\sqrt{24}}=\sqrt3-\sqrt2</math> ;
:<math>\sqrt{2+\sqrt3}=\sqrt\frac32+\sqrt\frac12</math>.
Si {{mvar|a}} et {{mvar|b}} sont des [[Nombre rationnel|rationnels]] positifs tels que {{math|{{sqrt|''b''}}}} soit [[Nombre irrationnel|irrationnel]] et inférieur à {{mvar|a}}, pour pouvoir mettre
:<math>\sqrt{a+\sqrt b}\quad</math>[[Disjonction logique|ou]]<math>\quad\sqrt{a-\sqrt b}</math>
sous la forme
:<math>\sqrt c+\varepsilon\sqrt d\quad(c,d\in\Q_+,~c\geqslant d,~\varepsilon=\pm1),</math>
il faut et il suffit que le nombre
:<math>R=\sqrt{a^2-b}</math>
soit rationnel. La solution est alors :
:<math>\sqrt{a\pm\sqrt b}=\sqrt c\pm\sqrt d</math>
avec
:<math>c=\frac{a+R}2\quad\text{et}\quad d=\frac{a-R}2.</math>
{{Démonstration|contenu=
Supposons
:<math>a,b,c,d\in\Q_+,~\varepsilon,\varepsilon'=\pm1,~a\geqslant\sqrt b,~c\geqslant d,~\text{et}~\sqrt b\notin\Q~;</math>
Si
:<math>\sqrt{a+\varepsilon'\sqrt b}=\sqrt c+\varepsilon\sqrt d,</math>
alors
:<math>a+\varepsilon'\sqrt b=c+d+2\varepsilon\sqrt{cd},</math>
donc (en prenant le [[Entier quadratique#Conjugué et norme|conjugué]])
:<math>a-\varepsilon'\sqrt b=c+d-2\varepsilon\sqrt{cd},</math>
si bien que
:<math>R=\sqrt{a^2-b}=c-d\in\Q,~c+d=a,~\varepsilon=\varepsilon',</math>
:<math>c=\frac{a+R}2\quad\text{et}\quad d=\frac{a-R}2.</math>
La vérification de la réciproque est immédiate.
}}

=== Quelques identités de Ramanujan ===
[[Srinivasa Ramanujan]] a démontré un certain nombre d'identités impliquant l'imbrication de radicaux. Parmi celles-ci figurent les suivantes<ref>{{Lien web|langue=en|titre=A note on 'Zippel Denesting'|auteur=Susan Landau|année=1993|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.35.5512&rep=rep1&type=pdf}}.</ref> :
: <math> \sqrt[4]{\frac{3 + 2 \sqrt[4]5}{3 - 2 \sqrt[4]5}} = \frac{ \sqrt[4]5+ 1}{\sqrt[4]5- 1}</math>,

: <math> \sqrt{ \sqrt[3]{28} - \sqrt[3]{27}} =\frac{\sqrt[3]{98} - \sqrt[3]{28} -1}3</math>,

: <math> \sqrt[3]{ \sqrt[5]{\frac{32}5} - \sqrt[5]{\frac{27}5} } = \sqrt[5]{\frac1{25}} + \sqrt[5]{\frac3{25}} - \sqrt[5]{\frac9{25}}</math>,

: <math>\sqrt[3]{\ \sqrt[3]2- 1}= \sqrt[3]{\frac19} - \sqrt[3]{\frac29} + \sqrt[3]{\frac49}</math><ref name=Berndt-Chan-Zhang>{{Lien web|langue=en|titre=Radicals and units in Ramanujan's work|auteur1=[[Bruce Carl Berndt|Bruce C. Berndt]]|auteur2=Heng Huat Chan|auteur3=Liang-Cheng Zhang|url=https://faculty.math.illinois.edu/~berndt/articles/radicals.pdf}}.</ref>.

Voici d'autres simplifications de radicaux inspirées par Ramanujan :
	
: <math> \sqrt[4]{8a^2-1} + \sqrt[4]{(8a^2-1)^2-1} =\sqrt{a+\frac12}+\sqrt{a-\frac12}</math><ref name=Berndt-Chan-Zhang/>,
	
: <math> \sqrt[4]{8a^2-1}-\sqrt[4]{(8a^2-1)^2-1} =\sqrt{a+\frac12}-\sqrt{a-\frac12}</math>.

=== Algorithme de Landau ===
En 1989, [[Susan Landau]] a présenté le premier algorithme pour décider quels radicaux imbriqués peuvent être simplifiés<ref>{{article|lang=en|titre=Simplification of Nested Radicals|auteur=Susan Landau|périodique=[[SIAM Journal on Computing|SIAM J. Comput.]]|volume=21|année=1992|p.=85-110|doi=10.1109/SFCS.1989.63496}}, [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.34.2003 citeseerx 10.1.1.34.2003].</ref>. {{évasif|date=décembre 2017|Des algorithmes antérieurs ont fonctionné dans certains cas, mais pas dans d'autres.}} L'algorithme de Landau utilise des [[Racine de l'unité|racines de l'unité]] et s'exécute en un temps exponentiel par rapport à la profondeur du radical imbriqué <ref>{{Article|langue=en|auteur1=Eleftherios Gkioulekas|titre=On the denesting of nested square roots|périodique=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 48 (6)|date=18/08/2017|lire en ligne=https://www.researchgate.net/publication/314248287_On_the_denesting_of_nested_square_roots|pages=942–953}}</ref>.
{{...}}

== En [[trigonométrie]] ==
{{Article détaillé|Table de lignes trigonométriques exactes|Théorème de Gauss-Wantzel}}
Les [[Sinus (mathématiques)|sinus]], [[cosinus]] et [[Tangente (trigonométrie)|tangente]] d'un multiple rationnel {{mvar|θ}} de [[Pi|{{math|π}}]] s'expriment en termes de rationnels et de radicaux réels (en fait, des racines carrées) éventuellement imbriqués si et seulement si {{mvar|θ/π}} s'écrit comme une [[Fraction (mathématiques)|fraction]] dont le [[dénominateur]] a pour [[indicatrice d'Euler]] une [[puissance de 2]].

Par exemple :
*<math>\varphi(60)=2^4\quad\text{et}\quad\cos\frac{7\pi}{60}=\frac{2(\sqrt3-1)\sqrt{5-\sqrt5}+\sqrt2(\sqrt3+1)(1+\sqrt5)}{16}</math> ;
*<math>\varphi(24)=2^3\quad\text{et}\quad\sin\frac\pi{24}=\frac\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt3}}2</math>.

== Imbrication infinie de radicaux ==

=== Racine carrée ===
Pour tous réel {{math|''r'', ''s'' > 0}}, on démontre<ref name=ZimmermanHo>{{Article|lang=en|titre=On infinitely nested radicals|auteur=Seth Zimmerman|auteur2=Chungwu Ho|revue=[[Mathematics Magazine]]|vol=81|numéro=1|année=2008|p.=3-15|jstor=27643075}}.</ref>{{,}}<ref group=N name=Exo3>Voir {{Note autre projet|Wikiversité|Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Étude d'une suite récurrente#Exercice 3|cet exercice corrigé|début=}}</ref> que la [[Suite définie par récurrence|suite récurrente]] {{math|(''u{{ind|n}}'')}} définie par
:<math>u_0=0</math> et <math>u_{n+1}=\sqrt{r+su_n}</math>
est [[Suite monotone|strictement croissante]] et [[Limite d'une suite|converge vers]] la solution de {{math|1=''x'' = {{sqrt|''r + sx''}}}}, c'est-à-dire la racine positive {{sfrac|''s'' + {{sqrt|''s''{{2}} + 4''r''}}|2}} de l'[[équation du second degré]] {{math|1=''x''{{2}} – ''sx'' – ''r'' = 0}}, ce qui constitue une définition du nombre
:<math>\sqrt{r+s\sqrt{r+s\sqrt{r+s\sqrt{r+\cdots}}}}</math>.

Par exemple<ref group="N">Dans ce cas particulier, on obtient aussi directement cette limite en remarquant que {{math|1=''u{{ind|n}}'' = 2 [[Table de lignes trigonométriques exactes#Division d'un angle en deux|cos{{sfrac|π|2{{exp|''n''+1}}}}]]}}.</ref> :

:<math>\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=2</math>.
ou encore :
:<math>\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}=\frac{1+\sqrt{5}}2=\varphi</math> (voir [[Nombre d'or|nombre d‘or]])
et plus généralement :
:<math>\sqrt{1+p\sqrt{1+p\sqrt{1+p\sqrt{1+\cdots}}}}=\frac{p+\sqrt{p^2+4}}{2}=\varphi_p</math>,  ''p''-ième [[nombre métallique]], [[nombre d'argent]] pour {{Mvar|p}} = 2.

De même<ref name=ZimmermanHo/>{{,}}<ref group=N name=Exo3/>, pour tous réels {{math|''r'', ''s'' > 0}} tels que {{math|''r'' > ''s''{{2}}}},
:<math>\sqrt{r-s\sqrt{r-s\sqrt{r-s\sqrt{r-\cdots}}}}</math>,
défini comme limite d'une suite, est la racine positive {{sfrac|–''s'' + {{sqrt|''s''{{2}} + 4''r''}}|2}} de l'équation {{math|1=''x''{{2}} + ''sx'' – ''r'' = 0}}.

Par exemple :
:<math>\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2-\cdots}}}}=1</math>.
==== Radicaux infinis de Ramanujan ====
Ramanujan a posé le problème suivant au ''Journal of the [[Indian Mathematical Society]]'' :
:Trouver la valeur de <math>\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots}}}</math> et de <math>\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+\cdots}}}</math>
et l'a résolu ainsi<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Srinivasa Ramanujan|S. Ramanujan]]|titre=Collected Papers of Srinivasa Ramanujan|champ libre=[[Godfrey Harold Hardy|G. H. Hardy]], P. V. S. Aiyar et [[Bertram Martin Wilson|B. M. Wilson]], éd.|lieu=Providence, RI|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|année=1962|année première édition=1927|url={{Google Livres|oSioAM4wORMC|page=323}}|page=323}}.</ref> :
:Pour {{math|1=''p'' = 2}} ou {{math|1=''p'' = 3}}, posons <math>f_p(n)=n(n+p)</math>. Alors, <math>f_p(n)=n\sqrt{a_pn+b_p+f_p(n+1)}</math>, avec <math>a_p</math> et <math>b_p</math> choisis de telle façon que
:<math>(n+p)^2=(n+1)(n+1+p)+a_pn+b_p</math> ({{c.-à-d.}} <math>a_p=p-2</math> et <math>b_p=p^2-p-1</math>) donc
:<math>n+p=\sqrt{a_pn+b_p+(n+1)\sqrt{a_p(n+1)+b_p+(n+2)\sqrt{a_p(n+2)+b_p+(n+3)\sqrt\dots}}}</math>.
(la convergence, pour tous réels {{math|''p'' ≥ 2}} et {{math|''n'' ≥ 0}}, est justifiée par un théorème ultérieur dû à [[Tirukkannapuram Vijayaraghavan]]<ref>{{Harvsp|Ramanujan|1962|p=348}}.</ref>).
En particulier :
:<math>n+2=\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)\sqrt\dots}}}</math>, d'où <math>\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\dots}}}=3</math> ;
:<math>n+3=\sqrt{n+5+(n+1)\sqrt{n+6+(n+2)\sqrt{n+7+\dots}}}</math>, d'où <math>\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+\dots}}}=4</math>.

Le critère de convergence de Vijayaraghavan a été généralisé par Herschfeld<ref>{{Article|lang=en|auteur=Aaron Herschfeld|titre=On infinite radicals|revue=[[The American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]|vol=42|numéro=7|date=1935|p.=419-429|jstor=2301294}}, th. III.</ref>{{,}}<ref group=N>Voir {{Note autre projet|Wikiversité|Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Convergence#Exercice 7|cet exercice corrigé|début=}}</ref> :

Pour tous réels {{math|''s{{ind|i}}'' ≥ 1}} tels que la [[Série (mathématiques)|série]] <math>\sum_{n\ge1}\prod_{1\le i\le n}\frac1{s_i}</math> [[Série convergente|converge]] et pour tous réels ''positifs'' {{mvar|a{{ind|i}}}}, le radical imbriqué
<math>\sqrt[s_1]{a_1+\sqrt[s_2]{a_2+\sqrt[s_3]{a_3+\cdots}}}</math> converge si et seulement si la suite <math>\left(\sqrt[s_1\dots s_n]{a_n}\right)</math> est [[Suite (mathématiques élémentaires)#Majorant minorant|majorée]].

Herschfeld donne comme exemple introductif<ref>{{Citation étrangère|lang=en|In particular, what are the properties of the number {{mvar|K}} (which we shall call the [[Edward Kasner|Kasner]] number) <math>K=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\dots}}}</math> ?}}</ref> {{math|1=|§=''s{{ind|i}}'' = 2, ''a{{ind|i}}'' ='' i''}} et calcule : <math>\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\dots}}}\approx1{,}757933</math> , voir la {{OEIS|A072449}}<ref>{{MathWorld|nom_url=NestedRadicalConstant|titre=Nested Radical Constant}}.</ref>.

Ramanujan a résolu dans son [[Cahier perdu de Ramanujan|Cahier perdu]] <ref>{{Article|langue=en|auteur1=B. C. Berndt, Y. S. Choi, S. Y. Kang|titre=The problems submitted by Ramanujan to the Journal of Indian Math. Soc.|périodique=Continued fractions, Contemporary Math|numéro=236|date=1999|lire en ligne=https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.39.9228&rep=rep1&type=pdf|pages=5}}</ref> le radical infini suivant où le schéma périodique des signes est (+, +, –, +) :
: <math>\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\cdots}}}}}}}=\frac{2+\sqrt5+\sqrt{15-6\sqrt5}}2</math> (voir la {{OEIS|A286984}}).

==== Expression de [[François Viète|Viète]] pour {{math|π}} ====
{{Voir|Formule de Viète}}
: <math>\frac2\pi=
\frac{\sqrt2}2\cdot
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\cdots</math>.

=== Racine cubique ===
Pour tous réels {{math|''r'', ''s'' > 0}}, par la même méthode que [[#Racine carrée|ci-dessus pour les racines carrées]]<ref group=N name=Exo5>Voir {{Note autre projet|Wikiversité|Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Étude d'une suite récurrente#Exercice 5|cet exercice corrigé|début=}}</ref>, on définit le nombre
:<math>\sqrt[3]{r+s\sqrt[3]{r+s\sqrt[3]{r+s\sqrt[3]{r+\cdots}}}}</math>
comme la limite d'une suite croissante, qui converge vers la racine réelle positive de l'[[équation cubique]] {{math|1=''x''{{3}} − ''sx'' − ''r'' = 0}}.

Par exemple :
:<math>\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\cdots}}}}=\psi</math>, [[nombre plastique]].
De même<ref group=N>Voir {{Note autre projet|Wikiversité|Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Étude d'une suite récurrente#Exercice 6|cet exercice corrigé|début=}}</ref>, pour tous réels {{math|''r'', ''s'' > 0}} tels que {{math|''r''{{2}} > ''s''{{3}}}},
:<math>\sqrt[3]{r-s\sqrt[3]{r-s\sqrt[3]{r-s\sqrt[3]{r-\cdots}}}} </math>
est la racine réelle de {{math|1=''x''{{3}} + ''sx'' − ''r'' = 0}}.

=== Racine {{mvar|n}}-ième ===

* <math>\sqrt[n-1]x=\sqrt[n]{x\sqrt[n]{x\sqrt[n]{x\dots}}}</math> pour tout entier {{math|''n'' ≥ 2}}<ref>Et pour tout {{math|''x'' > 0}}, ce que MathWorld, « Nested Radical » {{infra|Liens externes}} ne précise pas.</ref>
* <math>\sqrt[n]{2-\sqrt[n]{2-\sqrt[n]{2-\sqrt[n]{2-\cdots}}}}=1</math> pour tout entier {{math|''n'' ≥ 2}}

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Nested radical|790738760|type=n}}
=== Notes ===
{{Références|groupe=N}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
*{{Lien|trad=Somos' quadratic recurrence constant|Constante de récurrence quadratique de Somos}}
*[[Méthode de Cardan]]
*[[Somme de radicaux]]

=== Bibliographie ===
* {{article|lang=en|auteur=[[Allan Borodin]]|auteur2=[[Ronald Fagin]]|prénom3=John E.|nom3=Hopcrofts|lien auteur3=John Hopcroft|auteur4=Martin Tompa|titre=Decreasing the Nesting Depth of Expressions Involving Square Roots|doi=10.1016/S0747-7171(85)80013-4|revue=[[Journal of Symbolic Computation|J. Symbolic Computation]]|année=1985|vol=1|p.=169-188}}
* {{chapitre|lang=en|titre=Simplifying Square Roots of Square Roots by Denesting|auteur=David J. Jeffrey|auteur2=Albert D. Rich|titre ouvrage=Computer Algebra Systems: A Practical Guide|auteurs ouvrage=Michael Wester |éditeur=Wiley |année=1999 |url=http://www.cybertester.com/data/denest.pdf}}

=== Liens externes ===
* {{MathWorld|nom_url=SquareRoot|titre=SquareRoot}}
* {{MathWorld|nom_url=NestedRadical|titre=Nested Radical}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Racine nième]]
[[Catégorie:Constante mathématique]]