Automorphisme intérieur

Un automorphisme intérieur est une notion mathématique utilisée en théorie des groupes.

Soient G un groupe et g un élément de G. On appelle automorphisme intérieur associé à g, noté ι_g, l'automorphisme de G défini par : Modèle:Centrer Pour un groupe abélien, les automorphismes intérieurs sont triviaux. Plus généralement, l'ensemble des automorphismes intérieurs de G forme un sous-groupe normal du groupe des automorphismes de G, et ce sous-groupe est isomorphe au groupe quotient de G par son centre. L'isomorphisme est induit par l'action par conjugaison de G sur lui-même.

Définitions

Automorphisme intérieur

• Soit G un groupe. Un automorphisme intérieur de G est une application de la formeModèle:Centrerpour un certain élément g de G (on parle alors de l'automorphisme intérieur associé à g).
  Tout automorphisme intérieur de G est un automorphisme du groupe G, c'est-à-dire
  • un morphisme de G dans G :Modèle:Centrer
  • bijectif : la bijection réciproque de ιModèle:Ind est ι_gModèle:-1, puisqueModèle:Centreret que, comme l'élément neutre appartient au centre Z(G) de G, son automorphisme intérieur associé est l'identité (plus généralement, l'ensemble des points fixes de ιModèle:Ind est exactement le centralisateur de g).
• Deux éléments de G ou deux sous-groupes de G images l'un de l'autre par un automorphisme intérieur sont dits conjugués.

Remarque : si G est muni de structures supplémentaires (groupe topologique, groupe de Lie, groupe algébrique), les automorphismes intérieurs sont toujours des isomorphismes pour les structures considérées.

Sous-groupe normal

Modèle:Article détaillé Un sous-groupe H de G est dit normal ou distingué dans G lorsqu'il est globalement stable par tous les automorphismes intérieurs. Cela revient à dire qu'il est son seul conjugué.

Groupe des automorphismes intérieurs

L'application $\iota :g\mapsto {\iota }_g$ est un morphisme de groupes de G dans le groupe Aut(G) des automorphismes de G. L'image est exactement l'ensemble des automorphismes intérieurs de G, qui est donc un sous-groupe de Aut(G), noté Int(G). Par le théorème d'isomorphisme, le morphisme surjectif $\iota :G\to \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(G)$ induit un isomorphisme : Modèle:Centrer

Si $\varphi$ est un automorphisme de G, et si g est un élément de G, alors : Modèle:Centrer d'où Modèle:Centrer Le conjugué d'un automorphisme intérieur par un automorphisme est donc un automorphisme intérieur. De ce fait, Int(G) est un sous-groupe normal de Aut(G).

Pour résumer, on dispose donc de deux suites exactes : Modèle:Centrer et Modèle:Centrer Le quotient de Aut(G) par Int(G) est noté Out(G) ; ce sont les automorphismes extérieurs de G.

Groupe d'automorphismes d'un sous-groupe normal

Avec les notations ci-dessus, si H est un sous-groupe normal de G, tout automorphisme intérieur de G se restreint en un automorphisme de H. D'où un morphisme de groupes éventuellement surjectif $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(G)\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(H)$. La surjectivité est espérée pour déterminer le groupe des automorphismes de H.

La composition par $\iota$ donne un morphisme $G\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(H)$, dont le noyau est le centralisateur de H.

Cas des anneaux

Un automorphisme d'anneau unifère est dit intérieur s'il est de la forme x ↦ uxuModèle:-1 pour une certaine unité u de l'anneau.

Histoire

Le fait que le groupe des automorphismes intérieurs d'un groupe G est sous-groupe normal du groupe des automorphismes de G a été énoncé et démontré par Otto Hölder en 1895.