Représentation induite d'un groupe fini

Modèle:À sourcer En mathématiques une représentation induite est une représentation d'un groupe canoniquement associée à une représentation de l'un de ses sous-groupes. L'induction est adjointe à gauche de la Modèle:Lien. Cette propriété intervient dans la formule de réciprocité de Frobenius.

Cet article traite le cas des groupes finis.

Définitions et exemples

Dans tout l'article, G désigne un groupe fini, H un sous-groupe de G et θ une représentation de H dans un espace vectoriel de dimension finie W sur un corps K. G/H désigne l'ensemble des classes à gauche modulo H.

Définitions

• La représentation induite par une représentation θ du sous-groupe H de G est la représentation de G, notée ρ = IndModèle:ExpInd θ, ou simplement Ind(θ) s'il n'y a pas de risque d'ambiguïté, telle que :
  • θ est une sous-représentation de la restriction ResModèle:ExpInd(ρ) de ρ à H ;
  • pour toute représentation σ de G, le morphisme naturel suivant est un isomorphisme entre espaces des morphismes de représentations :${\mathrm{hom}}_G({\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}}_H^G\theta ,\sigma )\stackrel{\sim }{\to }{\mathrm{hom}}_H(\theta ,{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_H^G\sigma )$.

Son unicité (à isomorphisme près) est garantie par cette propriété universelle d'adjonction, et son existence est assurée par la construction ci-dessous.

• Si ψ désigne le caractère de θ, celui de ρ dépend uniquement de ψ. Il est donc appelé caractère induit par ψ et noté Ind(ψ) ou encore IndModèle:ExpInd (ψ) si un risque d'ambiguïté existe.

Construction

Soit W le K[H]-module sous-jacent à la représentation θ de H, et soit ρ la représentation de G associée au K[G]-module

$V=K[G]{\otimes }_{K[H]}W.$

Alors ρ = IndModèle:ExpInd θ, puisque :

• W = K[H]⊗_K[H]W est bien un sous-K[H]-module de V ;
• pour tout K[G]-module E, on a un isomorphisme naturel :${\mathrm{hom}}_{K[G]}(V,E)\stackrel{\sim }{\to }{\mathrm{hom}}_{K[H]}(W,E)$qui peut se Modèle:Citation Modèle:Harv ou se détailler de façon plus élémentaire Modèle:Harv en vérifiant la bijectivité de l'application linéaire qui, à tout G-morphisme f de V dans E, associe le H-morphisme restriction de f à W.

Exemples

• Si H = G, alors IndModèle:ExpInd θ = θ.
• Si θ est la représentation triviale de H, alors IndModèle:ExpInd θ est la représentation par permutations associée à l'action naturelle de G sur G/H.
• Si θ est la représentation régulière de H, alors IndModèle:ExpInd θ est la représentation régulière de G.

Propriétés

Premières propriétés

• Une représentation (V,ρ) de G est équivalente à IndModèle:ExpInd θ si et seulement si :
  • W est un sous-K[H]-module de V ;
  • V = ⊕_c∊G/H cW, où la notation cW signifie : ρ_s(W) pour n'importe quel élément s de la classe à gauche c. (Un tel ρ_s(W) ne dépend pas du choix de s dans c puisque si tH = c =sH alors t est de la forme sh pour un certain élément h de H, si bien que ρ_t(W) = ρ_s(ρ_h(W)) = ρ_s(W).)

• Pour toute sous-représentation θ' de θ, IndModèle:ExpInd (θ') est une sous-représentation de IndModèle:ExpInd (θ).
• Pour toutes représentations θ₁ et θ₂ de H, on a : IndModèle:ExpInd (θ₁⊕θ₂) = (IndModèle:ExpInd θ₁)⊕(IndModèle:ExpInd θ₂).

Caractère

• Le caractère χ de la représentation (V,ρ) = IndModèle:ExpInd θ s'exprime en fonction du caractère ψ de (W, θ) par la formule suivante, dans laquelle C désigne une transversale à gauche de H dans G, et h l'ordre de H :$\mathrm{\forall }t\in G\chi (t)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{c\in C}{c^{-1}tc\in H}}\psi (c^{-1}tc)=\frac{1}{h}\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{s\in G}{s^{-1}ts\in H}}\psi (s^{-1}ts).$

On étend cette formule aux fonctions centrales par la définition suivante :

• Soient f une fonction centrale sur H à valeurs dans K et C une transversale à gauche de H dans G, alors la fonction IndModèle:ExpInd (f ) est définie par :$\mathrm{\forall }t\in G{\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}}_H^{G}f(t)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{c\in C}{c^{-1}tc\in H}}f(c^{-1}tc).$

Réciprocité de Frobenius

Modèle:Article détaillé On suppose que la caractéristique de K ne divise pas l'ordre de G. La formule de réciprocité de Frobenius s'exprime alors par :

• Pour tout caractère ψ d'une représentation de H et tout caractère χ d'une représentation de G, les deux scalaires suivants sont égaux :

$⟨{\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}}_H^G\psi \mid \chi {⟩}_G=⟨\psi \mid {\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_H^G\chi {⟩}_H.$

Cette formule est une conséquence de la propriété d'adjonction qui définit la représentation induite. Elle s'étend linéairement aux fonctions centrales.

Critère d'irréductibilité de Mackey

Modèle:Article détaillé On suppose que la caractéristique de K est nulle et que le polynôme X^e – 1, où e désigne l'exposant de G, est scindé sur K. Ainsi, les caractères irréductibles de G forment une base orthonormale des fonctions centrales à valeurs dans K et toute représentation est entièrement déterminée (à équivalence près) par son caractère. On peut prendre par exemple pour K le corps des nombres complexes.

Une double application de la formule de réciprocité de Frobenius décrite ci-dessus permet, sous ces hypothèses, de démontrer le cas particulier suivant du critère d'irréductibilité de Mackey. Deux définitions sont nécessaires pour l'exprimer. Pour tout élément s de G, H_s désigne ici l'intersection de H avec son conjugué par s et θ^s désigne la représentation sur W de ce sous-groupe H_s = sHsModèle:-1 ∩ H définie par :

$\mathrm{\forall }u\in H_s{\theta }^s(u)=\theta (s^{-1}us).$

Le critère s'énonce de la manière suivante :

• La représentation Ind(θ) est irréductible si et seulement si θ est irréductible et pour tout s ∉ H, la restriction de θ à H_s est disjointe de θ^s.

On en déduit le corollaire suivant :

• Si H est normal dans G, Ind(θ) est irréductible si et seulement si θ est irréductible et n'est isomorphe à aucune des θ^s, pour s ∉ H.