Voir la source de Représentation induite d'un groupe fini

{{à sourcer|date=décembre 2015}}
En [[mathématiques]] une '''représentation induite''' est une [[Représentation de groupe|représentation d'un groupe]] canoniquement associée à une représentation de l'un de ses [[sous-groupe]]s. L'induction est [[Foncteur adjoint|adjointe à gauche]] de la {{Lien|trad=Restricted representation|Représentation restreinte|texte=restriction}}. Cette propriété intervient dans la formule de [[réciprocité de Frobenius]].

Cet article traite le cas des [[groupe fini|groupes finis]].

== Définitions et exemples ==
Dans tout l'article, ''G'' désigne un groupe fini, ''H'' un sous-groupe de ''G'' et θ une [[Théorie des représentations d'un groupe fini|représentation de ''H'']] dans un [[espace vectoriel de dimension finie]] ''W'' sur un [[Corps commutatif|corps]] ''K''.  ''G''/''H'' désigne l'ensemble des [[Classe suivant un sous-groupe|classes à gauche]] modulo ''H''.
=== Définitions ===
* La représentation induite par une représentation θ du sous-groupe ''H'' de ''G'' est la représentation de ''G'', notée ρ = Ind''{{ExpInd|G|H}}'' θ, ou simplement Ind(θ) s'il n'y a pas de risque d'ambiguïté, telle que :
** θ est une [[Représentation de groupe#Glossaire des représentations|sous-représentation]] de la restriction Res''{{ExpInd|G|H}}''(ρ) de ρ à ''H'' ;
** pour toute représentation σ de ''G'', le morphisme naturel suivant est un isomorphisme entre espaces des morphismes de représentations :<center><math>\hom_G(\mathrm{Ind}_H^G\theta,\sigma)\overset\sim\to\hom_H(\theta,\mathrm{Res}^G_H\sigma)</math>.</center>

Son unicité ([[À quelque chose près|à isomorphisme près]]) est garantie par cette [[propriété universelle]] d'[[Foncteur adjoint|adjonction]], et son existence est assurée par la construction ci-dessous.

* Si ψ désigne le [[Caractère d'une représentation d'un groupe fini|caractère]] de θ, celui de ρ [[#Caractère|dépend uniquement de ψ]]. Il est donc appelé ''caractère induit'' par ψ et noté Ind(ψ) ou encore Ind''{{ExpInd|G|H}}'' (ψ) si un risque d'ambiguïté existe.

=== Construction ===
Soit ''W'' le [[Algèbre d'un groupe fini|''K''[''H'']]]-[[Module sur un anneau|module]] [[Représentation de groupe#Lien_avec_les_K.5BG.5D-modules|sous-jacent à la représentation]] θ de ''H'', et soit ρ la représentation de ''G'' associée au ''K''[''G'']-module
<center><math>V=K[G]\otimes_{K[H]}W.</math></center>
Alors ρ = Ind''{{ExpInd|G|H}}'' θ, puisque :
* ''W = K''[''H'']⊗<sub>''K''[''H'']</sub>''W'' est bien un sous-''K''[''H'']-module de ''V'' ;
* pour tout ''K''[''G'']-module ''E'', on a un [[Transformation naturelle|isomorphisme naturel]] :<center><math>\hom_{K[G]}(V,E)\overset\sim\to\hom_{K[H]}(W,E)</math></center>qui peut se {{citation|1=déduire de la formule Hom(A,Hom(B,C))=Hom(A⊗B,C)}} {{harv|Serre|p=II - 7}} ou se détailler de façon plus élémentaire {{harv|Serre|p=II - 6}} en vérifiant la bijectivité de l'application linéaire qui, à tout ''G''-morphisme ''f'' de ''V'' dans ''E'', associe le ''H''-morphisme restriction de ''f'' à ''W''.

=== Exemples ===
* Si ''H = G'', alors Ind''{{ExpInd|G|H}}'' θ = θ.
* Si θ est la représentation triviale de ''H'', alors Ind''{{ExpInd|G|H}}'' θ est la [[Représentation de groupe#Exemples|représentation par permutations]] associée à l'[[Action de groupe (mathématiques)|action]] naturelle de ''G'' sur ''G''/''H''.
* Si θ est la [[représentation régulière]] de ''H'', alors Ind''{{ExpInd|G|H}}'' θ est la représentation régulière de ''G''<ref>{{Ouvrage|langue=en|titre=Linear Representations of Finite Groups|numéro dans collection=42|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|auteur=Jean-Pierre Serre|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=2012|url={{Google Livres|9mT1BwAAQBAJ|page=29}}|page=29}}.</ref>.

== Propriétés ==

=== Premières propriétés ===
* ''Une représentation'' (''V'',ρ) ''de G est équivalente à'' Ind''{{ExpInd|G|H}}'' θ ''si et seulement si :''
** ''W est un sous-K''[''H'']-''module de V ;''
** ''V'' = ⊕<sub>''c''∊''G''/''H''</sub> ''cW'', où la notation ''cW'' signifie : ρ<sub>''s''</sub>(''W'') pour n'importe quel élément ''s'' de la classe à gauche ''c''. (Un tel ρ<sub>''s''</sub>(''W'') ne dépend pas du choix de ''s'' dans ''c'' puisque si ''tH = c =sH'' alors ''t'' est de la forme ''sh'' pour un certain élément ''h'' de ''H'', si bien que ρ<sub>''t''</sub>(''W'') = ρ<sub>''s''</sub>(ρ<sub>''h''</sub>(''W'')) = ρ<sub>''s''</sub>(''W'').)
{{Démonstration|titre=Exemples|contenu=*Soient ''G'' le [[groupe symétrique]] S{{ind|3}}, engendré par un 3-cycle ''c'' et une transposition ''t'', ''H'' le sous-[[groupe alterné]] A{{ind|3}} = {1, ''c, c''{{2}}<nowiki/>}, ''W'' = ℂ''e''{{ind|1}} et θ la représentation de ''H'' sur ''W'' définie par θ{{ind|''c''}}(''e''{{ind|1}}) = [[racine de l'unité|j]]''e''{{ind|1}}. Alors ''G''/''H'' = {''H'', ''tH''} et Ind''{{ExpInd|G|H}}'' θ est la représentation ρ de ''G'' sur ''V'' = ℂ''e''{{ind|1}}⊕ℂ''e''{{ind|2}} définie par : ρ{{ind|''t''}}(''e''{{ind|1}}) = ''e''{{ind|2}} et ρ{{ind|''c''}}(''e''{{ind|1}}) = j''e''{{ind|1}}. On montre facilement que ρ est irréductible (par exemple en vérifiant que [[Caractère d'une représentation d'un groupe fini|son caractère]] est de norme 1). C'est donc [[Représentations du groupe symétrique#Les trois représentations irréductibles de S3|la représentation irréductible complexe de S{{ind|3}}]] de degré 2.
*Soient ''G'' le [[groupe des quaternions]] ''Q'' = {±1, ±i, ±j, ±k}, engendré par i et j, ''H'' le sous-groupe {1, i, –1, –i}, ''W'' = ℂ''e''{{ind|1}} et θ la représentation de ''H'' sur ''W'' définie par θ{{ind|i}}(''e''{{ind|1}}) = [[unité imaginaire|i]]''e''{{ind|1}}. Alors ''G''/''H'' = {''H'', j''H''} et Ind''{{ExpInd|G|H}}'' θ est la représentation ρ de ''G'' sur ''V'' = ℂ''e''{{ind|1}}⊕ℂ''e''{{ind|2}} définie par : ρ{{ind|j}}(''e''{{ind|1}}) = ''e''{{ind|2}} et ρ{{ind|i}}(''e''{{ind|1}}) = i''e''{{ind|1}}. On vérifie facilement, comme précédemment, que ρ est irréductible. C'est donc la [[Caractère d'une représentation d'un groupe fini#Groupe des quaternions|représentation irréductible complexe de ''Q'' de degré 2]].
}}
* ''Pour toute sous-représentation'' θ' ''de'' θ, Ind''{{ExpInd|G|H}}'' (θ') ''est une sous-représentation de'' Ind''{{ExpInd|G|H}}'' (θ).
* ''Pour toutes représentations'' θ<sub>1</sub> et θ<sub>2</sub> ''de H, on a :'' Ind''{{ExpInd|G|H}}'' (θ<sub>1</sub>⊕θ<sub>2</sub>) = (Ind''{{ExpInd|G|H}}'' θ<sub>1</sub>)⊕(Ind''{{ExpInd|G|H}}'' θ<sub>2</sub>).

{{Démonstration|titre=Démonstrations|contenu=
* '''Une représentation (''V'',ρ) de ''G'' est équivalente à Ind''{{ExpInd|G|H}}'' θ si et seulement si ''W'' est un sous-''K''[''H'']-module de ''V'' et ''V'' = ⊕<sub>''c''∊''G''/''H''</sub> cW''''' {{harv|Serre|p=II - 5}}.
La représentation (''V'', ρ) définie dans la construction vérifie bien ces propriétés : il suffit pour cela de remarquer que ''K''[''G''] est un ''K''[''H'']-[[module libre]] (à droite), de base une [[Transversale d'un sous-groupe|transversale à gauche]] de ''H'' dans ''G''. Réciproquement, {{citation|l'unicité est immédiate}}, c'est-à-dire que deux représentations de ''G'' vérifiant ces propriétés sont clairement isomorphes.
* '''Pour toute sous-représentation θ' de θ, Ind''{{ExpInd|G|H}}'' (θ') est une sous-représentation de Ind''{{ExpInd|G|H}}'' (θ).'''
Si ''W''' est un sous-''K''[''H'']-module de ''W'' alors ''K''[''G'']⊗<sub>''K''[''H'']</sub>''W' '' est un sous-''K''[''G'']-module de ''K''[''G'']⊗<sub>''K''[''H'']</sub>''W''.
* '''Pour toutes représentations θ<sub>1</sub> et θ<sub>2</sub> de ''H'', on a : Ind''{{ExpInd|G|H}}'' (θ<sub>1</sub>⊕θ<sub>2</sub>) = (Ind''{{ExpInd|G|H}}'' θ<sub>1</sub>)⊕(Ind''{{ExpInd|G|H}}'' θ<sub>2</sub>).'''
Pour tous ''K''[''H'']-modules ''W''<sub>1</sub> et ''W''<sub>2</sub>, ''K''[''G'']⊗<sub>''K''[''H'']</sub>(''W''<sub>1</sub>⊕''W''<sub>2</sub>) = (''K''[''G'']⊗<sub>''K''[''H'']</sub>''W''<sub>1</sub>)⊕(''K''[''G'']⊗<sub>''K''[''H'']</sub>''W''<sub>2</sub>).
}}

=== Caractère ===

*''Le [[Caractère d'une représentation d'un groupe fini|caractère'' χ ''de la représentation]]'' (''V'',ρ) = Ind''{{ExpInd|G|H}}'' θ ''s'exprime en fonction du caractère'' ψ ''de'' (''W'', θ) ''par la formule suivante, dans laquelle C désigne une [[transversale d'un sous-groupe|transversale à gauche]] de H dans G, et h l'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] de H :''<center><math>\forall t\in G\quad \chi(t)=\sum_{c\in C\atop c^{-1}tc\in H}\psi(c^{-1}tc)=\frac1h\sum_{s\in G\atop s^{-1}ts\in H}\psi(s^{-1}ts).</math></center>

{{Démonstration|contenu=
L'élément ρ<sub>''t''</sub> définit un automorphisme de ''V'' qui permute les ρ<sub>c</sub>''W'', donc sa [[Trace (algèbre)|trace]] χ(''t'') = Tr(ρ<sub>''t''</sub>) est la somme des traces des restrictions de cet automorphisme aux ρ<sub>c</sub>''W'' qu'il laisse invariants, ce qui équivaut pour ''c'' à la relation ''c''{{-1}}''tc ∊ H''. D'où :
<center><math>\chi(t)=\sum_{c\in C\atop c^{-1}tc\in H}\mathrm{Tr}((\rho_t)_{|\rho_cW}).</math></center>
Or si ''c''{{-1}}''tc ∊ H'', on a :
<center><math>\forall w \in W\quad \rho_{c^{-1}}\circ\rho_t\circ\rho_c(w)=\theta_{c^{-1}tc}(w)\quad\text{donc}\quad 
\mathrm{Tr}((\rho_t)_{|\rho_cW})=\mathrm{Tr}(\theta_{c^{-1}tc})=\psi(c^{-1}tc),</math></center>
ce qui démontre la première formule.

Pour la deuxième (qui n'a de sens que si ''h'' est inversible dans ''K'') il suffit de remarquer que pour tout ''s'' ∊ ''cH'', ''s''{{-1}}''ts'' est conjugué de ''c''{{-1}}''tc'' par un élément de ''H'', et d'utiliser que ψ est [[Fonction centrale|centrale]].}}

On étend cette formule aux [[Fonction centrale sur un groupe fini|fonctions centrales]] par la définition suivante :
* Soient ''f'' une fonction centrale sur ''H'' à valeurs dans ''K'' et ''C'' une transversale à gauche de ''H'' dans ''G'', alors la fonction''' Ind''{{ExpInd|G|H}}'' (''f'' )''' est définie par :<center><math>\forall t\in G\quad\mathrm{Ind}_H^G f(t)=\sum_{c\in C\atop c^{-1}tc\in H}f(c^{-1}tc).</math></center>

=== Réciprocité de Frobenius ===
{{Article détaillé|Réciprocité de Frobenius}}
On suppose que la [[caractéristique d'un anneau|caractéristique]] de ''K'' ne [[Diviseur|divise]] pas l'ordre de ''G''. La formule de réciprocité de Frobenius s'exprime alors par :
* ''Pour tout caractère'' ψ ''d'une représentation de H et tout caractère'' χ ''d'une représentation de G, les deux scalaires suivants sont égaux :''
<center><math>\langle\mathrm{Ind}_H^G \;\psi\mid\chi\rangle_G=\langle\psi\mid\mathrm{Res}_H^G\; \chi\rangle_H.</math></center>
Cette formule est une conséquence de la propriété d'adjonction qui définit la représentation induite. Elle s'étend linéairement aux fonctions centrales.

== Critère d'irréductibilité de Mackey ==
{{Article détaillé|Critère d'irréductibilité de Mackey}}
On suppose que la caractéristique de ''K'' est nulle et que le polynôme ''X<sup>e</sup>'' – 1, où ''e'' désigne l'[[Exposant d'un groupe|exposant]] de ''G'', est scindé sur ''K''. Ainsi, les [[Caractère d'une représentation d'un groupe fini|caractères irréductibles]] de ''G'' forment une [[base orthonormale]] des fonctions centrales à valeurs dans ''K'' et toute représentation est entièrement déterminée (à équivalence près) par son caractère. On peut prendre par exemple pour ''K'' le corps des [[nombre complexe|nombres complexes]].

Une double application de la formule de réciprocité de Frobenius décrite ci-dessus permet, sous ces hypothèses, de démontrer le cas particulier suivant du ''critère d'irréductibilité de Mackey''. Deux définitions sont nécessaires pour l'exprimer. Pour tout élément ''s'' de ''G'', ''H<sub>s</sub>'' désigne ici l'intersection de ''H'' avec son [[Automorphisme intérieur|conjugué]] par ''s'' et θ<sup>''s''</sup> désigne la représentation sur ''W'' de ce sous-groupe ''H<sub>s</sub> = sHs''{{-1}} ∩ ''H'' définie par :
<center><math>\forall u \in H_s\quad \theta^s(u)=\theta(s^{-1}us).</math></center>
Le critère s'énonce de la manière suivante :
* ''La représentation'' Ind(θ) ''est [[Représentation irréductible|irréductible]] si et seulement si'' θ ''est irréductible et pour tout s'' ∉ ''H, la restriction de'' θ à ''H<sub>s</sub> est [[Représentation de groupe#Glossaire des représentations|disjointe]] de'' θ''<sup>s</sup>.''
On en déduit le corollaire suivant :
* ''Si H est [[sous-groupe normal|normal]] dans G,'' Ind(θ) ''est irréductible si et seulement si'' θ ''est irréductible et n'est isomorphe à aucune des'' θ''<sup>s</sup>, pour s'' ∉ ''H.''

== Références ==
{{références}}

== Bibliographie ==
{{Serre2}}

{{Palette|Représentations des groupes finis}}

{{portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Théorie des représentations|Induite]]